Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinun 21837
 Description: Adding a finite set preserves locally finite covers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lfinun ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽))

Proof of Theorem lfinun
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfintop 21833 . . . . 5 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
21ad2antrr 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
3 ssequn2 4047 . . . . . . . 8 ( 𝐵 𝐽 ↔ ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
43biimpi 208 . . . . . . 7 ( 𝐵 𝐽 → ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
54adantl 474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
6 eqid 2778 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
7 eqid 2778 . . . . . . . . 9 𝐴 = 𝐴
86, 7locfinbas 21834 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
98ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
109uneq1d 4027 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ( 𝐽 𝐵) = ( 𝐴 𝐵))
115, 10eqtr3d 2816 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = ( 𝐴 𝐵))
12 uniun 4731 . . . . 5 (𝐴𝐵) = ( 𝐴 𝐵)
1311, 12syl6eqr 2832 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = (𝐴𝐵))
146locfinnei 21835 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
1514ad4ant14 739 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
17 rabfi 8538 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Fin → {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
1817ad2antlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
19 rabun2 4169 . . . . . . . . . . . 12 {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} = ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∪ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅})
20 unfi 8580 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∪ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅}) ∈ Fin)
2119, 20syl5eqel 2870 . . . . . . . . . . 11 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
2216, 18, 21syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
2322ex 405 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2423ad2antrr 713 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2524anim2d 602 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
2625reximdv 3218 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → (∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
2715, 26mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2827ralrimiva 3132 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
292, 13, 283jca 1108 . . 3 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
30293impa 1090 . 2 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
31 eqid 2778 . . 3 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
326, 31islocfin 21829 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
3330, 32sylibr 226 1 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  ∃wrex 3089  {crab 3092   ∪ cun 3827   ∩ cin 3828   ⊆ wss 3829  ∅c0 4178  ∪ cuni 4712  ‘cfv 6188  Fincfn 8306  Topctop 21205  LocFinclocfin 21816 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-fin 8310  df-top 21206  df-locfin 21819 This theorem is referenced by:  locfinref  30755
 Copyright terms: Public domain W3C validator