MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinun 22899
Description: Adding a finite set preserves locally finite covers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lfinun ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (LocFinβ€˜π½))

Proof of Theorem lfinun
Dummy variables 𝑛 𝑠 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfintop 22895 . . . . 5 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 ssequn2 4147 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = βˆͺ 𝐽)
43biimpi 215 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = βˆͺ 𝐽)
54adantl 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = βˆͺ 𝐽)
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
7 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
86, 7locfinbas 22896 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
98ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
109uneq1d 4126 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ 𝐡))
115, 10eqtr3d 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ 𝐡))
12 uniun 4895 . . . . 5 βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ 𝐡)
1311, 12eqtr4di 2791 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
146locfinnei 22897 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
1514ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
17 rabfi 9219 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
19 rabun2 4277 . . . . . . . . . . . 12 {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} = ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} βˆͺ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…})
20 unfi 9122 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} βˆͺ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…}) ∈ Fin)
2119, 20eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
2216, 18, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
2322ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
2524anim2d 613 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
2625reximdv 3164 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
2715, 26mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
2827ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
292, 13, 283jca 1129 . . 3 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
30293impa 1111 . 2 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
31 eqid 2733 . . 3 βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)
326, 31islocfin 22891 . 2 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (LocFinβ€˜π½) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
3330, 32sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (LocFinβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Fincfn 8889  Topctop 22265  LocFinclocfin 22878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-en 8890  df-fin 8893  df-top 22266  df-locfin 22881
This theorem is referenced by:  locfinref  32486
  Copyright terms: Public domain W3C validator