MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinun 23549
Description: Adding a finite set preserves locally finite covers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lfinun ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽))

Proof of Theorem lfinun
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfintop 23545 . . . . 5 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
21ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
3 ssequn2 4199 . . . . . . . 8 ( 𝐵 𝐽 ↔ ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
43biimpi 216 . . . . . . 7 ( 𝐵 𝐽 → ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
54adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
6 eqid 2735 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
7 eqid 2735 . . . . . . . . 9 𝐴 = 𝐴
86, 7locfinbas 23546 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
98ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
109uneq1d 4177 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ( 𝐽 𝐵) = ( 𝐴 𝐵))
115, 10eqtr3d 2777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = ( 𝐴 𝐵))
12 uniun 4935 . . . . 5 (𝐴𝐵) = ( 𝐴 𝐵)
1311, 12eqtr4di 2793 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = (𝐴𝐵))
146locfinnei 23547 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
1514ad4ant14 752 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
17 rabfi 9301 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Fin → {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
1817ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
19 rabun2 4330 . . . . . . . . . . . 12 {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} = ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∪ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅})
20 unfi 9210 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∪ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅}) ∈ Fin)
2119, 20eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
2216, 18, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
2322ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2423ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2524anim2d 612 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
2625reximdv 3168 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → (∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
2715, 26mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2827ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
292, 13, 283jca 1127 . . 3 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
30293impa 1109 . 2 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
31 eqid 2735 . . 3 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
326, 31islocfin 23541 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
3330, 32sylibr 234 1 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339   cuni 4912  cfv 6563  Fincfn 8984  Topctop 22915  LocFinclocfin 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-top 22916  df-locfin 23531
This theorem is referenced by:  locfinref  33802
  Copyright terms: Public domain W3C validator