MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfinun 23029
Description: Adding a finite set preserves locally finite covers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lfinun ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (LocFinβ€˜π½))
Proof of Theorem lfinun
Dummy variables 𝑛 𝑠 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfintop 23025 . . . . 5 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ 𝐽 ∈ Top)
21ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Top)
3 ssequn2 4184 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = βˆͺ 𝐽)
43biimpi 215 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = βˆͺ 𝐽)
54adantl 483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = βˆͺ 𝐽)
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
7 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
86, 7locfinbas 23026 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
98ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐴)
109uneq1d 4163 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆͺ βˆͺ 𝐡) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ 𝐡))
115, 10eqtr3d 2775 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ 𝐡))
12 uniun 4935 . . . . 5 βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ 𝐡)
1311, 12eqtr4di 2791 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
146locfinnei 23027 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
1514ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
17 rabfi 9269 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
1817ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
19 rabun2 4314 . . . . . . . . . . . 12 {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} = ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} βˆͺ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…})
20 unfi 9172 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} βˆͺ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…}) ∈ Fin)
2119, 20eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐡 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
2216, 18, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)
2322ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin β†’ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
2524anim2d 613 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
2625reximdv 3171 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
2715, 26mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
2827ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin))
292, 13, 283jca 1129 . . 3 (((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin) ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
30293impa 1111 . 2 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
31 eqid 2733 . . 3 βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)
326, 31islocfin 23021 . 2 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (LocFinβ€˜π½) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ π½βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) β‰  βˆ…} ∈ Fin)))
3330, 32sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ (LocFinβ€˜π½) ∧ 𝐡 ∈ Fin ∧ βˆͺ 𝐡 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ (LocFinβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  Topctop 22395  LocFinclocfin 23008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943  df-top 22396  df-locfin 23011
This theorem is referenced by:  locfinref  32852
  Copyright terms: Public domain W3C validator