MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinun 21608
Description: Adding a finite set preserves locally finite covers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lfinun ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽))

Proof of Theorem lfinun
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfintop 21604 . . . . 5 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
21ad2antrr 717 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
3 ssequn2 3948 . . . . . . . 8 ( 𝐵 𝐽 ↔ ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
43biimpi 207 . . . . . . 7 ( 𝐵 𝐽 → ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
54adantl 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ( 𝐽 𝐵) = 𝐽)
6 eqid 2765 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
7 eqid 2765 . . . . . . . . 9 𝐴 = 𝐴
86, 7locfinbas 21605 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
98ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
109uneq1d 3928 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ( 𝐽 𝐵) = ( 𝐴 𝐵))
115, 10eqtr3d 2801 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = ( 𝐴 𝐵))
12 uniun 4615 . . . . 5 (𝐴𝐵) = ( 𝐴 𝐵)
1311, 12syl6eqr 2817 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → 𝐽 = (𝐴𝐵))
146locfinnei 21606 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
1514adantlr 706 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
1615adantlr 706 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
17 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
18 rabfi 8392 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Fin → {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
1918ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
20 rabun2 4070 . . . . . . . . . . . 12 {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} = ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∪ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅})
21 unfi 8434 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∪ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅}) ∈ Fin)
2220, 21syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐵 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
2317, 19, 22syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)
2423ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2524ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2625anim2d 605 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
2726reximdv 3162 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → (∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
2816, 27mpd 15 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2928ralrimiva 3113 . . . 4 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
302, 13, 293jca 1158 . . 3 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
31303impa 1136 . 2 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
32 eqid 2765 . . 3 (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)
336, 32islocfin 21600 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 = (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠 ∈ (𝐴𝐵) ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
3431, 33sylibr 225 1 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 𝐽) → (𝐴𝐵) ∈ (LocFin‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079   cuni 4594  cfv 6068  Fincfn 8160  Topctop 20977  LocFinclocfin 21587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-fin 8164  df-top 20978  df-locfin 21590
This theorem is referenced by:  locfinref  30355
  Copyright terms: Public domain W3C validator