MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finlocfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finlocfin 21732
Description: A finite cover of a topological space is a locally finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
finlocfin.1 𝑋 = 𝐽
finlocfin.2 𝑌 = 𝐴
Assertion
Ref Expression
finlocfin ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))

Proof of Theorem finlocfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
2 simp3 1129 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
3 simpl1 1199 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4 finlocfin.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
54topopn 21118 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
63, 5syl 17 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝐽)
7 simpr 479 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
8 simpl2 1201 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
9 ssrab2 3908 . . . . 5 {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
10 ssfi 8468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
118, 9, 10sylancl 580 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
12 eleq2 2848 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑥𝑛𝑥𝑋))
13 ineq2 4031 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑋 → (𝑠𝑛) = (𝑠𝑋))
1413neeq1d 3028 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑋 → ((𝑠𝑛) ≠ ∅ ↔ (𝑠𝑋) ≠ ∅))
1514rabbidv 3386 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑋 → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} = {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅})
1615eleq1d 2844 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
1712, 16anbi12d 624 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑥𝑋 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
1817rspcev 3511 . . . 4 ((𝑋𝐽 ∧ (𝑥𝑋 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
196, 7, 11, 18syl12anc 827 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2019ralrimiva 3148 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∀𝑥𝑋𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
21 finlocfin.2 . . 3 𝑌 = 𝐴
224, 21islocfin 21729 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
231, 2, 20, 22syl3anbrc 1400 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  cin 3791  wss 3792  c0 4141   cuni 4671  cfv 6135  Fincfn 8241  Topctop 21105  LocFinclocfin 21716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-er 8026  df-en 8242  df-fin 8245  df-top 21106  df-locfin 21719
This theorem is referenced by:  locfincmp  21738  cmppcmp  30523
  Copyright terms: Public domain W3C validator