Theorem finlocfin 23688

Description: A finite cover of a topological space is a locally finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
finlocfin.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
finlocfin.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐴

Assertion

Ref	Expression
finlocfin	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))

Proof of Theorem finlocfin

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1153	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
2		simp3 1155	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
3		simpl1 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4		finlocfin.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	topopn 23074	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
7		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
8		simpl2 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
9		ssrab2 4033	. . . . 5 ⊢ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
10		ssfi 9155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
11	8, 9, 10	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
12		eleq2 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑛 ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
13		ineq2 4166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → (𝑠 ∩ 𝑛) = (𝑠 ∩ 𝑋))
14	13	neeq1d 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → ((𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅ ↔ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅))
15	14	rabbidv 3422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} = {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅})
16	15	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
17	12, 16	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
18	17	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
19	6, 7, 11, 18	syl12anc 849	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
20	19	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
21		finlocfin.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐴
22	4, 21	islocfin 23685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
23	1, 2, 20, 22	syl3anbrc 1361	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6536  Fincfn 8941  Topctop 23061  LocFinclocfin 23672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7861  df-1o 8451  df-en 8942  df-fin 8945  df-top 23062  df-locfin 23675

This theorem is used by:  locfincmp  23694  cmppcmp  34257