MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finlocfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finlocfin 23544
Description: A finite cover of a topological space is a locally finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
finlocfin.1 𝑋 = 𝐽
finlocfin.2 𝑌 = 𝐴
Assertion
Ref Expression
finlocfin ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))

Proof of Theorem finlocfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐽 ∈ Top)
2 simp3 1137 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝑋 = 𝑌)
3 simpl1 1190 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4 finlocfin.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
54topopn 22928 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
63, 5syl 17 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑋𝐽)
7 simpr 484 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
8 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ Fin)
9 ssrab2 4090 . . . . 5 {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
10 ssfi 9212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ⊆ 𝐴) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
118, 9, 10sylancl 586 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
12 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑥𝑛𝑥𝑋))
13 ineq2 4222 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑋 → (𝑠𝑛) = (𝑠𝑋))
1413neeq1d 2998 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑋 → ((𝑠𝑛) ≠ ∅ ↔ (𝑠𝑋) ≠ ∅))
1514rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑋 → {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} = {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅})
1615eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
1712, 16anbi12d 632 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑥𝑋 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
1817rspcev 3622 . . . 4 ((𝑋𝐽 ∧ (𝑥𝑋 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
196, 7, 11, 18syl12anc 837 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
2019ralrimiva 3144 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∀𝑥𝑋𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
21 finlocfin.2 . . 3 𝑌 = 𝐴
224, 21islocfin 23541 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin)))
231, 2, 20, 22syl3anbrc 1342 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 = 𝑌) → 𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cin 3962  wss 3963  c0 4339   cuni 4912  cfv 6563  Fincfn 8984  Topctop 22915  LocFinclocfin 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-top 22916  df-locfin 23531
This theorem is referenced by:  locfincmp  23550  cmppcmp  33819
  Copyright terms: Public domain W3C validator