MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lppthon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lppthon 28993
Description: A loop (which is an edge at index 𝐽) induces a path of length 1 from a vertex to itself in a hypergraph. (Contributed by AV, 1-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lppthon.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lppthon ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩)

Proof of Theorem lppthon
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 ⟨“𝐴𝐴”⟩ = ⟨“𝐴𝐴”⟩
2 eqid 2736 . 2 ⟨“𝐽”⟩ = ⟨“𝐽”⟩
3 lppthon.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
43lpvtx 27917 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
5 simpl3 1193 . 2 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) ∧ 𝐴 = 𝐴) → (𝐼𝐽) = {𝐴})
6 eqid 2736 . . . 4 𝐴 = 𝐴
7 eqneqall 2953 . . . 4 (𝐴 = 𝐴 → (𝐴𝐴 → {𝐴, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐽)))
86, 7ax-mp 5 . . 3 (𝐴𝐴 → {𝐴, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐽))
98adantl 482 . 2 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) ∧ 𝐴𝐴) → {𝐴, 𝐴} ⊆ (𝐼𝐽))
10 eqid 2736 . 2 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
111, 2, 4, 4, 5, 9, 10, 31pthond 28986 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  wss 3909  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5104  dom cdm 5632  cfv 6494  (class class class)co 7354  ⟨“cs1 14480  ⟨“cs2 14727  Vtxcvtx 27845  iEdgciedg 27846  UHGraphcuhgr 27905  PathsOncpthson 28560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-hash 14228  df-word 14400  df-concat 14456  df-s1 14481  df-s2 14734  df-uhgr 27907  df-wlks 28445  df-wlkson 28446  df-trls 28538  df-trlson 28539  df-pths 28562  df-pthson 28564
This theorem is referenced by:  lp1cycl  28994
  Copyright terms: Public domain W3C validator