MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lp1cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lp1cycl 29385
Description: A loop (which is an edge at index 𝐽) induces a cycle of length 1 in a hypergraph. (Contributed by AV, 2-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
lppthon.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lp1cycl ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)

Proof of Theorem lp1cycl
StepHypRef Expression
1 lppthon.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21lppthon 29384 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩)
3 pthonispth 28983 . . 3 (⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩ → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
51lpvtx 28308 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 s2fv1 14835 . . . 4 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1) = 𝐴)
7 s1len 14552 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
87fveq2i 6891 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1)
98a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1))
10 s2fv0 14834 . . . 4 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
116, 9, 103eqtr4rd 2784 . . 3 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
125, 11syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
13 iscycl 29028 . 2 (⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ↔ (⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ∧ (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩))))
144, 12, 13sylanbrc 584 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4627   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106  1c1 11107  chash 14286  ⟨“cs1 14541  ⟨“cs2 14788  Vtxcvtx 28236  iEdgciedg 28237  UHGraphcuhgr 28296  Pathscpths 28949  PathsOncpthson 28951  Cyclesccycls 29022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-uhgr 28298  df-wlks 28836  df-wlkson 28837  df-trls 28929  df-trlson 28930  df-pths 28953  df-pthson 28955  df-cycls 29024
This theorem is referenced by:  loop1cycl  34066
  Copyright terms: Public domain W3C validator