Theorem lp1cycl 29385

Description: A loop (which is an edge at index 𝐽) induces a cycle of length 1 in a hypergraph. (Contributed by AV, 2-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lppthon.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lp1cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)

Proof of Theorem lp1cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lppthon.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	lppthon 29384	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩)
3		pthonispth 28983	. . 3 ⊢ (⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩ → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
5	1	lpvtx 28308	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		s2fv1 14835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1) = 𝐴)
7		s1len 14552	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
8	7	fveq2i 6891	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1))
10		s2fv0 14834	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
11	6, 9, 10	3eqtr4rd 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
12	5, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
13		iscycl 29028	. 2 ⊢ (⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ↔ (⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ∧ (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩))))
14	4, 12, 13	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4627   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106  1c1 11107  ♯chash 14286  ⟨“cs1 14541  ⟨“cs2 14788  Vtxcvtx 28236  iEdgciedg 28237  UHGraphcuhgr 28296  Pathscpths 28949  PathsOncpthson 28951  Cyclesccycls 29022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-uhgr 28298  df-wlks 28836  df-wlkson 28837  df-trls 28929  df-trlson 28930  df-pths 28953  df-pthson 28955  df-cycls 29024

This theorem is referenced by:  loop1cycl  34066