Theorem lp1cycl 30800

Description: A loop (which is an edge at index 𝐽) induces a cycle of length 1 in a hypergraph. (Contributed by AV, 2-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lppthon.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lp1cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)

Proof of Theorem lp1cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lppthon.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	lppthon 30799	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩)
3		pthonispth 30389	. . 3 ⊢ (⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩ → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
5	1	lpvtx 29703	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		s2fv1 15081	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1) = 𝐴)
7		s1len 14794	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
8	7	fveq2i 6919	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1))
10		s2fv0 15080	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
11	6, 9, 10	3eqtr4rd 2809	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
12	5, 11	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
13		iscycl 30435	. 2 ⊢ (⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ↔ (⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ∧ (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩))))
14	4, 12, 13	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240  ♯chash 14515  ⟨“cs1 14783  ⟨“cs2 15034  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  UHGraphcuhgr 29691  Pathscpths 30352  PathsOncpthson 30354  Cyclesccycls 30429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-uhgr 29693  df-wlks 30237  df-wlkson 30238  df-trls 30332  df-trlson 30333  df-pths 30356  df-pthson 30358  df-cycls 30431

This theorem is used by:  loop1cycl  30801