Theorem lp1cycl 27671

Description: A loop (which is an edge at index 𝐽) induces a cycle of length 1 in a hypergraph. (Contributed by AV, 2-Feb-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
lppthon.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lp1cycl	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)

Proof of Theorem lp1cycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lppthon.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	lppthon 27670	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩)
3		pthonispth 27225	. . 3 ⊢ (⟨“𝐽”⟩(𝐴(PathsOn‘𝐺)𝐴)⟨“𝐴𝐴”⟩ → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)
5	1	lpvtx 26546	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		s2fv1 14102	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1) = 𝐴)
7		s1len 13759	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
8	7	fveq2i 6496	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘1))
10		s2fv0 14101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
11	6, 9, 10	3eqtr4rd 2819	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
12	5, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩)))
13		iscycl 27270	. 2 ⊢ (⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ↔ (⟨“𝐽”⟩(Paths‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩ ∧ (⟨“𝐴𝐴”⟩‘0) = (⟨“𝐴𝐴”⟩‘(♯‘⟨“𝐽”⟩))))
14	4, 12, 13	sylanbrc 575	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝐴}) → ⟨“𝐽”⟩(Cycles‘𝐺)⟨“𝐴𝐴”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  {csn 4435   class class class wbr 4923  dom cdm 5400  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  0cc0 10327  1c1 10328  ♯chash 13498  ⟨“cs1 13748  ⟨“cs2 14055  Vtxcvtx 26474  iEdgciedg 26475  UHGraphcuhgr 26534  Pathscpths 27191  PathsOncpthson 27193  Cyclesccycls 27264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-concat 13724  df-s1 13749  df-s2 14062  df-uhgr 26536  df-wlks 27074  df-wlkson 27075  df-trls 27170  df-trlson 27171  df-pths 27195  df-pthson 27197  df-cycls 27266

This theorem is referenced by: (None)