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Theorem mndtccatid 47199
Description: Lemma for mndtccat 47200 and mndtcid 47201. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtccat.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
mndtccat.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
mndtccatid (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (0gβ€˜π‘€))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐢   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem mndtccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ 𝑀 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ))
2 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
3 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
4 mndtccat.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
5 fvexd 6858 . . 3 (πœ‘ β†’ (MndToCatβ€˜π‘€) ∈ V)
64, 5eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
7 biid 261 . 2 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀))) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀))))
8 mndtccat.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
9 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
119, 10mndidcl 18576 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
128, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
144adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
158adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
16 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ))
17 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
18 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
1914, 15, 16, 17, 17, 18mndtchom 47196 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (Baseβ€˜π‘€))
2013, 19eleqtrrd 2837 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑦))
214adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
228adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
23 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ))
24 simpr1l 1231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
25 simpr1r 1232 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
26 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
2721, 22, 23, 24, 25, 25, 26mndtcco 47197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑦) = (+gβ€˜π‘€))
2827oveqd 7375 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)𝑓))
29 simpr31 1264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
30 eqidd 2734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
3121, 22, 23, 24, 25, 30mndtchom 47196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (Baseβ€˜π‘€))
3229, 31eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
33 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
349, 33, 10mndlid 18581 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = 𝑓)
3522, 32, 34syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = 𝑓)
3628, 35eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = 𝑓)
37 simpr2l 1233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3821, 22, 23, 25, 25, 37, 26mndtcco 47197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (+gβ€˜π‘€))
3938oveqd 7375 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘¦, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(0gβ€˜π‘€)) = (𝑔(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))
40 simpr32 1265 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
4121, 22, 23, 25, 37, 30mndtchom 47196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (Baseβ€˜π‘€))
4240, 41eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
439, 33, 10mndrid 18582 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = 𝑔)
4422, 42, 43syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = 𝑔)
4539, 44eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘¦, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(0gβ€˜π‘€)) = 𝑔)
469, 33mndcl 18569 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4722, 42, 32, 46syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4821, 22, 23, 24, 25, 37, 26mndtcco 47197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (+gβ€˜π‘€))
4948oveqd 7375 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓))
5021, 22, 23, 24, 37, 30mndtchom 47196 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (Baseβ€˜π‘€))
5147, 49, 503eltr4d 2849 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
52 simpr33 1266 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀))
53 simpr2r 1234 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
5421, 22, 23, 37, 53, 30mndtchom 47196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀) = (Baseβ€˜π‘€))
5552, 54eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
569, 33mndass 18570 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)(𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓)))
5722, 55, 42, 32, 56syl13anc 1373 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)(𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓)))
5821, 22, 23, 24, 25, 53, 26mndtcco 47197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀) = (+gβ€˜π‘€))
5921, 22, 23, 25, 37, 53, 26mndtcco 47197 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀) = (+gβ€˜π‘€))
6059oveqd 7375 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘˜(βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑔) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔))
61 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑓 = 𝑓)
6258, 60, 61oveq123d 7379 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((π‘˜(βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑔)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑓) = ((π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔)(+gβ€˜π‘€)𝑓))
6321, 22, 23, 24, 37, 53, 26mndtcco 47197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀) = (+gβ€˜π‘€))
64 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘˜ = π‘˜)
6563, 64, 49oveq123d 7379 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘˜(⟨π‘₯, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)(𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓)))
6657, 62, 653eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((π‘˜(βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑔)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑓) = (π‘˜(⟨π‘₯, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
671, 2, 3, 6, 7, 20, 36, 45, 51, 66iscatd2 17566 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (0gβ€˜π‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Hom chom 17149  compcco 17150  0gc0g 17326  Catccat 17549  Idccid 17550  Mndcmnd 18561  MndToCatcmndtc 47189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-cat 17553  df-cid 17554  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mndtc 47190
This theorem is referenced by:  mndtccat  47200  mndtcid  47201
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