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Theorem mndtccatid 47992
Description: Lemma for mndtccat 47993 and mndtcid 47994. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndtccat.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
mndtccat.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
mndtccatid (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (0gβ€˜π‘€))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐢   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem mndtccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ 𝑀 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ))
2 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
3 eqidd 2727 . 2 (πœ‘ β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
4 mndtccat.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
5 fvexd 6900 . . 3 (πœ‘ β†’ (MndToCatβ€˜π‘€) ∈ V)
64, 5eqeltrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
7 biid 261 . 2 (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀))) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀))))
8 mndtccat.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
119, 10mndidcl 18682 . . . . 5 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
128, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
144adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
158adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
16 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ))
17 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
18 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
1914, 15, 16, 17, 17, 18mndtchom 47989 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (Baseβ€˜π‘€))
2013, 19eleqtrrd 2830 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑦))
214adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝐢 = (MndToCatβ€˜π‘€))
228adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
23 eqidd 2727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ))
24 simpr1l 1227 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
25 simpr1r 1228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
26 eqidd 2727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
2721, 22, 23, 24, 25, 25, 26mndtcco 47990 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑦) = (+gβ€˜π‘€))
2827oveqd 7422 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)𝑓))
29 simpr31 1260 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
30 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
3121, 22, 23, 24, 25, 30mndtchom 47989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (Baseβ€˜π‘€))
3229, 31eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
33 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
349, 33, 10mndlid 18687 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = 𝑓)
3522, 32, 34syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = 𝑓)
3628, 35eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = 𝑓)
37 simpr2l 1229 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3821, 22, 23, 25, 25, 37, 26mndtcco 47990 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (+gβ€˜π‘€))
3938oveqd 7422 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘¦, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(0gβ€˜π‘€)) = (𝑔(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))
40 simpr32 1261 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
4121, 22, 23, 25, 37, 30mndtchom 47989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (Baseβ€˜π‘€))
4240, 41eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
439, 33, 10mndrid 18688 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = 𝑔)
4422, 42, 43syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = 𝑔)
4539, 44eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘¦, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(0gβ€˜π‘€)) = 𝑔)
469, 33mndcl 18675 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4722, 42, 32, 46syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4821, 22, 23, 24, 25, 37, 26mndtcco 47990 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧) = (+gβ€˜π‘€))
4948oveqd 7422 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓))
5021, 22, 23, 24, 37, 30mndtchom 47989 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (Baseβ€˜π‘€))
5147, 49, 503eltr4d 2842 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑧))
52 simpr33 1262 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀))
53 simpr2r 1230 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
5421, 22, 23, 37, 53, 30mndtchom 47989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀) = (Baseβ€˜π‘€))
5552, 54eleqtrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
569, 33mndass 18676 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘˜ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)(𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓)))
5722, 55, 42, 32, 56syl13anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔)(+gβ€˜π‘€)𝑓) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)(𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓)))
5821, 22, 23, 24, 25, 53, 26mndtcco 47990 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀) = (+gβ€˜π‘€))
5921, 22, 23, 25, 37, 53, 26mndtcco 47990 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀) = (+gβ€˜π‘€))
6059oveqd 7422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘˜(βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑔) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔))
61 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ 𝑓 = 𝑓)
6258, 60, 61oveq123d 7426 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((π‘˜(βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑔)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑓) = ((π‘˜(+gβ€˜π‘€)𝑔)(+gβ€˜π‘€)𝑓))
6321, 22, 23, 24, 37, 53, 26mndtcco 47990 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (⟨π‘₯, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀) = (+gβ€˜π‘€))
64 eqidd 2727 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ π‘˜ = π‘˜)
6563, 64, 49oveq123d 7426 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ (π‘˜(⟨π‘₯, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (π‘˜(+gβ€˜π‘€)(𝑔(+gβ€˜π‘€)𝑓)))
6657, 62, 653eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ∧ π‘˜ ∈ (𝑧(Hom β€˜πΆ)𝑀)))) β†’ ((π‘˜(βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑔)(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)𝑓) = (π‘˜(⟨π‘₯, π‘§βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑀)(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)))
671, 2, 3, 6, 7, 20, 36, 45, 51, 66iscatd2 17634 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↦ (0gβ€˜π‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Hom chom 17217  compcco 17218  0gc0g 17394  Catccat 17617  Idccid 17618  Mndcmnd 18667  MndToCatcmndtc 47982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-cat 17621  df-cid 17622  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mndtc 47983
This theorem is referenced by:  mndtccat  47993  mndtcid  47994
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