MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmnd 18583
Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubmnd.p + = (+g𝐺)
issubmnd.z 0 = (0g𝐺)
issubmnd.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubmnd ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
2 simprl 769 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
3 simpll2 1213 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆𝐵)
4 issubmnd.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
5 issubmnd.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5ressbas2 17120 . . . . . . 7 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
73, 6syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
82, 7eleqtrd 2840 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
9 simprr 771 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
109, 7eleqtrd 2840 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
11 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
12 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
1311, 12mndcl 18564 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
141, 8, 10, 13syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
155fvexi 6856 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
1615ssex 5278 . . . . . . . 8 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
17163ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → 𝑆 ∈ V)
18 issubmnd.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
194, 18ressplusg 17171 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → + = (+g𝐻))
2017, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → + = (+g𝐻))
2120ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → + = (+g𝐻))
2221oveqd 7374 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2314, 22, 73eltr4d 2853 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2423ralrimivva 3197 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25 simpl2 1192 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
2625, 6syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2720adantr 481 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → + = (+g𝐻))
28 ovrspc2v 7383 . . . . . 6 (((𝑢𝑆𝑣𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
2928ancoms 459 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
30293impb 1115 . . . 4 ((∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
31303adant1l 1176 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
32 simpl1 1191 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
3325sseld 3943 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢𝑆𝑢𝐵))
3425sseld 3943 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑣𝑆𝑣𝐵))
3525sseld 3943 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑤𝑆𝑤𝐵))
3633, 34, 353anim123d 1443 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)))
3736imp 407 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵))
385, 18mndass 18565 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
3932, 37, 38syl2an2r 683 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
40 simpl3 1193 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 0𝑆)
4125sselda 3944 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝐵)
42 issubmnd.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
435, 18, 42mndlid 18576 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢𝐵) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
4432, 41, 43syl2an2r 683 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
455, 18, 42mndrid 18577 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
4632, 41, 45syl2an2r 683 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
4726, 27, 31, 39, 40, 44, 46ismndd 18578 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mnd)
4824, 47impbida 799 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557
This theorem is referenced by:  issubm2  18615
  Copyright terms: Public domain W3C validator