Theorem issubmnd 18866

Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubmnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issubmnd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
issubmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmnd	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Proof of Theorem issubmnd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
2		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
3		simpll2 1232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		issubmnd.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
5		issubmnd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	ressbas2 17330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	3, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
8	2, 7	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
9		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
10	9, 7	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
13	11, 12	mndcl 18844	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
14	1, 8, 10, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
15	5	fvexi 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	15	ssex 5285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
18		issubmnd.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
19	4, 18	ressplusg 17376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
20	17, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → + = (+g‘𝐻))
21	20	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → + = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 7430	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	14, 22, 7	3eltr4d 2875	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26	25, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	20	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → + = (+g‘𝐻))
28		ovrspc2v 7439	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
29	28	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
30	29	3impb 1132	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
31	30	3adant1l 1195	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
32		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
33	25	sseld 3930	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ 𝐵))
34	25	sseld 3930	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	25	sseld 3930	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ 𝐵))
36	33, 34, 35	3anim123d 1471	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)))
37	36	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
38	5, 18	mndass 18845	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
39	32, 37, 38	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
40		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑆)
41	25	sselda 3931	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
42		issubmnd.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
43	5, 18, 42	mndlid 18857	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
44	32, 41, 43	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
45	5, 18, 42	mndrid 18858	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
46	32, 41, 45	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
47	26, 27, 31, 39, 40, 44, 46	ismndd 18859	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mnd)
48	24, 47	impbida 813	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342  0_gc0g 17524  Mndcmnd 18836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837

This theorem is used by:  issubm2  18912  primrootsunit1  42963