MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmnd 18730
Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubmnd.p + = (+g𝐺)
issubmnd.z 0 = (0g𝐺)
issubmnd.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubmnd ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
2 simprl 769 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥𝑆)
3 simpll2 1210 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆𝐵)
4 issubmnd.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
5 issubmnd.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
64, 5ressbas2 17227 . . . . . . 7 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
73, 6syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
82, 7eleqtrd 2831 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
9 simprr 771 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
109, 7eleqtrd 2831 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
11 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
1311, 12mndcl 18711 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
141, 8, 10, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
155fvexi 6916 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
1615ssex 5325 . . . . . . . 8 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
17163ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → 𝑆 ∈ V)
18 issubmnd.p . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
194, 18ressplusg 17280 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ V → + = (+g𝐻))
2017, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → + = (+g𝐻))
2120ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → + = (+g𝐻))
2221oveqd 7443 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2314, 22, 73eltr4d 2844 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2423ralrimivva 3198 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆𝐵)
2625, 6syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2720adantr 479 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → + = (+g𝐻))
28 ovrspc2v 7452 . . . . . 6 (((𝑢𝑆𝑣𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
2928ancoms 457 . . . . 5 ((∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
30293impb 1112 . . . 4 ((∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
31303adant1l 1173 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆𝑣𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
32 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
3325sseld 3981 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢𝑆𝑢𝐵))
3425sseld 3981 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑣𝑆𝑣𝐵))
3525sseld 3981 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑤𝑆𝑤𝐵))
3633, 34, 353anim123d 1439 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)))
3736imp 405 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵))
385, 18mndass 18712 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
3932, 37, 38syl2an2r 683 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢𝑆𝑣𝑆𝑤𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
40 simpl3 1190 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 0𝑆)
4125sselda 3982 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → 𝑢𝐵)
42 issubmnd.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
435, 18, 42mndlid 18723 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢𝐵) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
4432, 41, 43syl2an2r 683 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
455, 18, 42mndrid 18724 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢𝐵) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
4632, 41, 45syl2an2r 683 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢𝑆) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
4726, 27, 31, 39, 40, 44, 46ismndd 18725 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mnd)
4824, 47impbida 799 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473  wss 3949  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  s cress 17218  +gcplusg 17242  0gc0g 17430  Mndcmnd 18703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704
This theorem is referenced by:  issubm2  18770  primrootsunit1  41607
  Copyright terms: Public domain W3C validator