Theorem issubmnd 17786

Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubmnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issubmnd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
issubmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmnd	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Proof of Theorem issubmnd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 756	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
2		simprl 758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
3		simpll2 1193	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		issubmnd.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
5		issubmnd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	ressbas2 16411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
8	2, 7	eleqtrd 2868	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
9		simprr 760	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
10	9, 7	eleqtrd 2868	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
11		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
12		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
13	11, 12	mndcl 17769	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
14	1, 8, 10, 13	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
15	5	fvexi 6513	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	15	ssex 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
17	16	3ad2ant2 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
18		issubmnd.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
19	4, 18	ressplusg 16468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
20	17, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → + = (+g‘𝐻))
21	20	ad2antrr 713	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → + = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 6993	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	14, 22, 7	3eltr4d 2881	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3141	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25		simpl2 1172	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26	25, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	20	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → + = (+g‘𝐻))
28		ovrspc2v 7002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
29	28	ancoms 451	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
30	29	3impb 1095	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
31	30	3adant1l 1156	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
32		simpl1 1171	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
33	25	sseld 3857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ 𝐵))
34	25	sseld 3857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	25	sseld 3857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ 𝐵))
36	33, 34, 35	3anim123d 1422	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)))
37	36	imp 398	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
38	5, 18	mndass 17770	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
39	32, 37, 38	syl2an2r 672	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
40		simpl3 1173	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑆)
41	25	sselda 3858	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
42		issubmnd.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
43	5, 18, 42	mndlid 17779	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
44	32, 41, 43	syl2an2r 672	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
45	5, 18, 42	mndrid 17780	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
46	32, 41, 45	syl2an2r 672	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
47	26, 27, 31, 39, 40, 44, 46	ismndd 17781	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mnd)
48	24, 47	impbida 788	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3088  Vcvv 3415   ⊆ wss 3829  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339   ↾_s cress 16340  +_gcplusg 16421  0_gc0g 16569  Mndcmnd 17762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763

This theorem is referenced by:  issubm2  17816