Theorem issubmnd 19003

Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
issubmnd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
issubmnd.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
issubmnd.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubmnd	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦

Proof of Theorem issubmnd

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐻 ∈ Mnd)
2		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
3		simpll2 1232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		issubmnd.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
5		issubmnd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	ressbas2 17460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
7	3, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
8	2, 7	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
9		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
10	9, 7	eleqtrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
13	11, 12	mndcl 18981	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
14	1, 8, 10, 13	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
15	5	fvexi 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	15	ssex 5289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ V)
18		issubmnd.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
19	4, 18	ressplusg 17508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
20	17, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → + = (+g‘𝐻))
21	20	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → + = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 7468	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	14, 22, 7	3eltr4d 2879	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
24	23	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
26	25, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
27	20	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → + = (+g‘𝐻))
28		ovrspc2v 7477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
29	28	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
30	29	3impb 1132	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
31	30	3adant1l 1195	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑆)
32		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Mnd)
33	25	sseld 3912	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ 𝐵))
34	25	sseld 3912	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ 𝐵))
35	25	sseld 3912	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ 𝐵))
36	33, 34, 35	3anim123d 1472	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)))
37	36	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵))
38	5, 18	mndass 18982	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
39	32, 37, 38	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ (𝑢 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤)))
40		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 0 ∈ 𝑆)
41	25	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → 𝑢 ∈ 𝐵)
42		issubmnd.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
43	5, 18, 42	mndlid 18994	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
44	32, 41, 43	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → ( 0 + 𝑢) = 𝑢)
45	5, 18, 42	mndrid 18995	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
46	32, 41, 45	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑢 + 0 ) = 𝑢)
47	26, 27, 31, 39, 40, 44, 46	ismndd 18996	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐻 ∈ Mnd)
48	24, 47	impbida 813	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660  Mndcmnd 18973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974

This theorem is used by:  issubm2  19049  primrootsunit1  43413