Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgp0 18613
 Description: The free group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgp0 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))

Proof of Theorem frgp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgp0.m . . 3 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
2 eqid 2794 . . 3 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3 frgp0.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
41, 2, 3frgpval 18611 . 2 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
5 2on 7965 . . . . 5 2o ∈ On
6 xpexg 7333 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
75, 6mpan2 687 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
8 eqid 2794 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
92, 8frmdbas 17828 . . . 4 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
107, 9syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1110eqcomd 2800 . 2 (𝐼𝑉 → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
12 eqidd 2795 . 2 (𝐼𝑉 → (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
13 eqid 2794 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
1413, 3efger 18571 . . 3 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
15 wrdexg 13717 . . . . 5 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
16 fvi 6610 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
177, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝐼𝑉 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18 ereq2 8150 . . . 4 (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o) → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
2014, 19mpbii 234 . 2 (𝐼𝑉 Er Word (𝐼 × 2o))
21 fvexd 6556 . 2 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
22 eqid 2794 . . . 4 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
231, 2, 3, 22frgpcpbl 18612 . . 3 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
2423a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
252frmdmnd 17835 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
267, 25syl 17 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
27263ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28 simp2 1130 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
29113ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3028, 29eleqtrd 2884 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31 simp3 1131 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o))
3231, 29eleqtrd 2884 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
338, 22mndcl 17740 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1364 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2885 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3620adantr 481 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Er Word (𝐼 × 2o))
3726adantr 481 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
38343adant3r3 1177 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
39 simpr3 1189 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))
4011adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4139, 40eleqtrd 2884 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
428, 22mndcl 17740 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4337, 38, 41, 42syl3anc 1364 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4443, 40eleqtrrd 2885 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ Word (𝐼 × 2o))
4536, 44erref 8162 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧))
46303adant3r3 1177 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
47323adant3r3 1177 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
488, 22mndass 17741 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
4937, 46, 47, 41, 48syl13anc 1365 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
5045, 49breqtrd 4990 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
51 wrd0 13735 . . 3 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
5251a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o))
5351, 11syl5eleq 2888 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5453adantr 481 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5511eleq2d 2867 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))))
5655biimpa 477 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
572, 8, 22frmdadd 17831 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
59 ccatlid 13784 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6059adantl 482 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6158, 60eqtrd 2830 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = 𝑥)
6220adantr 481 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Er Word (𝐼 × 2o))
63 simpr 485 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
6462, 63erref 8162 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 𝑥)
6561, 64eqbrtrd 4986 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) 𝑥)
66 revcl 13959 . . . 4 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6766adantl 482 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
68 eqid 2794 . . . . 5 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6968efgmf 18566 . . . 4 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
7069a1i 11 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
71 wrdco 14029 . . 3 (((reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7267, 70, 71syl2anc 584 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7311adantr 481 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
7472, 73eleqtrd 2884 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
752, 8, 22frmdadd 17831 . . . 4 ((((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7674, 56, 75syl2anc 584 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7717eleq2d 2867 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)))
7877biimpar 478 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
79 eqid 2794 . . . . 5 (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
8013, 3, 68, 79efginvrel1 18581 . . . 4 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8178, 80syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8276, 81eqbrtrd 4986 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) ∅)
834, 11, 12, 20, 21, 24, 35, 50, 52, 65, 72, 82qusgrp2 17974 1 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  Vcvv 3436   ∖ cdif 3858  ∅c0 4213  ⟨cop 4480  ⟨cotp 4482   class class class wbr 4964   ↦ cmpt 5043   I cid 5350   × cxp 5444   ∘ ccom 5450  Oncon0 6069  ⟶wf 6224  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019   ∈ cmpo 7021  1oc1o 7949  2oc2o 7950   Er wer 8139  [cec 8140  0cc0 10386  ...cfz 12742  ♯chash 13540  Word cword 13707   ++ cconcat 13768   splice csplice 13947  reversecreverse 13956  ⟨“cs2 14039  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  0gc0g 16542  Mndcmnd 17733  freeMndcfrmd 17823  Grpcgrp 17861   ~FG cefg 18559  freeGrpcfrgp 18560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-ot 4483  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-2o 7957  df-oadd 7960  df-er 8142  df-ec 8144  df-qs 8148  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-inf 8756  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-xnn0 11818  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-lsw 13761  df-concat 13769  df-s1 13794  df-substr 13839  df-pfx 13869  df-splice 13948  df-reverse 13957  df-s2 14046  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-0g 16544  df-imas 16610  df-qus 16611  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-frmd 17825  df-grp 17864  df-efg 18562  df-frgp 18563 This theorem is referenced by:  frgpgrp  18615  frgpinv  18617  frgpmhm  18618
 Copyright terms: Public domain W3C validator