MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgp0 19754
Description: The free group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgp0 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))

Proof of Theorem frgp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgp0.m . . 3 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
2 eqid 2726 . . 3 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3 frgp0.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
41, 2, 3frgpval 19752 . 2 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
5 2on 8502 . . . . 5 2o ∈ On
6 xpexg 7750 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
75, 6mpan2 689 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
8 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
92, 8frmdbas 18837 . . . 4 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
107, 9syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1110eqcomd 2732 . 2 (𝐼𝑉 → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
12 eqidd 2727 . 2 (𝐼𝑉 → (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
13 eqid 2726 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
1413, 3efger 19712 . . 3 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
15 wrdexg 14527 . . . . 5 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
16 fvi 6970 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
177, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝐼𝑉 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18 ereq2 8734 . . . 4 (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o) → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
2014, 19mpbii 232 . 2 (𝐼𝑉 Er Word (𝐼 × 2o))
21 fvexd 6908 . 2 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
22 eqid 2726 . . . 4 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
231, 2, 3, 22frgpcpbl 19753 . . 3 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
2423a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
252frmdmnd 18844 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
267, 25syl 17 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
27263ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
29113ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3028, 29eleqtrd 2828 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o))
3231, 29eleqtrd 2828 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
338, 22mndcl 18730 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1368 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2829 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3620adantr 479 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Er Word (𝐼 × 2o))
3726adantr 479 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
38343adant3r3 1181 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
39 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))
4011adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4139, 40eleqtrd 2828 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
428, 22mndcl 18730 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4337, 38, 41, 42syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4443, 40eleqtrrd 2829 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ Word (𝐼 × 2o))
4536, 44erref 8746 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧))
46303adant3r3 1181 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
47323adant3r3 1181 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
488, 22mndass 18731 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
4937, 46, 47, 41, 48syl13anc 1369 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
5045, 49breqtrd 5171 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
51 wrd0 14542 . . 3 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
5251a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o))
5351, 11eleqtrid 2832 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5453adantr 479 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5511eleq2d 2812 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))))
5655biimpa 475 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
572, 8, 22frmdadd 18840 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
5854, 56, 57syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
59 ccatlid 14589 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6059adantl 480 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6158, 60eqtrd 2766 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = 𝑥)
6220adantr 479 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Er Word (𝐼 × 2o))
63 simpr 483 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
6462, 63erref 8746 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 𝑥)
6561, 64eqbrtrd 5167 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) 𝑥)
66 revcl 14764 . . . 4 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6766adantl 480 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
68 eqid 2726 . . . . 5 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6968efgmf 19707 . . . 4 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
7069a1i 11 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
71 wrdco 14835 . . 3 (((reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7267, 70, 71syl2anc 582 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7311adantr 479 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
7472, 73eleqtrd 2828 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
752, 8, 22frmdadd 18840 . . . 4 ((((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7674, 56, 75syl2anc 582 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7717eleq2d 2812 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)))
7877biimpar 476 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
79 eqid 2726 . . . . 5 (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
8013, 3, 68, 79efginvrel1 19722 . . . 4 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8178, 80syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8276, 81eqbrtrd 5167 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) ∅)
834, 11, 12, 20, 21, 24, 35, 50, 52, 65, 72, 82qusgrp2 19048 1 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cdif 3943  c0 4322  cop 4629  cotp 4631   class class class wbr 5145  cmpt 5228   I cid 5571   × cxp 5672  ccom 5678  Oncon0 6368  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  cmpo 7418  1oc1o 8481  2oc2o 8482   Er wer 8723  [cec 8724  0cc0 11149  ...cfz 13532  chash 14342  Word cword 14517   ++ cconcat 14573   splice csplice 14752  reversecreverse 14761  ⟨“cs2 14845  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  0gc0g 17449  Mndcmnd 18722  freeMndcfrmd 18832  Grpcgrp 18923   ~FG cefg 19700  freeGrpcfrgp 19701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-hash 14343  df-word 14518  df-lsw 14566  df-concat 14574  df-s1 14599  df-substr 14644  df-pfx 14674  df-splice 14753  df-reverse 14762  df-s2 14852  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-0g 17451  df-imas 17518  df-qus 17519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-frmd 18834  df-grp 18926  df-efg 19703  df-frgp 19704
This theorem is referenced by:  frgpgrp  19756  frgpinv  19758  frgpmhm  19759
  Copyright terms: Public domain W3C validator