MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgp0 19778
Description: The free group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgp0 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))

Proof of Theorem frgp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgp0.m . . 3 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
2 eqid 2737 . . 3 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3 frgp0.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
41, 2, 3frgpval 19776 . 2 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
5 2on 8520 . . . . 5 2o ∈ On
6 xpexg 7770 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
75, 6mpan2 691 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
8 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
92, 8frmdbas 18865 . . . 4 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
107, 9syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1110eqcomd 2743 . 2 (𝐼𝑉 → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
12 eqidd 2738 . 2 (𝐼𝑉 → (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
13 eqid 2737 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
1413, 3efger 19736 . . 3 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
15 wrdexg 14562 . . . . 5 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
16 fvi 6985 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
177, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝐼𝑉 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18 ereq2 8753 . . . 4 (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o) → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
2014, 19mpbii 233 . 2 (𝐼𝑉 Er Word (𝐼 × 2o))
21 fvexd 6921 . 2 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
22 eqid 2737 . . . 4 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
231, 2, 3, 22frgpcpbl 19777 . . 3 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
2423a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
252frmdmnd 18872 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
267, 25syl 17 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
27263ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28 simp2 1138 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
29113ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3028, 29eleqtrd 2843 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o))
3231, 29eleqtrd 2843 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
338, 22mndcl 18755 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1373 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2844 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3620adantr 480 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Er Word (𝐼 × 2o))
3726adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
38343adant3r3 1185 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
39 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))
4011adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4139, 40eleqtrd 2843 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
428, 22mndcl 18755 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4337, 38, 41, 42syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4443, 40eleqtrrd 2844 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ Word (𝐼 × 2o))
4536, 44erref 8765 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧))
46303adant3r3 1185 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
47323adant3r3 1185 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
488, 22mndass 18756 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
4937, 46, 47, 41, 48syl13anc 1374 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
5045, 49breqtrd 5169 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
51 wrd0 14577 . . 3 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
5251a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o))
5351, 11eleqtrid 2847 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5453adantr 480 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5511eleq2d 2827 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))))
5655biimpa 476 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
572, 8, 22frmdadd 18868 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
59 ccatlid 14624 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6059adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6158, 60eqtrd 2777 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = 𝑥)
6220adantr 480 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Er Word (𝐼 × 2o))
63 simpr 484 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
6462, 63erref 8765 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 𝑥)
6561, 64eqbrtrd 5165 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) 𝑥)
66 revcl 14799 . . . 4 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6766adantl 481 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
68 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6968efgmf 19731 . . . 4 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
7069a1i 11 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
71 wrdco 14870 . . 3 (((reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7267, 70, 71syl2anc 584 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7311adantr 480 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
7472, 73eleqtrd 2843 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
752, 8, 22frmdadd 18868 . . . 4 ((((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7674, 56, 75syl2anc 584 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7717eleq2d 2827 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)))
7877biimpar 477 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
79 eqid 2737 . . . . 5 (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
8013, 3, 68, 79efginvrel1 19746 . . . 4 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8178, 80syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8276, 81eqbrtrd 5165 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) ∅)
834, 11, 12, 20, 21, 24, 35, 50, 52, 65, 72, 82qusgrp2 19076 1 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333  cop 4632  cotp 4634   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ccom 5689  Oncon0 6384  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8499  2oc2o 8500   Er wer 8742  [cec 8743  0cc0 11155  ...cfz 13547  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608   splice csplice 14787  reversecreverse 14796  ⟨“cs2 14880  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  freeMndcfrmd 18860  Grpcgrp 18951   ~FG cefg 19724  freeGrpcfrgp 19725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-frmd 18862  df-grp 18954  df-efg 19727  df-frgp 19728
This theorem is referenced by:  frgpgrp  19780  frgpinv  19782  frgpmhm  19783
  Copyright terms: Public domain W3C validator