MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgp0 19542
Description: The free group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgp0 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))

Proof of Theorem frgp0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgp0.m . . 3 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
2 eqid 2736 . . 3 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
3 frgp0.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
41, 2, 3frgpval 19540 . 2 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
5 2on 8426 . . . . 5 2o ∈ On
6 xpexg 7684 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
75, 6mpan2 689 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
8 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
92, 8frmdbas 18662 . . . 4 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
107, 9syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
1110eqcomd 2742 . 2 (𝐼𝑉 → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
12 eqidd 2737 . 2 (𝐼𝑉 → (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
13 eqid 2736 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
1413, 3efger 19500 . . 3 Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
15 wrdexg 14412 . . . . 5 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
16 fvi 6917 . . . . 5 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
177, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝐼𝑉 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18 ereq2 8656 . . . 4 (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o) → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝐼𝑉 → ( Er ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ Er Word (𝐼 × 2o)))
2014, 19mpbii 232 . 2 (𝐼𝑉 Er Word (𝐼 × 2o))
21 fvexd 6857 . 2 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
22 eqid 2736 . . . 4 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
231, 2, 3, 22frgpcpbl 19541 . . 3 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑))
2423a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑑)))
252frmdmnd 18669 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
267, 25syl 17 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
27263ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
28 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
29113ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3028, 29eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
31 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o))
3231, 29eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
338, 22mndcl 18564 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1371 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2841 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ Word (𝐼 × 2o))
3620adantr 481 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Er Word (𝐼 × 2o))
3726adantr 481 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd)
38343adant3r3 1184 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
39 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))
4011adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4139, 40eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
428, 22mndcl 18564 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4337, 38, 41, 42syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
4443, 40eleqtrrd 2841 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ∈ Word (𝐼 × 2o))
4536, 44erref 8668 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧))
46303adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
47323adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
488, 22mndass 18565 . . . 4 (((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
4937, 46, 47, 41, 48syl13anc 1372 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) = (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
5045, 49breqtrd 5131 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 × 2o))) → ((𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑦)(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧) (𝑥(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))(𝑦(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑧)))
51 wrd0 14427 . . 3 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o)
5251a1i 11 . 2 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2o))
5351, 11eleqtrid 2844 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5453adantr 481 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
5511eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))))
5655biimpa 477 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
572, 8, 22frmdadd 18665 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
59 ccatlid 14474 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6059adantl 482 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
6158, 60eqtrd 2776 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = 𝑥)
6220adantr 481 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Er Word (𝐼 × 2o))
63 simpr 485 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o))
6462, 63erref 8668 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 𝑥)
6561, 64eqbrtrd 5127 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (∅(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) 𝑥)
66 revcl 14649 . . . 4 (𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
6766adantl 482 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o))
68 eqid 2736 . . . . 5 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
6968efgmf 19495 . . . 4 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)
7069a1i 11 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o))
71 wrdco 14720 . . 3 (((reverse‘𝑥) ∈ Word (𝐼 × 2o) ∧ (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩):(𝐼 × 2o)⟶(𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7267, 70, 71syl2anc 584 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ Word (𝐼 × 2o))
7311adantr 481 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
7472, 73eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
752, 8, 22frmdadd 18665 . . . 4 ((((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7674, 56, 75syl2anc 584 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) = (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥))
7717eleq2d 2823 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↔ 𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)))
7877biimpar 478 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
79 eqid 2736 . . . . 5 (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
8013, 3, 68, 79efginvrel1 19510 . . . 4 (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8178, 80syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥)) ++ 𝑥) ∅)
8276, 81eqbrtrd 5127 . 2 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ Word (𝐼 × 2o)) → (((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩) ∘ (reverse‘𝑥))(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))𝑥) ∅)
834, 11, 12, 20, 21, 24, 35, 50, 52, 65, 72, 82qusgrp2 18865 1 (𝐼𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cdif 3907  c0 4282  cop 4592  cotp 4594   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  ccom 5637  Oncon0 6317  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  1oc1o 8405  2oc2o 8406   Er wer 8645  [cec 8646  0cc0 11051  ...cfz 13424  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458   splice csplice 14637  reversecreverse 14646  ⟨“cs2 14730  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  freeMndcfrmd 18657  Grpcgrp 18748   ~FG cefg 19488  freeGrpcfrgp 19489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-0g 17323  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-frmd 18659  df-grp 18751  df-efg 19491  df-frgp 19492
This theorem is referenced by:  frgpgrp  19544  frgpinv  19546  frgpmhm  19547
  Copyright terms: Public domain W3C validator