MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgp0 19622
Description: The free group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgp0.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frgp0 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ)))

Proof of Theorem frgp0
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑛 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgp0.m . . 3 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
2 eqid 2732 . . 3 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
3 frgp0.r . . 3 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
41, 2, 3frgpval 19620 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
5 2on 8476 . . . . 5 2o ∈ On
6 xpexg 7733 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
75, 6mpan2 689 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
8 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
92, 8frmdbas 18729 . . . 4 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
107, 9syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1110eqcomd 2738 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
12 eqidd 2733 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
13 eqid 2732 . . . 4 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
1413, 3efger 19580 . . 3 ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
15 wrdexg 14470 . . . . 5 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
16 fvi 6964 . . . . 5 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
177, 15, 163syl 18 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
18 ereq2 8707 . . . 4 (( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ( ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↔ ∼ Er Word (𝐼 Γ— 2o)))
1917, 18syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ( ∼ Er ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↔ ∼ Er Word (𝐼 Γ— 2o)))
2014, 19mpbii 232 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ∼ Er Word (𝐼 Γ— 2o))
21 fvexd 6903 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
22 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
231, 2, 3, 22frgpcpbl 19621 . . 3 ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑))
2423a1i 11 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑐) ∼ (𝑏(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑑)))
252frmdmnd 18736 . . . . . 6 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
267, 25syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
27263ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
28 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
29113ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3028, 29eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
31 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
3231, 29eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
338, 22mndcl 18629 . . . 4 (((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1371 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
3534, 29eleqtrrd 2836 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
3620adantr 481 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ∼ Er Word (𝐼 Γ— 2o))
3726adantr 481 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd)
38343adant3r3 1184 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
39 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
4011adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
4139, 40eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
428, 22mndcl 18629 . . . . . 6 (((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd ∧ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
4337, 38, 41, 42syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
4443, 40eleqtrrd 2836 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
4536, 44erref 8719 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧) ∼ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧))
46303adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
47323adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
488, 22mndass 18630 . . . 4 (((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))(𝑦(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧)))
4937, 46, 47, 41, 48syl13anc 1372 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))(𝑦(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧)))
5045, 49breqtrd 5173 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑦 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑧 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑦)(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧) ∼ (π‘₯(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))(𝑦(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))𝑧)))
51 wrd0 14485 . . 3 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
5251a1i 11 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5351, 11eleqtrid 2839 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
5453adantr 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ βˆ… ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
5511eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ↔ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))))
5655biimpa 477 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
572, 8, 22frmdadd 18732 . . . . 5 ((βˆ… ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (βˆ…(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))π‘₯) = (βˆ… ++ π‘₯))
59 ccatlid 14532 . . . . 5 (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
6059adantl 482 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (βˆ… ++ π‘₯) = π‘₯)
6158, 60eqtrd 2772 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))π‘₯) = π‘₯)
6220adantr 481 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ∼ Er Word (𝐼 Γ— 2o))
63 simpr 485 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
6462, 63erref 8719 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ π‘₯ ∼ π‘₯)
6561, 64eqbrtrd 5169 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (βˆ…(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))π‘₯) ∼ π‘₯)
66 revcl 14707 . . . 4 (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (reverseβ€˜π‘₯) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
6766adantl 482 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (reverseβ€˜π‘₯) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
68 eqid 2732 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
6968efgmf 19575 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩):(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
7069a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩):(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o))
71 wrdco 14778 . . 3 (((reverseβ€˜π‘₯) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩):(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7267, 70, 71syl2anc 584 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7311adantr 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
7472, 73eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
752, 8, 22frmdadd 18732 . . . 4 ((((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯))(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))π‘₯) = (((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ++ π‘₯))
7674, 56, 75syl2anc 584 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯))(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))π‘₯) = (((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ++ π‘₯))
7717eleq2d 2819 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↔ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)))
7877biimpar 478 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)))
79 eqid 2732 . . . . 5 (𝑣 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©))) = (𝑣 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
8013, 3, 68, 79efginvrel1 19590 . . . 4 (π‘₯ ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ++ π‘₯) ∼ βˆ…)
8178, 80syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯)) ++ π‘₯) ∼ βˆ…)
8276, 81eqbrtrd 5169 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩) ∘ (reverseβ€˜π‘₯))(+gβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))π‘₯) ∼ βˆ…)
834, 11, 12, 20, 21, 24, 35, 50, 52, 65, 72, 82qusgrp2 18937 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ [βˆ…] ∼ = (0gβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633  βŸ¨cotp 4635   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  Oncon0 6361  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1oc1o 8455  2oc2o 8456   Er wer 8696  [cec 8697  0cc0 11106  ...cfz 13480  β™―chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516   splice csplice 14695  reversecreverse 14704  βŸ¨β€œcs2 14788  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621  freeMndcfrmd 18724  Grpcgrp 18815   ~FG cefg 19568  freeGrpcfrgp 19569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-frmd 18726  df-grp 18818  df-efg 19571  df-frgp 19572
This theorem is referenced by:  frgpgrp  19624  frgpinv  19626  frgpmhm  19627
  Copyright terms: Public domain W3C validator