MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cntzsubm 19243
Description: Centralizers in a monoid are submonoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
cntzrec.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsubm ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Proof of Theorem cntzsubm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzrec.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 cntzrec.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
31, 2cntzssv 19233 . . 3 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
43a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡)
5 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
61, 5mndidcl 18674 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
76adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡)
8 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
9 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
109sselda 3982 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
11 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
121, 11, 5mndlid 18679 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = π‘₯)
138, 10, 12syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = π‘₯)
141, 11, 5mndrid 18680 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = π‘₯)
158, 10, 14syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = π‘₯)
1613, 15eqtr4d 2775 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))
1716ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))
181, 11, 2elcntz 19227 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))))
1918adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))))
207, 17, 19mpbir2and 711 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (π‘β€˜π‘†))
21 simpll 765 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
22 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†))
233, 22sselid 3980 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
24 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))
253, 24sselid 3980 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
261, 11mndcl 18667 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡)
2721, 23, 25, 26syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡)
2821adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2923adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
3025adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3110adantlr 713 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
321, 11mndass 18668 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)))
3328, 29, 30, 31, 32syl13anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)))
3411, 2cntzi 19234 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑧))
3524, 34sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑧))
3635oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
371, 11mndass 18668 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
3828, 29, 31, 30, 37syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
3911, 2cntzi 19234 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
4022, 39sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
4140oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧))
4236, 38, 413eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)(𝑧(+gβ€˜π‘€)π‘₯)) = ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧))
431, 11mndass 18668 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
4428, 31, 29, 30, 43syl13anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
4533, 42, 443eqtrd 2776 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
4645ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))
471, 11, 2elcntz 19227 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))))
4847ad2antlr 725 . . . 4 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 ((𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)))))
4927, 46, 48mpbir2and 711 . . 3 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑧 ∈ (π‘β€˜π‘†))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ (π‘β€˜π‘†))
5049ralrimivva 3200 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)βˆ€π‘§ ∈ (π‘β€˜π‘†)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ (π‘β€˜π‘†))
511, 5, 11issubm 18720 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)βˆ€π‘§ ∈ (π‘β€˜π‘†)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ (π‘β€˜π‘†))))
5251adantr 481 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (π‘β€˜π‘†)βˆ€π‘§ ∈ (π‘β€˜π‘†)(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) ∈ (π‘β€˜π‘†))))
534, 20, 50, 52mpbir3and 1342 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18704  Cntzccntz 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  cntzsubg  19244  cntrcmnd  19751  cntzspan  19753  dprdfadd  19931  cntzsubr  20496
  Copyright terms: Public domain W3C validator