MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgcom4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgcom4 20232
Description: Restricted commutativity of the addition in semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by AV, 1-Feb-2025.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srgcom4.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcom4.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgcom4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))

Proof of Theorem srgcom4
StepHypRef Expression
1 srgmnd 20208 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
213ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
3 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
4 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
5 srgcom4.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 srgcom4.p . . . . . 6 + = (+g𝑅)
75, 6mndass 18769 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
82, 3, 3, 4, 7syl13anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
98eqcomd 2741 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌))
109oveq1d 7446 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌))
115, 6srgacl 20223 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
123, 11syld3an3 1408 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
135, 6mndass 18769 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
142, 12, 4, 4, 13syl13anc 1371 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
155, 6srgcom4lem 20231 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
165, 6srgacl 20223 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
175, 6mndass 18769 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
182, 3, 4, 16, 17syl13anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
195, 6mndass 18769 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)))
2019eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
212, 4, 3, 4, 20syl13anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
2221oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
235, 6srgacl 20223 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24233com23 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
255, 6mndass 18769 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
2625eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
272, 3, 24, 4, 26syl13anc 1371 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
2822, 27eqtrd 2775 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
2915, 18, 283eqtrd 2779 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
3010, 14, 293eqtrd 2779 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Mndcmnd 18760  SRingcsrg 20204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-srg 20205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator