Theorem srgcom4 20446

Description: Restricted commutativity of the addition in semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by AV, 1-Feb-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcom4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcom4.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgcom4	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))

Proof of Theorem srgcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20422	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
3		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		srgcom4.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		srgcom4.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	5, 6	mndass 18938	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
8	2, 3, 3, 4, 7	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
9	8	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌))
10	9	oveq1d 7436	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌))
11	5, 6	srgacl 20437	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syld3an3 1436	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
13	5, 6	mndass 18938	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
14	2, 12, 4, 4, 13	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
15	5, 6	srgcom4lem 20445	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
16	5, 6	srgacl 20437	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 6	mndass 18938	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
18	2, 3, 4, 16, 17	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
19	5, 6	mndass 18938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)))
20	19	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
21	2, 4, 3, 4, 20	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
22	21	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
23	5, 6	srgacl 20437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24	23	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
25	5, 6	mndass 18938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
26	25	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
27	2, 3, 24, 4, 26	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
28	22, 27	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
29	15, 18, 28	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
30	10, 14, 29	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  Mndcmnd 18929  SRingcsrg 20418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-cmn 20002  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-srg 20419

This theorem is used by: (None)