Theorem srgcom4 20327

Description: Restricted commutativity of the addition in semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by AV, 1-Feb-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgcom4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcom4.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srgcom4	⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))

Proof of Theorem srgcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgmnd 20303	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
3		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		srgcom4.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		srgcom4.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	5, 6	mndass 18830	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
8	2, 3, 3, 4, 7	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
9	8	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌))
10	9	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌))
11	5, 6	srgacl 20318	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
12	3, 11	syld3an3 1436	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
13	5, 6	mndass 18830	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
14	2, 12, 4, 4, 13	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
15	5, 6	srgcom4lem 20326	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
16	5, 6	srgacl 20318	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 6	mndass 18830	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
18	2, 3, 4, 16, 17	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
19	5, 6	mndass 18830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)))
20	19	eqcomd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
21	2, 4, 3, 4, 20	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
22	21	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
23	5, 6	srgacl 20318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24	23	3com23 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
25	5, 6	mndass 18830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
26	25	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
27	2, 3, 24, 4, 26	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
28	22, 27	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
29	15, 18, 28	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
30	10, 14, 29	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Mndcmnd 18821  SRingcsrg 20299

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-cmn 19883  df-mgp 20248  df-ur 20295  df-srg 20300

This theorem is used by: (None)