MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgcom4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgcom4 20161
Description: Restricted commutativity of the addition in semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by AV, 1-Feb-2025.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
srgcom4.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srgcom4.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
srgcom4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))

Proof of Theorem srgcom4
StepHypRef Expression
1 srgmnd 20137 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
213ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
3 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
4 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
5 srgcom4.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 srgcom4.p . . . . . 6 + = (+g𝑅)
75, 6mndass 18710 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
82, 3, 3, 4, 7syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
98eqcomd 2734 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌))
109oveq1d 7441 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌))
115, 6srgacl 20152 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
123, 11syld3an3 1406 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
135, 6mndass 18710 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
142, 12, 4, 4, 13syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
155, 6srgcom4lem 20160 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
165, 6srgacl 20152 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
175, 6mndass 18710 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
182, 3, 4, 16, 17syl13anc 1369 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))))
195, 6mndass 18710 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)))
2019eqcomd 2734 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑌𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
212, 4, 3, 4, 20syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 + (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌))
2221oveq2d 7442 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
235, 6srgacl 20152 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24233com23 1123 . . . . 5 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
255, 6mndass 18710 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌) = (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)))
2625eqcomd 2734 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
272, 3, 24, 4, 26syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + ((𝑌 + 𝑋) + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
2822, 27eqtrd 2768 . . 3 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
2915, 18, 283eqtrd 2772 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
3010, 14, 293eqtrd 2772 1 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) + 𝑌) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Mndcmnd 18701  SRingcsrg 20133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-cmn 19744  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-srg 20134
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator