MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringass 19234
Description: Associative law for the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringass ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringass
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 19223 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3 ringcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 3mgpbas 19165 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5 ringcl.t . . . 4 · = (.r𝑅)
61, 5mgpplusg 19163 . . 3 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
74, 6mndass 17908 . 2 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
82, 7sylan 580 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  Mndcmnd 17900  mulGrpcmgp 19159  Ringcrg 19217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mgp 19160  df-ring 19219
This theorem is referenced by:  ringinvnzdiv  19263  ringmneg1  19266  ringmneg2  19267  imasring  19289  opprring  19301  dvdsrtr  19322  dvdsrmul1  19323  unitgrp  19337  dvrass  19360  dvrcan1  19361  drngmul0or  19443  isdrngd  19447  subrginv  19471  issubrg2  19475  sralmod  19879  unitrrg  19985  sraassa  20018  psrlmod  20100  psrass1  20104  psrass23l  20107  psrass23  20109  frlmphl  20844  mamuass  20930  mamuvs1  20933  mavmulass  21077  mdetrsca  21131  chfacfpmmulgsum2  21392  nrginvrcnlem  23218  ply1divex  24648  rdivmuldivd  30779  dvrcan5  30781  ornglmullt  30797  fedgmullem1  30914  fedgmullem2  30915  mdetpmtr1  30977  mdetpmtr12  30979  mdetlap  30986  matunitlindflem1  34758  lflvscl  36083  lflvsass  36087  eqlkr3  36107  lkrlsp  36108  lcfl7lem  38505  lclkrlem2m  38525  lcfrlem1  38548  hgmapvvlem1  38929
  Copyright terms: Public domain W3C validator