Theorem ringass 20393

Description: Associative law for multiplication in a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringass	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem ringass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20379	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3		ringcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 20279	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		ringcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 20278	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	mndass 18846	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))
8	2, 7	sylan 592	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  Mndcmnd 18837  mulGrpcmgp 20274  Ringcrg 20373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mgp 20275  df-ring 20375

This theorem is used by:  ringassd  20398  ringinvnzdiv  20444  ringmneg1  20447  ringmneg2  20448  imasring  20472  dvdsrtr  20510  dvdsrmul1  20511  unitgrp  20525  dvrass  20550  dvrcan1  20551  rdivmuldivd  20555  subrginv  20751  issubrg2  20755  unitrrg  20866  isdrng3lem2  20916  isdrngd  20932  isdrngdOLD  20934  ornglmullt  21036  sralmod  21372  frlmphl  21995  psrlmod  22175  psrass1  22179  psrass23l  22182  psrass23  22184  mamuass  22625  mamuvs1  22628  mavmulass  22772  mdetrsca  22826  matunitlindflem1  22902  chfacfpmmulgsum2  23091  nrginvrcnlem  24918  ply1divex  26363  dvrcan5  33676  mxidlprm  33874  fedgmullem1  34140  fedgmullem2  34141  mdetpmtr1  34334  mdetpmtr12  34336  mdetlap  34343  lflvscl  39951  lflvsass  39955  eqlkr3  39975  lkrlsp  39976  lcfl7lem  42373  lclkrlem2m  42393  lcfrlem1  42416  hgmapvvlem1  42797