Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasmnd 17952
 Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasmnd.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasmnd.p + = (+g𝑅)
imasmnd.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasmnd.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasmnd.r (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
imasmnd.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
imasmnd (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasmnd.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasmnd.p . 2 + = (+g𝑅)
4 imasmnd.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
5 imasmnd.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6 imasmnd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
763ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
8 simp2 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
923ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
108, 9eleqtrd 2918 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11 simp3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
1211, 9eleqtrd 2918 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413, 3mndcl 17922 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
157, 10, 12, 14syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1615, 9eleqtrrd 2919 . 2 ((𝜑𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
176adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑅 ∈ Mnd)
18103adant3r3 1181 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19123adant3r3 1181 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧𝑉)
212adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
2220, 21eleqtrd 2918 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
2313, 3mndass 17923 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2417, 18, 19, 22, 23syl13anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
2524fveq2d 6666 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉𝑧𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
26 imasmnd.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
2713, 26mndidcl 17929 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
2928, 2eleqtrrd 2919 . 2 (𝜑0𝑉)
302eleq2d 2901 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑉𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
3130biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3213, 3, 26mndlid 17934 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
336, 31, 32syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
3433fveq2d 6666 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹𝑥))
3513, 3, 26mndrid 17935 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
366, 31, 35syl2an2r 684 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
3736fveq2d 6666 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐹‘(𝑥 + 0 )) = (𝐹𝑥))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 25, 29, 34, 37imasmnd2 17951 1 (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹0 ) = (0g𝑈)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  –onto→wfo 6342  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  0gc0g 16716   “s cimas 16780  Mndcmnd 17914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-inf 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-fz 12898  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-0g 16718  df-imas 16784  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915 This theorem is referenced by:  imasmndf1  17953
 Copyright terms: Public domain W3C validator