Theorem imasmnd 17944

Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasmnd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasmnd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasmnd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
imasmnd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasmnd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
imasmnd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
imasmnd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasmnd	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝, +   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝜑   𝑈,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   0 ,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasmnd.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasmnd.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasmnd.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		imasmnd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
5		imasmnd.e	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 + 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 + 𝑞))))
6		imasmnd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
7	6	3ad2ant1 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Mnd)
8		simp2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ 𝑉)
9	2	3ad2ant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
10	8, 9	eleqtrd 2914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		simp3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ 𝑉)
12	11, 9	eleqtrd 2914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	13, 3	mndcl 17914	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
15	7, 10, 12, 14	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
16	15, 9	eleqtrrd 2915	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑉)
17	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑅 ∈ Mnd)
18	10	3adant3r3 1179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19	12	3adant3r3 1179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20		simpr3 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ 𝑉)
21	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
22	20, 21	eleqtrd 2914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
23	13, 3	mndass 17915	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
24	17, 18, 19, 22, 23	syl13anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
25	24	fveq2d 6667	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑦) + 𝑧)) = (𝐹‘(𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
26		imasmnd.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
27	13, 26	mndidcl 17921	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (Base‘𝑅))
29	28, 2	eleqtrrd 2915	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
30	2	eleq2d 2897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
31	30	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
32	13, 3, 26	mndlid 17926	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
33	6, 31, 32	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
34	33	fveq2d 6667	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘( 0 + 𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
35	13, 3, 26	mndrid 17927	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
36	6, 31, 35	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
37	36	fveq2d 6667	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(𝑥 + 0 )) = (𝐹‘𝑥))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 25, 29, 34, 37	imasmnd2 17943	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  –onto→wfo 6346  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478  +_gcplusg 16560  0_gc0g 16708   “_s cimas 16772  Mndcmnd 17906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-0g 16710  df-imas 16776  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907

This theorem is referenced by:  imasmndf1  17945