Theorem oppgmnd 19583

Description: The opposite of a monoid is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgmnd	⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 19580	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2764	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
8	6, 1, 7	oppgplus 19578	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
9	2, 6	mndcl 18946	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 10	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
12		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Mnd)
13		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
14		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	2, 6	mndass 18947	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
18	17	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥))
19	8	oveq1i 7440	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧)
20	6, 1, 7	oppgplus 19578	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
21	19, 20	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
22	6, 1, 7	oppgplus 19578	. . . . 5 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)𝑦)
23	22	oveq2i 7441	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦))
24	6, 1, 7	oppgplus 19578	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
25	23, 24	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
26	18, 21, 25	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)))
27		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28	2, 27	mndidcl 18954	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
29	6, 1, 7	oppgplus 19578	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅))
30	2, 6, 27	mndrid 18960	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
32	6, 1, 7	oppgplus 19578	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥)
33	2, 6, 27	mndlid 18959	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
34	32, 33	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
35	4, 5, 11, 26, 28, 31, 34	ismndd 18961	1 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  +_gcplusg 17443  0_gc0g 17625  Mndcmnd 18938  opp_gcoppg 19574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-oppg 19575

This theorem is used by:  oppgmndb  19584  oppggrp  19586  gsumwrev  19595  gsumzoppg  20173  gsumzinv  20174  oppgtmd  24431  lsmsnorb2  34003  oppgoppchom  50870  oppgoppcco  50871  oppgoppcid  50872