Theorem oppgmnd 19320

Description: The opposite of a monoid is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgmnd	⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 19317	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2740	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
8	6, 1, 7	oppgplus 19315	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
9	2, 6	mndcl 18701	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	3com23 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 10	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
12		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Mnd)
13		simpr3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
14		simpr2 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	2, 6	mndass 18702	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
18	17	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥))
19	8	oveq1i 7366	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧)
20	6, 1, 7	oppgplus 19315	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
21	19, 20	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
22	6, 1, 7	oppgplus 19315	. . . . 5 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)𝑦)
23	22	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦))
24	6, 1, 7	oppgplus 19315	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
25	23, 24	eqtri 2762	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
26	18, 21, 25	3eqtr4g 2799	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)))
27		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28	2, 27	mndidcl 18708	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
29	6, 1, 7	oppgplus 19315	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅))
30	2, 6, 27	mndrid 18714	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrid 2786	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
32	6, 1, 7	oppgplus 19315	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥)
33	2, 6, 27	mndlid 18713	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
34	32, 33	eqtrid 2786	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
35	4, 5, 11, 26, 28, 31, 34	ismndd 18715	1 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693  opp_gcoppg 19311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-oppg 19312

This theorem is referenced by:  oppgmndb  19321  oppggrp  19323  gsumwrev  19332  gsumzoppg  19910  gsumzinv  19911  oppgtmd  24080  lsmsnorb2  33475  oppgoppchom  50080  oppgoppcco  50081  oppgoppcid  50082