Theorem oppgmnd 19185

Description: The opposite of a monoid is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgmnd	⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 19180	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
8	6, 1, 7	oppgplus 19177	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
9	2, 6	mndcl 18610	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 10	eqeltrid 2836	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
12		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Mnd)
13		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
14		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	2, 6	mndass 18611	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
18	17	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥))
19	8	oveq1i 7403	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧)
20	6, 1, 7	oppgplus 19177	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
21	19, 20	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
22	6, 1, 7	oppgplus 19177	. . . . 5 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)𝑦)
23	22	oveq2i 7404	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦))
24	6, 1, 7	oppgplus 19177	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
25	23, 24	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
26	18, 21, 25	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)))
27		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28	2, 27	mndidcl 18617	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
29	6, 1, 7	oppgplus 19177	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅))
30	2, 6, 27	mndrid 18623	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
32	6, 1, 7	oppgplus 19177	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥)
33	2, 6, 27	mndlid 18622	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
34	32, 33	eqtrid 2783	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
35	4, 5, 11, 26, 28, 31, 34	ismndd 18624	1 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17367  Mndcmnd 18602  opp_gcoppg 19173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-oppg 19174

This theorem is referenced by:  oppgmndb  19186  oppggrp  19188  gsumwrev  19197  gsumzoppg  19771  gsumzinv  19772  oppgtmd  23530  lsmsnorb2  32360