Theorem oppgmnd 19424

Description: The opposite of a monoid is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
oppgmnd	⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Proof of Theorem oppgmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	oppgbas 19421	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5		eqidd 2770	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂))
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑂) = (+g‘𝑂)
8	6, 1, 7	oppgplus 19419	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑅)𝑥)
9	2, 6	mndcl 18800	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	3com23 1142	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 10	eqeltrid 2873	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
12		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Mnd)
13		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
14		simpr2 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr1 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	2, 6	mndass 18801	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
17	12, 13, 14, 15, 16	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)))
18	17	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥))
19	8	oveq1i 7421	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧)
20	6, 1, 7	oppgplus 19419	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
21	19, 20	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥))
22	6, 1, 7	oppgplus 19419	. . . . 5 ⊢ (𝑦(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑧(+g‘𝑅)𝑦)
23	22	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦))
24	6, 1, 7	oppgplus 19419	. . . 4 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑧(+g‘𝑅)𝑦)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
25	23, 24	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)) = ((𝑧(+g‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑥)
26	18, 21, 25	3eqtr4g 2829	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g‘𝑂)𝑦)(+g‘𝑂)𝑧) = (𝑥(+g‘𝑂)(𝑦(+g‘𝑂)𝑧)))
27		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28	2, 27	mndidcl 18807	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
29	6, 1, 7	oppgplus 19419	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅))
30	2, 6, 27	mndrid 18813	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
31	29, 30	eqtrid 2816	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑂)𝑥) = 𝑥)
32	6, 1, 7	oppgplus 19419	. . 3 ⊢ (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥)
33	2, 6, 27	mndlid 18812	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
34	32, 33	eqtrid 2816	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑂)(0g‘𝑅)) = 𝑥)
35	4, 5, 11, 26, 28, 31, 34	ismndd 18814	1 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑂 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  0_gc0g 17492  Mndcmnd 18792  opp_gcoppg 19415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-oppg 19416

This theorem is referenced by:  oppgmndb  19425  oppggrp  19427  gsumwrev  19436  gsumzoppg  20014  gsumzinv  20015  oppgtmd  24223  lsmsnorb2  33649  oppgoppchom  50287  oppgoppcco  50288  oppgoppcid  50289