Theorem mndvass 21541

Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvass	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋 ∘f + (𝑌 ∘f + 𝑍)))

Proof of Theorem mndvass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8636	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝐼 ∈ V)
5		elmapi 8637	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6	5	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
8		elmapi 8637	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
9	8	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
11		elmapi 8637	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
12	11	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
13	12	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
14		mndvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
15		mndvcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
16	14, 15	mndass 18394	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
17	16	adantlr 712	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
18	4, 7, 10, 13, 17	caofass 7570	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋 ∘f + (𝑌 ∘f + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   ↑_m cmap 8615  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Mndcmnd 18385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-sgrp 18375  df-mnd 18386

This theorem is referenced by:  mendring  41017