MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvass 21157
Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvass ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → ((𝑋f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋f + (𝑌f + 𝑍)))

Proof of Theorem mndvass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 8470 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 499 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
323ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
43adantl 485 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝐼 ∈ V)
5 elmapi 8471 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
76adantl 485 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝑋:𝐼𝐵)
8 elmapi 8471 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
983ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
109adantl 485 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝑌:𝐼𝐵)
11 elmapi 8471 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑍:𝐼𝐵)
12113ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑍:𝐼𝐵)
1312adantl 485 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝑍:𝐼𝐵)
14 mndvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
15 mndvcl.p . . . 4 + = (+g𝑀)
1614, 15mndass 18048 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1716adantlr 715 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
184, 7, 10, 13, 17caofass 7473 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → ((𝑋f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋f + (𝑌f + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3400  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  f cof 7435  m cmap 8449  Basecbs 16598  +gcplusg 16680  Mndcmnd 18039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-map 8451  df-sgrp 18029  df-mnd 18040
This theorem is referenced by:  mendring  40629
  Copyright terms: Public domain W3C validator