Theorem mndvass 18811

Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p	⊢ + = (+g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mndvass	⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋 ∘f + (𝑌 ∘f + 𝑍)))

Proof of Theorem mndvass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapex 8888	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
2	1	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
3	2	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝐼 ∈ V)
5		elmapi 8889	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
6	5	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝑋:𝐼⟶𝐵)
8		elmapi 8889	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
9	8	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝑌:𝐼⟶𝐵)
11		elmapi 8889	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
12	11	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼)) → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
13	12	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → 𝑍:𝐼⟶𝐵)
14		mndvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
15		mndvcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑀)
16	14, 15	mndass 18756	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
17	16	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
18	4, 7, 10, 13, 17	caofass 7737	1 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))) → ((𝑋 ∘f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋 ∘f + (𝑌 ∘f + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Mndcmnd 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868  df-sgrp 18732  df-mnd 18748

This theorem is referenced by:  mendring  43200