MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndvass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndvass 22314
Description: Tuple-wise associativity in monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndvcl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mndvcl.p + = (+g𝑀)
Assertion
Ref Expression
mndvass ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → ((𝑋f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋f + (𝑌f + 𝑍)))

Proof of Theorem mndvass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapex 8873 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V))
21simprd 494 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
323ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝐼 ∈ V)
43adantl 480 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝐼 ∈ V)
5 elmapi 8874 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑋:𝐼𝐵)
653ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑋:𝐼𝐵)
76adantl 480 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝑋:𝐼𝐵)
8 elmapi 8874 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑌:𝐼𝐵)
983ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑌:𝐼𝐵)
109adantl 480 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝑌:𝐼𝐵)
11 elmapi 8874 . . . 4 (𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑍:𝐼𝐵)
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼)) → 𝑍:𝐼𝐵)
1312adantl 480 . 2 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → 𝑍:𝐼𝐵)
14 mndvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
15 mndvcl.p . . . 4 + = (+g𝑀)
1614, 15mndass 18710 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1716adantlr 713 . 2 (((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
184, 7, 10, 13, 17caofass 7728 1 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵m 𝐼) ∧ 𝑍 ∈ (𝐵m 𝐼))) → ((𝑋f + 𝑌) ∘f + 𝑍) = (𝑋f + (𝑌f + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  f cof 7689  m cmap 8851  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Mndcmnd 18701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853  df-sgrp 18686  df-mnd 18702
This theorem is referenced by:  mendring  42647
  Copyright terms: Public domain W3C validator