MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmndd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmndd 18692
Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsmndd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
Assertion
Ref Expression
prdsmndd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2 eqidd 2731 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ))
3 prdsmndd.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
4 eqid 2730 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2730 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
6 prdsmndd.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
76elexd 3493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
87adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑆 ∈ V)
9 prdsmndd.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
109elexd 3493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
1110adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝐼 ∈ V)
12 prdsmndd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
1312adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
14 simprl 767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
15 simprr 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
163, 4, 5, 8, 11, 13, 14, 15prdsplusgcl 18690 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
17163impb 1113 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
1812ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
1918adantlr 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
207ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ V)
2110ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ V)
2212ffnd 6717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
2322ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
24 simplr1 1213 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
25 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
263, 4, 20, 21, 23, 24, 25prdsbasprj 17422 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
27 simplr2 1214 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
283, 4, 20, 21, 23, 27, 25prdsbasprj 17422 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
29 simplr3 1215 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
303, 4, 20, 21, 23, 29, 25prdsbasprj 17422 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
31 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
32 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
3331, 32mndass 18668 . . . . . 6 (((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd ∧ ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))) β†’ (((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
3419, 26, 28, 30, 33syl13anc 1370 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
353, 4, 20, 21, 23, 24, 27, 5, 25prdsplusgfval 17424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)))
3635oveq1d 7426 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = (((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)))
373, 4, 20, 21, 23, 27, 29, 5, 25prdsplusgfval 17424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦) = ((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)))
3837oveq2d 7427 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
3934, 36, 383eqtr4d 2780 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦)))
4039mpteq2dva 5247 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦))))
417adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑆 ∈ V)
4210adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝐼 ∈ V)
4322adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
44163adantr3 1169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
45 simpr3 1194 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
463, 4, 41, 42, 43, 44, 45, 5prdsplusgval 17423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
47 simpr1 1192 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4812adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
49 simpr2 1193 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
503, 4, 5, 41, 42, 48, 49, 45prdsplusgcl 18690 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
513, 4, 41, 42, 43, 47, 50, 5prdsplusgval 17423 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦))))
5240, 46, 513eqtr4d 2780 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) = (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)))
53 eqid 2730 . . . 4 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
543, 4, 5, 7, 10, 12, 53prdsidlem 18691 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž ∧ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž)))
5554simpld 493 . 2 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
5654simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž ∧ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž))
5756r19.21bi 3246 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž ∧ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž))
5857simpld 493 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž)
5957simprd 494 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž)
601, 2, 17, 52, 55, 58, 59ismndd 18681 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Xscprds 17395  Mndcmnd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660
This theorem is referenced by:  prds0g  18693  pwsmnd  18694  xpsmnd  18699  prdspjmhm  18746  prdsgrpd  18969  prdscmnd  19770  prdsringd  20209  dsmm0cl  21514  prdstmdd  23848
  Copyright terms: Public domain W3C validator