MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmndd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmndd 18658
Description: The product of a family of monoids is a monoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdsmndd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsmndd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsmndd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
Assertion
Ref Expression
prdsmndd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)

Proof of Theorem prdsmndd
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
2 eqidd 2734 . 2 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ))
3 prdsmndd.y . . . 4 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
4 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
6 prdsmndd.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
76elexd 3495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
87adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑆 ∈ V)
9 prdsmndd.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
109elexd 3495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝐼 ∈ V)
12 prdsmndd.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
1312adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
14 simprl 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
15 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
163, 4, 5, 8, 11, 13, 14, 15prdsplusgcl 18656 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
17163impb 1116 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
1812ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
1918adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd)
207ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ V)
2110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ V)
2212ffnd 6719 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
2322ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
24 simplr1 1216 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
25 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
263, 4, 20, 21, 23, 24, 25prdsbasprj 17418 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
27 simplr2 1217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
283, 4, 20, 21, 23, 27, 25prdsbasprj 17418 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
29 simplr3 1218 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
303, 4, 20, 21, 23, 29, 25prdsbasprj 17418 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
31 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
3331, 32mndass 18634 . . . . . 6 (((π‘…β€˜π‘¦) ∈ Mnd ∧ ((π‘Žβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∧ (π‘β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))) β†’ (((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
3419, 26, 28, 30, 33syl13anc 1373 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
353, 4, 20, 21, 23, 24, 27, 5, 25prdsplusgfval 17420 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)))
3635oveq1d 7424 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = (((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)))
373, 4, 20, 21, 23, 27, 29, 5, 25prdsplusgfval 17420 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦) = ((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)))
3837oveq2d 7425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((π‘β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
3934, 36, 383eqtr4d 2783 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦)))
4039mpteq2dva 5249 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦))))
417adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑆 ∈ V)
4210adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝐼 ∈ V)
4322adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
44163adantr3 1172 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
45 simpr3 1197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
463, 4, 41, 42, 43, 44, 45, 5prdsplusgval 17419 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ (((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)β€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))(π‘β€˜π‘¦))))
47 simpr1 1195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
4812adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅:𝐼⟢Mnd)
49 simpr2 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
503, 4, 5, 41, 42, 48, 49, 45prdsplusgcl 18656 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
513, 4, 41, 42, 43, 47, 50, 5prdsplusgval 17419 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘¦)(+gβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))((𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)β€˜π‘¦))))
5240, 46, 513eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)𝑏)(+gβ€˜π‘Œ)𝑐) = (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(𝑏(+gβ€˜π‘Œ)𝑐)))
53 eqid 2733 . . . 4 (0g ∘ 𝑅) = (0g ∘ 𝑅)
543, 4, 5, 7, 10, 12, 53prdsidlem 18657 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž ∧ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž)))
5554simpld 496 . 2 (πœ‘ β†’ (0g ∘ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
5654simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)(((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž ∧ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž))
5756r19.21bi 3249 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž ∧ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž))
5857simpld 496 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((0g ∘ 𝑅)(+gβ€˜π‘Œ)π‘Ž) = π‘Ž)
5957simprd 497 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘Œ)(0g ∘ 𝑅)) = π‘Ž)
601, 2, 17, 52, 55, 58, 59ismndd 18647 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Xscprds 17391  Mndcmnd 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626
This theorem is referenced by:  prds0g  18659  pwsmnd  18660  xpsmnd  18665  prdspjmhm  18710  prdsgrpd  18933  prdscmnd  19729  prdsringd  20134  dsmm0cl  21295  prdstmdd  23628
  Copyright terms: Public domain W3C validator