Theorem mulgnn0di 19806

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgdi.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 19778	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	mndcl 18720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	5	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	2, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	3, 4	cmncom 19779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
9	8	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
10	9	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
11	3, 4	mndass 18721	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	2, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
14		nnuz 12895	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	13, 14	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
16		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		elfznn 13570	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 7194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
19	16, 17, 18	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
20	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) ∈ 𝐵)
22		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		fvconst2g 7194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
24	22, 17, 23	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
25	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	24, 25	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐵)
27	3, 4	mndcl 18720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
28	2, 16, 22, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29		fvconst2g 7194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
30	28, 17, 29	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
31	19, 24	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)) = (𝑋 + 𝑌))
32	30, 31	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)))
33	7, 10, 12, 15, 21, 26, 32	seqcaopr 14057	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
34		mulgdi.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})) = seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))
36	3, 4, 34, 35	mulgnn 19058	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
37	13, 28, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
38		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
39	3, 4, 34, 38	mulgnn 19058	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
40	13, 16, 39	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑌})) = seq1( + , (ℕ × {𝑌}))
42	3, 4, 34, 41	mulgnn 19058	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
43	13, 22, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
44	40, 43	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
45	33, 37, 44	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
46	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
47		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
48		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
49	46, 47, 48, 27	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
50		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
51	3, 50, 34	mulg0 19057	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g‘𝐺))
52	49, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g‘𝐺))
53		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54	53, 50	mndidcl 18727	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
55	53, 4, 50	mndlid 18732	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
56	1, 54, 55	syl2anc2 585	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
57	56	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
58	52, 57	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
59		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
60	59	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (0 · (𝑋 + 𝑌)))
61	59	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
62	3, 50, 34	mulg0 19057	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
63	47, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
64	61, 63	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
65	59	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
66	3, 50, 34	mulg0 19057	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
67	48, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
68	65, 67	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
69	64, 68	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
70	58, 60, 69	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
71		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
72		elnn0 12503	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
73	71, 72	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
74	45, 70, 73	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4601   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  seqcseq 14019  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  Mndcmnd 18712  ._gcmg 19050  CMndccmn 19761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mulg 19051  df-cmn 19763

This theorem is referenced by:  mulgdi  19807  mulgmhm  19808  frobrhm  21536  psdadd  22101  aks6d1c1p4  42124  mhphf  42620