MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0di 19693
Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgdi.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgdi.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0di ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgnn0di
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 19665 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
21ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
3 mulgdi.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
4 mulgdi.p . . . . . . 7 + = (+gโ€˜๐บ)
53, 4mndcl 18633 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
653expb 1121 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
72, 6sylan 581 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
83, 4cmncom 19666 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))
983expb 1121 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))
109ad4ant14 751 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฅ))
113, 4mndass 18634 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) + ๐‘ง) = (๐‘ฅ + (๐‘ฆ + ๐‘ง)))
122, 11sylan 581 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) + ๐‘ง) = (๐‘ฅ + (๐‘ฆ + ๐‘ง)))
13 simpr 486 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
14 nnuz 12865 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1513, 14eleqtrdi 2844 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
16 simplr2 1217 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
17 elfznn 13530 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
18 fvconst2g 7203 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘˜) = ๐‘‹)
1916, 17, 18syl2an 597 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘˜) = ๐‘‹)
2016adantr 482 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2119, 20eqeltrd 2834 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
22 simplr3 1218 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
23 fvconst2g 7203 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘Œ})โ€˜๐‘˜) = ๐‘Œ)
2422, 17, 23syl2an 597 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘Œ})โ€˜๐‘˜) = ๐‘Œ)
2522adantr 482 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2624, 25eqeltrd 2834 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘Œ})โ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐ต)
273, 4mndcl 18633 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
282, 16, 22, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
29 fvconst2g 7203 . . . . . 6 (((๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)})โ€˜๐‘˜) = (๐‘‹ + ๐‘Œ))
3028, 17, 29syl2an 597 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)})โ€˜๐‘˜) = (๐‘‹ + ๐‘Œ))
3119, 24oveq12d 7427 . . . . 5 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐‘Œ})โ€˜๐‘˜)) = (๐‘‹ + ๐‘Œ))
3230, 31eqtr4d 2776 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)})โ€˜๐‘˜) = (((โ„• ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘˜) + ((โ„• ร— {๐‘Œ})โ€˜๐‘˜)))
337, 10, 12, 15, 21, 26, 32seqcaopr 14005 . . 3 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)}))โ€˜๐‘€) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€) + (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘Œ}))โ€˜๐‘€)))
34 mulgdi.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
35 eqid 2733 . . . . 5 seq1( + , (โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)})) = seq1( + , (โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)}))
363, 4, 34, 35mulgnn 18958 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = (seq1( + , (โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)}))โ€˜๐‘€))
3713, 28, 36syl2anc 585 . . 3 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = (seq1( + , (โ„• ร— {(๐‘‹ + ๐‘Œ)}))โ€˜๐‘€))
38 eqid 2733 . . . . . 6 seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
393, 4, 34, 38mulgnn 18958 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€))
4013, 16, 39syl2anc 585 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€))
41 eqid 2733 . . . . . 6 seq1( + , (โ„• ร— {๐‘Œ})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘Œ}))
423, 4, 34, 41mulgnn 18958 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘Œ}))โ€˜๐‘€))
4313, 22, 42syl2anc 585 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) = (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘Œ}))โ€˜๐‘€))
4440, 43oveq12d 7427 . . 3 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = ((seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))โ€˜๐‘€) + (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘Œ}))โ€˜๐‘€)))
4533, 37, 443eqtr4d 2783 . 2 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
461ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
47 simplr2 1217 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
48 simplr3 1218 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
4946, 47, 48, 27syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
50 eqid 2733 . . . . . 6 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
513, 50, 34mulg0 18957 . . . . 5 ((๐‘‹ + ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐บ))
5249, 51syl 17 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐บ))
53 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
5453, 50mndidcl 18640 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Mnd โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
5553, 4, 50mndlid 18645 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
561, 54, 55syl2anc2 586 . . . . 5 (๐บ โˆˆ CMnd โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
5756ad2antrr 725 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
5852, 57eqtr4d 2776 . . 3 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)))
59 simpr 486 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ๐‘€ = 0)
6059oveq1d 7424 . . 3 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = (0 ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)))
6159oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
623, 50, 34mulg0 18957 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
6347, 62syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
6461, 63eqtrd 2773 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
6559oveq1d 7424 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) = (0 ยท ๐‘Œ))
663, 50, 34mulg0 18957 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐บ))
6748, 66syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐บ))
6865, 67eqtrd 2773 . . . 4 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘Œ) = (0gโ€˜๐บ))
6964, 68oveq12d 7427 . . 3 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)) = ((0gโ€˜๐บ) + (0gโ€˜๐บ)))
7058, 60, 693eqtr4d 2783 . 2 (((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
71 simpr1 1195 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
72 elnn0 12474 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
7371, 72sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘€ = 0))
7445, 70, 73mpjaodan 958 1 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((๐‘€ ยท ๐‘‹) + (๐‘€ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4629   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  seqcseq 13966  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  CMndccmn 19648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mulg 18951  df-cmn 19650
This theorem is referenced by:  mulgdi  19694  mulgmhm  19695  frobrhm  32382  mhphf  41169
  Copyright terms: Public domain W3C validator