MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0di 19604
Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m · = (.g𝐺)
mulgdi.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0di ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgnn0di
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 19579 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 mulgdi.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgdi.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
53, 4mndcl 18564 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
653expb 1120 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
72, 6sylan 580 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
83, 4cmncom 19580 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
983expb 1120 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
109ad4ant14 750 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
113, 4mndass 18565 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
122, 11sylan 580 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13 simpr 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
14 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1513, 14eleqtrdi 2848 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
16 simplr2 1216 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
17 elfznn 13470 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
18 fvconst2g 7151 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
1916, 17, 18syl2an 596 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
2016adantr 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑋𝐵)
2119, 20eqeltrd 2838 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) ∈ 𝐵)
22 simplr3 1217 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑌𝐵)
23 fvconst2g 7151 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
2422, 17, 23syl2an 596 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
2522adantr 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑌𝐵)
2624, 25eqeltrd 2838 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐵)
273, 4mndcl 18564 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
282, 16, 22, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29 fvconst2g 7151 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
3028, 17, 29syl2an 596 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
3119, 24oveq12d 7375 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)) = (𝑋 + 𝑌))
3230, 31eqtr4d 2779 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)))
337, 10, 12, 15, 21, 26, 32seqcaopr 13945 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
34 mulgdi.m . . . . 5 · = (.g𝐺)
35 eqid 2736 . . . . 5 seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})) = seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))
363, 4, 34, 35mulgnn 18880 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
3713, 28, 36syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
38 eqid 2736 . . . . . 6 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
393, 4, 34, 38mulgnn 18880 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
4013, 16, 39syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41 eqid 2736 . . . . . 6 seq1( + , (ℕ × {𝑌})) = seq1( + , (ℕ × {𝑌}))
423, 4, 34, 41mulgnn 18880 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
4313, 22, 42syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
4440, 43oveq12d 7375 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
4533, 37, 443eqtr4d 2786 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
461ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
47 simplr2 1216 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋𝐵)
48 simplr3 1217 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑌𝐵)
4946, 47, 48, 27syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
50 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
513, 50, 34mulg0 18879 . . . . 5 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g𝐺))
5249, 51syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g𝐺))
53 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5453, 50mndidcl 18571 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
5553, 4, 50mndlid 18576 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
561, 54, 55syl2anc2 585 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5756ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5852, 57eqtr4d 2779 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
59 simpr 485 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
6059oveq1d 7372 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (0 · (𝑋 + 𝑌)))
6159oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
623, 50, 34mulg0 18879 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
6347, 62syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
6461, 63eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g𝐺))
6559oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
663, 50, 34mulg0 18879 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g𝐺))
6748, 66syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑌) = (0g𝐺))
6865, 67eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0g𝐺))
6964, 68oveq12d 7375 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
7058, 60, 693eqtr4d 2786 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
71 simpr1 1194 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
72 elnn0 12415 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7371, 72sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7445, 70, 73mpjaodan 957 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052  cn 12153  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  CMndccmn 19562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mulg 18873  df-cmn 19564
This theorem is referenced by:  mulgdi  19605  mulgmhm  19606  frobrhm  32068  mhphf  40757
  Copyright terms: Public domain W3C validator