Theorem mulgnn0di 19676

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgdi.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 19649	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	mndcl 18620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	5	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	2, 6	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	3, 4	cmncom 19650	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
9	8	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
10	9	ad4ant14 751	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
11	3, 4	mndass 18621	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	2, 11	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
14		nnuz 12852	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	13, 14	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
16		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		elfznn 13517	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 7190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
19	16, 17, 18	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
20	16	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) ∈ 𝐵)
22		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		fvconst2g 7190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
24	22, 17, 23	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
25	22	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	24, 25	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐵)
27	3, 4	mndcl 18620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
28	2, 16, 22, 27	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29		fvconst2g 7190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
30	28, 17, 29	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
31	19, 24	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)) = (𝑋 + 𝑌))
32	30, 31	eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)))
33	7, 10, 12, 15, 21, 26, 32	seqcaopr 13992	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
34		mulgdi.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
35		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})) = seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))
36	3, 4, 34, 35	mulgnn 18943	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
37	13, 28, 36	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
38		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
39	3, 4, 34, 38	mulgnn 18943	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
40	13, 16, 39	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑌})) = seq1( + , (ℕ × {𝑌}))
42	3, 4, 34, 41	mulgnn 18943	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
43	13, 22, 42	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
44	40, 43	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
45	33, 37, 44	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
46	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
47		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
48		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
49	46, 47, 48, 27	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
50		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
51	3, 50, 34	mulg0 18942	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g‘𝐺))
52	49, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g‘𝐺))
53		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54	53, 50	mndidcl 18627	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
55	53, 4, 50	mndlid 18632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
56	1, 54, 55	syl2anc2 586	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
57	56	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
58	52, 57	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
59		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
60	59	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (0 · (𝑋 + 𝑌)))
61	59	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
62	3, 50, 34	mulg0 18942	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
63	47, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
64	61, 63	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
65	59	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
66	3, 50, 34	mulg0 18942	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
67	48, 66	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
68	65, 67	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
69	64, 68	oveq12d 7414	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
70	58, 60, 69	3eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
71		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
72		elnn0 12461	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
73	71, 72	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
74	45, 70, 73	mpjaodan 958	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4624   × cxp 5670  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  0cc0 11097  1c1 11098  ℕcn 12199  ℕ₀cn0 12459  ℤ_≥cuz 12809  ...cfz 13471  seqcseq 13953  Basecbs 17131  +_gcplusg 17184  0_gc0g 17372  Mndcmnd 18612  ._gcmg 18935  CMndccmn 19632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mulg 18936  df-cmn 19634

This theorem is referenced by:  mulgdi  19677  mulgmhm  19678  frobrhm  32350  mhphf  41057