Theorem mulgnn0di 19943

Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgdi.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0di	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgnn0di

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmnmnd 19915	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
2	1	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		mulgdi.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgdi.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	3, 4	mndcl 18836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
6	5	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
7	2, 6	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8	3, 4	cmncom 19916	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
9	8	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
10	9	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
11	3, 4	mndass 18837	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	2, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
14		nnuz 12921	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15	13, 14	eleqtrdi 2875	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
16		simplr2 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		elfznn 13602	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
18		fvconst2g 7207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
19	16, 17, 18	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
20	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21	19, 20	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) ∈ 𝐵)
22		simplr3 1236	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		fvconst2g 7207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
24	22, 17, 23	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
25	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
26	24, 25	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐵)
27	3, 4	mndcl 18836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
28	2, 16, 22, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29		fvconst2g 7207	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
30	28, 17, 29	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
31	19, 24	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)) = (𝑋 + 𝑌))
32	30, 31	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)))
33	7, 10, 12, 15, 21, 26, 32	seqcaopr 14097	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
34		mulgdi.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
35		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})) = seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))
36	3, 4, 34, 35	mulgnn 19189	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
37	13, 28, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
38		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
39	3, 4, 34, 38	mulgnn 19189	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
40	13, 16, 39	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑌})) = seq1( + , (ℕ × {𝑌}))
42	3, 4, 34, 41	mulgnn 19189	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
43	13, 22, 42	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
44	40, 43	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
45	33, 37, 44	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
46	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
47		simplr2 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
48		simplr3 1236	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑌 ∈ 𝐵)
49	46, 47, 48, 27	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
50		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
51	3, 50, 34	mulg0 19188	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g‘𝐺))
52	49, 51	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g‘𝐺))
53		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
54	53, 50	mndidcl 18844	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
55	53, 4, 50	mndlid 18849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
56	1, 54, 55	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
57	56	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
58	52, 57	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
59		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
60	59	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (0 · (𝑋 + 𝑌)))
61	59	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
62	3, 50, 34	mulg0 19188	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
63	47, 62	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
64	61, 63	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
65	59	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
66	3, 50, 34	mulg0 19188	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
67	48, 66	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
68	65, 67	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0g‘𝐺))
69	64, 68	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((0g‘𝐺) + (0g‘𝐺)))
70	58, 60, 69	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
71		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
72		elnn0 12525	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
73	71, 72	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
74	45, 70, 73	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  ℤ_≥cuz 12882  ...cfz 13555  seqcseq 14059  Basecbs 17295  +_gcplusg 17336  0_gc0g 17518  Mndcmnd 18828  ._gcmg 19181  CMndccmn 19898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mulg 19182  df-cmn 19900

This theorem is used by:  mulgdi  19944  mulgmhm  19945  frobrhm  21779  psdadd  22380  aks6d1c1p4  42940  mhphf  43406