Theorem invginvrid 48494

Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invginvrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
invginvrid.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invginvrid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invginvrid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		ringgrp 20160	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		invginvrid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		invginvrid.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	5, 6	unitcl 20297	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		invginvrid.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	5, 8	grpinvcl 18904	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 7, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	10	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 8	unitnegcl 20319	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
13		invginvrid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	6, 13, 5	ringinvcl 20314	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	1, 5	mgpbas 20067	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19		invginvrid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	1, 19	mgpplusg 20066	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
21	18, 20	mndass 18655	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)))
22	21	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
23	3, 11, 16, 17, 22	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
24		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25	12	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
26		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	6, 13, 19, 26	unitrinv 20316	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
28	24, 25, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
29	28	oveq1d 7369	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
30	5, 19, 26	ringlidm 20191	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31	30	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
32	23, 29, 31	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  ._rcmulr 17166  Mndcmnd 18646  Grpcgrp 18850  inv_gcminusg 18851  mulGrpcmgp 20062  1_rcur 20103  Ringcrg 20155  Unitcui 20277  inv_rcinvr 20309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  48607