Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  invginvrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invginvrid 46433
Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invginvrid.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
invginvrid.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
invginvrid.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
invginvrid.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
invginvrid.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
invginvrid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) Β· 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
21ringmgp 19970 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
323ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
4 ringgrp 19969 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5 invginvrid.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 invginvrid.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
75, 6unitcl 20088 . . . . 5 (π‘Œ ∈ π‘ˆ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
8 invginvrid.n . . . . . 6 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
95, 8grpinvcl 18798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
104, 7, 9syl2an 596 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
11103adant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
126, 8unitnegcl 20110 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
13 invginvrid.i . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
146, 13, 5ringinvcl 20105 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
1512, 14syldan 591 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
16153adant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
17 simp2 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
181, 5mgpbas 19902 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
19 invginvrid.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
201, 19mgpplusg 19900 . . . . 5 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
2118, 20mndass 18565 . . . 4 (((mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd ∧ ((π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘β€˜π‘Œ) Β· (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ))) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π‘Œ) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) Β· 𝑋)))
2221eqcomd 2742 . . 3 (((mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd ∧ ((π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) Β· 𝑋)) = (((π‘β€˜π‘Œ) Β· (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ))) Β· 𝑋))
233, 11, 16, 17, 22syl13anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) Β· 𝑋)) = (((π‘β€˜π‘Œ) Β· (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ))) Β· 𝑋))
24 simp1 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
25123adant2 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
26 eqid 2736 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
276, 13, 19, 26unitrinv 20107 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…))
2824, 25, 27syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ))) = (1rβ€˜π‘…))
2928oveq1d 7372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘β€˜π‘Œ) Β· (πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ))) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋))
305, 19, 26ringlidm 19992 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
31303adant3 1132 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
3223, 29, 313eqtrd 2780 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘Œ) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜π‘Œ)) Β· 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  invrcinvr 20100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  46550
  Copyright terms: Public domain W3C validator