Theorem invginvrid 45682

Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invginvrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
invginvrid.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invginvrid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invginvrid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 19800	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		ringgrp 19799	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		invginvrid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		invginvrid.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	5, 6	unitcl 19912	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		invginvrid.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	5, 8	grpinvcl 18638	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 7, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	10	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 8	unitnegcl 19934	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
13		invginvrid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	6, 13, 5	ringinvcl 19929	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	1, 5	mgpbas 19737	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19		invginvrid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	1, 19	mgpplusg 19735	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
21	18, 20	mndass 18405	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)))
22	21	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
23	3, 11, 16, 17, 22	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
24		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25	12	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
26		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	6, 13, 19, 26	unitrinv 19931	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
28	24, 25, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
29	28	oveq1d 7287	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
30	5, 19, 26	ringlidm 19821	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31	30	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
32	23, 29, 31	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  ._rcmulr 16974  Mndcmnd 18396  Grpcgrp 18588  inv_gcminusg 18589  mulGrpcmgp 19731  1_rcur 19748  Ringcrg 19794  Unitcui 19892  inv_rcinvr 19924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-tpos 8034  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-0g 17163  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-oppr 19873  df-dvdsr 19894  df-unit 19895  df-invr 19925

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  45799