Theorem invginvrid 49188

Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invginvrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
invginvrid.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invginvrid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invginvrid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20352	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		ringgrp 20351	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		invginvrid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		invginvrid.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	5, 6	unitcl 20490	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		invginvrid.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	5, 8	grpinvcl 19085	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 7, 9	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	10	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 8	unitnegcl 20512	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
13		invginvrid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	6, 13, 5	ringinvcl 20507	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	1, 5	mgpbas 20252	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19		invginvrid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	1, 19	mgpplusg 20251	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
21	18, 20	mndass 18830	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)))
22	21	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
23	3, 11, 16, 17, 22	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
24		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25	12	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
26		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	6, 13, 19, 26	unitrinv 20509	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
28	24, 25, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
29	28	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
30	5, 19, 26	ringlidm 20384	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31	30	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
32	23, 29, 31	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  Mndcmnd 18821  Grpcgrp 19031  inv_gcminusg 19032  mulGrpcmgp 20247  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  Unitcui 20470  inv_rcinvr 20502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503

This theorem is used by:  lincresunit3lem1  49300