Theorem invginvrid 48092

Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invginvrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
invginvrid.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invginvrid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invginvrid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20266	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		ringgrp 20265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		invginvrid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		invginvrid.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	5, 6	unitcl 20401	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		invginvrid.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	5, 8	grpinvcl 19027	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 7, 9	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	10	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 8	unitnegcl 20423	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
13		invginvrid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	6, 13, 5	ringinvcl 20418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	1, 5	mgpbas 20167	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19		invginvrid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	1, 19	mgpplusg 20165	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
21	18, 20	mndass 18781	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)))
22	21	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
23	3, 11, 16, 17, 22	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
24		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25	12	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
26		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	6, 13, 19, 26	unitrinv 20420	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
28	24, 25, 27	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
29	28	oveq1d 7463	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
30	5, 19, 26	ringlidm 20292	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31	30	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
32	23, 29, 31	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  Unitcui 20381  inv_rcinvr 20413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  48208