Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  invginvrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invginvrid 44631
Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invginvrid.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n 𝑁 = (invg𝑅)
invginvrid.i 𝐼 = (invr𝑅)
invginvrid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
invginvrid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 19299 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
323ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4 ringgrp 19298 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5 invginvrid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 invginvrid.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
75, 6unitcl 19405 . . . . 5 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
8 invginvrid.n . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
95, 8grpinvcl 18147 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
104, 7, 9syl2an 598 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
11103adant2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
126, 8unitnegcl 19427 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝑈)
13 invginvrid.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
146, 13, 5ringinvcl 19422 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
1512, 14syldan 594 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
16153adant2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
17 simp2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
181, 5mgpbas 19241 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19 invginvrid.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
201, 19mgpplusg 19239 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2118, 20mndass 17916 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)))
2221eqcomd 2830 . . 3 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋))
233, 11, 16, 17, 22syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋))
24 simp1 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25123adant2 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝑈)
26 eqid 2824 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
276, 13, 19, 26unitrinv 19424 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) = (1r𝑅))
2824, 25, 27syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) = (1r𝑅))
2928oveq1d 7160 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
305, 19, 26ringlidm 19317 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31303adant3 1129 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
3223, 29, 313eqtrd 2863 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7145  Basecbs 16479  .rcmulr 16562  Mndcmnd 17907  Grpcgrp 18099  invgcminusg 18100  mulGrpcmgp 19235  1rcur 19247  Ringcrg 19293  Unitcui 19385  invrcinvr 19417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  44750
  Copyright terms: Public domain W3C validator