Theorem invginvrid 48359

Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
invginvrid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
invginvrid.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
invginvrid.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
invginvrid	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	ringmgp 20155	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3	2	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4		ringgrp 20154	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5		invginvrid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		invginvrid.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7	5, 6	unitcl 20291	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑈 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		invginvrid.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
9	5, 8	grpinvcl 18926	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 7, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
11	10	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
12	6, 8	unitnegcl 20313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
13		invginvrid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
14	6, 13, 5	ringinvcl 20308	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
15	12, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
16	15	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
17		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
18	1, 5	mgpbas 20061	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19		invginvrid.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	1, 19	mgpplusg 20060	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
21	18, 20	mndass 18677	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)))
22	21	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
23	3, 11, 16, 17, 22	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋))
24		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25	12	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈)
26		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
27	6, 13, 19, 26	unitrinv 20310	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
28	24, 25, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) = (1r‘𝑅))
29	28	oveq1d 7405	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝑌) · (𝐼‘(𝑁‘𝑌))) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
30	5, 19, 26	ringlidm 20185	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31	30	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
32	23, 29, 31	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑁‘𝑌) · ((𝐼‘(𝑁‘𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Mndcmnd 18668  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  48472