Theorem submefmnd 18921

Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of the monoid of endofunctions on a set 𝐴, contains the identity function and has the function composition as group operation, then its base set is a submonoid of the monoid of endofunctions on set 𝐴. Analogous to pgrpsubgsymg 19442. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
submefmnd.g	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
submefmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
submefmnd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
submefmnd.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem submefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submefmnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 18915	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑆 ∈ Mnd)
4	2, 3	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
5		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 0 ∈ 𝐹)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
8		resmpo 7553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
9	8	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
10		submefmnd.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
12	1, 10, 11	efmndplusg 18906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
13	12	eqcomi 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝑀)
14	13	reseq1i 5996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))
15	9, 14	eqtr3di 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
16	15	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
18	7, 17	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
19	5, 6, 18	3jca 1127	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
21		submefmnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)
22		submefmnd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
23	10, 21, 22	mndissubm 18833	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
24	4, 20, 23	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀))
25	24	ex 412	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   × cxp 5687   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  EndoFMndcefmnd 18894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-efmnd 18895

This theorem is referenced by: (None)