Theorem submefmnd 18863

Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of the monoid of endofunctions on a set 𝐴, contains the identity function and has the function composition as group operation, then its base set is a submonoid of the monoid of endofunctions on set 𝐴. Analogous to pgrpsubgsymg 19384. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
submefmnd.g	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
submefmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
submefmnd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
submefmnd.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem submefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submefmnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 18857	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑆 ∈ Mnd)
4	2, 3	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
5		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 0 ∈ 𝐹)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
8		resmpo 7487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
9	8	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
10		submefmnd.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
12	1, 10, 11	efmndplusg 18848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
13	12	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝑀)
14	13	reseq1i 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))
15	9, 14	eqtr3di 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
16	15	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
18	7, 17	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
19	5, 6, 18	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
21		submefmnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)
22		submefmnd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
23	10, 21, 22	mndissubm 18775	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
24	4, 20, 23	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀))
25	24	ex 412	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   × cxp 5629   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498   ∈ cmpo 7369  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750  EndoFMndcefmnd 18836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-efmnd 18837

This theorem is referenced by: (None)