Theorem submefmnd 18822

Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of the monoid of endofunctions on a set 𝐴, contains the identity function and has the function composition as group operation, then its base set is a submonoid of the monoid of endofunctions on set 𝐴. Analogous to pgrpsubgsymg 19339. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
submefmnd.g	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
submefmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
submefmnd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
submefmnd.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem submefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submefmnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 18816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑆 ∈ Mnd)
4	2, 3	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
5		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 0 ∈ 𝐹)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
8		resmpo 7509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
9	8	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
10		submefmnd.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
12	1, 10, 11	efmndplusg 18807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
13	12	eqcomi 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝑀)
14	13	reseq1i 5946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))
15	9, 14	eqtr3di 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
16	15	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
18	7, 17	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
19	5, 6, 18	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
21		submefmnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)
22		submefmnd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
23	10, 21, 22	mndissubm 18734	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
24	4, 20, 23	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀))
25	24	ex 412	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   × cxp 5636   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511   ∈ cmpo 7389  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  EndoFMndcefmnd 18795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-efmnd 18796

This theorem is referenced by: (None)