Theorem submefmnd 19141

Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of the monoid of endofunctions on a set 𝐴, contains the identity function and has the function composition as group operation, then its base set is a submonoid of the monoid of endofunctions on set 𝐴. Analogous to pgrpsubgsymg 19674. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
submefmnd.g	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
submefmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
submefmnd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
submefmnd.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓, 𝑔)   𝑀(𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔)   0 (𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem submefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submefmnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 19135	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑆 ∈ Mnd)
4	2, 3	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
5		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 0 ∈ 𝐹)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
8		resmpo 7571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
9	8	anidms 577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
10		submefmnd.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
12	1, 10, 11	efmndplusg 19126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
13	12	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝑀)
14	13	reseq1i 5982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))
15	9, 14	eqtr3di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
16	15	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
17	16	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
18	7, 17	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
19	5, 6, 18	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
20	19	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
21		submefmnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)
22		submefmnd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
23	10, 21, 22	mndissubm 19052	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
24	4, 20, 23	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀))
25	24	ex 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   × cxp 5656   ↾ cres 5660   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566   ∈ cmpo 7453  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660  Mndcmnd 18973  SubMndcsubmnd 19027  EndoFMndcefmnd 19114

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-tset 17492  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-efmnd 19115

This theorem is used by: (None)