MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submefmnd 18178
Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of the monoid of endofunctions on a set 𝐴, contains the identity function and has the function composition as group operation, then its base set is a submonoid of the monoid of endofunctions on set 𝐴. Analogous to pgrpsubgsymg 18657. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
submefmnd.g 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
submefmnd.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
submefmnd.0 0 = (0g𝑀)
submefmnd.c 𝐹 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
submefmnd (𝐴𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem submefmnd
StepHypRef Expression
1 submefmnd.g . . . . 5 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
21efmndmnd 18172 . . . 4 (𝐴𝑉𝑀 ∈ Mnd)
3 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝑆 ∈ Mnd)
42, 3anim12i 616 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
5 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝐹𝐵)
6 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 0𝐹)
7 simpr 488 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))
8 resmpo 7288 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝐹𝐵) → ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))
98anidms 570 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵 → ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))
10 submefmnd.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑀)
11 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑀) = (+g𝑀)
121, 10, 11efmndplusg 18163 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
1312eqcomi 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g𝑀)
1413reseq1i 5821 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))
159, 14eqtr3di 2788 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵 → (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
16153ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) → (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
1716adantr 484 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
187, 17eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (+g𝑆) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
195, 6, 183jca 1129 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (𝐹𝐵0𝐹 ∧ (+g𝑆) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
2019adantl 485 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))) → (𝐹𝐵0𝐹 ∧ (+g𝑆) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
21 submefmnd.c . . . 4 𝐹 = (Base‘𝑆)
22 submefmnd.0 . . . 4 0 = (0g𝑀)
2310, 21, 22mndissubm 18090 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝐹𝐵0𝐹 ∧ (+g𝑆) = ((+g𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
244, 20, 23sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀))
2524ex 416 1 (𝐴𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹𝐵0𝐹) ∧ (+g𝑆) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3843   × cxp 5523  cres 5527  ccom 5529  cfv 6339  cmpo 7174  Basecbs 16588  +gcplusg 16670  0gc0g 16818  Mndcmnd 18029  SubMndcsubmnd 18073  EndoFMndcefmnd 18151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-plusg 16683  df-tset 16689  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-efmnd 18152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator