MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submefmnd 18776
Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of the monoid of endofunctions on a set 𝐴, contains the identity function and has the function composition as group operation, then its base set is a submonoid of the monoid of endofunctions on set 𝐴. Analogous to pgrpsubgsymg 19277. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
submefmnd.g 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
submefmnd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
submefmnd.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
submefmnd.c 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
submefmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐡,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem submefmnd
StepHypRef Expression
1 submefmnd.g . . . . 5 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndmnd 18770 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
3 simpl1 1192 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
42, 3anim12i 614 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) β†’ (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
5 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ 𝐹 βŠ† 𝐡)
6 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ 0 ∈ 𝐹)
7 simpr 486 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
8 resmpo 7528 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
98anidms 568 . . . . . . . . 9 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ ((𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
10 submefmnd.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
121, 10, 11efmndplusg 18761 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘€) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
1312eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+gβ€˜π‘€)
1413reseq1i 5978 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))
159, 14eqtr3di 2788 . . . . . . . 8 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)))
16153ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) β†’ (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)))
1716adantr 482 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)))
187, 17eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ (+gβ€˜π‘†) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)))
195, 6, 183jca 1129 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+gβ€˜π‘†) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))))
2019adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) β†’ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+gβ€˜π‘†) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))))
21 submefmnd.c . . . 4 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†)
22 submefmnd.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘€)
2310, 21, 22mndissubm 18688 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) β†’ ((𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+gβ€˜π‘†) = ((+gβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))) β†’ 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)))
244, 20, 23sylc 65 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) β†’ 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
2524ex 414 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+gβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) β†’ 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544   ∈ cmpo 7411  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670  EndoFMndcefmnd 18749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-efmnd 18750
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator