Theorem submefmnd 18800

Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of the monoid of endofunctions on a set 𝐴, contains the identity function and has the function composition as group operation, then its base set is a submonoid of the monoid of endofunctions on set 𝐴. Analogous to pgrpsubgsymg 19319. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
submefmnd.g	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
submefmnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
submefmnd.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
submefmnd.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem submefmnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submefmnd.g	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 18794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑆 ∈ Mnd)
4	2, 3	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
5		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 0 ∈ 𝐹)
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
8		resmpo 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
9	8	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
10		submefmnd.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
11		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
12	1, 10, 11	efmndplusg 18785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
13	12	eqcomi 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝑀)
14	13	reseq1i 5924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))
15	9, 14	eqtr3di 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
16	15	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
18	7, 17	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
19	5, 6, 18	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
21		submefmnd.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑆)
22		submefmnd.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
23	10, 21, 22	mndissubm 18712	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹 ∧ (+g‘𝑆) = ((+g‘𝑀) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))
24	4, 20, 23	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀))
25	24	ex 412	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐹) ∧ (+g‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubMnd‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   × cxp 5614   ↾ cres 5618   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481   ∈ cmpo 7348  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340  Mndcmnd 18639  SubMndcsubmnd 18687  EndoFMndcefmnd 18773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-tset 17177  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-efmnd 18774

This theorem is referenced by: (None)