MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubm 18684
Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
issubm.z 0 = (0gβ€˜π‘€)
issubm.p + = (+gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
issubm (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   + (π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem issubm
Dummy variables π‘š 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (Baseβ€˜π‘š) = (Baseβ€˜π‘€))
21pweqd 4620 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
3 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (0gβ€˜π‘š) = (0gβ€˜π‘€))
43eleq1d 2819 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ↔ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑))
5 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑀 β†’ (+gβ€˜π‘š) = (+gβ€˜π‘€))
65oveqd 7426 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
76eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑))
872ralbidv 3219 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑))
94, 8anbi12d 632 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)))
102, 9rabeqbidv 3450 . . . 4 (π‘š = 𝑀 β†’ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) ∣ ((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑)} = {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)})
11 df-submnd 18672 . . . 4 SubMnd = (π‘š ∈ Mnd ↦ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) ∣ ((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑)})
12 fvex 6905 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1312pwex 5379 . . . . 5 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1413rabex 5333 . . . 4 {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)} ∈ V
1510, 11, 14fvmpt 6999 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜π‘€) = {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)})
1615eleq2d 2820 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)}))
17 eleq2 2823 . . . . 5 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ↔ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆))
18 eleq2 2823 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
1918raleqbi1dv 3334 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
2019raleqbi1dv 3334 . . . . 5 (𝑑 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
2117, 20anbi12d 632 . . . 4 (𝑑 = 𝑆 β†’ (((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
2221elrab 3684 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
23 issubm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2423sseq2i 4012 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
25 issubm.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘€)
2625eleq1i 2825 . . . . . 6 ( 0 ∈ 𝑆 ↔ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)
27 issubm.p . . . . . . . . 9 + = (+gβ€˜π‘€)
2827oveqi 7422 . . . . . . . 8 (π‘₯ + 𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)
2928eleq1i 2825 . . . . . . 7 ((π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)
30292ralbii 3129 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)
3126, 30anbi12i 628 . . . . 5 (( 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
3224, 31anbi12i 628 . . . 4 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ( 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
33 3anass 1096 . . . 4 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ( 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)))
3412elpw2 5346 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3534anbi1i 625 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
3632, 33, 353bitr4ri 304 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆))
3722, 36bitri 275 . 2 (𝑆 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)} ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆))
3816, 37bitrdi 287 1 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-submnd 18672
This theorem is referenced by:  issubm2  18685  issubmd  18687  mndissubm  18688  submcl  18693  0subm  18698  insubm  18699  mhmima  18706  mhmeql  18707  submacs  18708  gsumwspan  18727  frmdsssubm  18742  sursubmefmnd  18777  injsubmefmnd  18778  issubg3  19024  cycsubm  19079  cntzsubm  19202  oppgsubm  19229  lsmsubm  19521  issubrg3  20347  xrge0subm  20986  cnsubmlem  20993  nn0srg  21015  rge0srg  21016  efsubm  26060  iistmd  32882  isdomn3  41946  mon1psubm  41948
  Copyright terms: Public domain W3C validator