MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubm 18619
Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
issubm.z 0 = (0gβ€˜π‘€)
issubm.p + = (+gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
issubm (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   + (π‘₯,𝑦)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem issubm
Dummy variables π‘š 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (Baseβ€˜π‘š) = (Baseβ€˜π‘€))
21pweqd 4578 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
3 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (0gβ€˜π‘š) = (0gβ€˜π‘€))
43eleq1d 2819 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ↔ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑))
5 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑀 β†’ (+gβ€˜π‘š) = (+gβ€˜π‘€))
65oveqd 7375 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
76eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑))
872ralbidv 3209 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑))
94, 8anbi12d 632 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)))
102, 9rabeqbidv 3423 . . . 4 (π‘š = 𝑀 β†’ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) ∣ ((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑)} = {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)})
11 df-submnd 18607 . . . 4 SubMnd = (π‘š ∈ Mnd ↦ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘š) ∣ ((0gβ€˜π‘š) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘š)𝑦) ∈ 𝑑)})
12 fvex 6856 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1312pwex 5336 . . . . 5 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∈ V
1413rabex 5290 . . . 4 {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)} ∈ V
1510, 11, 14fvmpt 6949 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜π‘€) = {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)})
1615eleq2d 2820 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)}))
17 eleq2 2823 . . . . 5 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ↔ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆))
18 eleq2 2823 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
1918raleqbi1dv 3306 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
2019raleqbi1dv 3306 . . . . 5 (𝑑 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
2117, 20anbi12d 632 . . . 4 (𝑑 = 𝑆 β†’ (((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
2221elrab 3646 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)} ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
23 issubm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2423sseq2i 3974 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝐡 ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
25 issubm.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘€)
2625eleq1i 2825 . . . . . 6 ( 0 ∈ 𝑆 ↔ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)
27 issubm.p . . . . . . . . 9 + = (+gβ€˜π‘€)
2827oveqi 7371 . . . . . . . 8 (π‘₯ + 𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)
2928eleq1i 2825 . . . . . . 7 ((π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)
30292ralbii 3124 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)
3126, 30anbi12i 628 . . . . 5 (( 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
3224, 31anbi12i 628 . . . 4 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ( 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
33 3anass 1096 . . . 4 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ( 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)))
3412elpw2 5303 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3534anbi1i 625 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
3632, 33, 353bitr4ri 304 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆))
3722, 36bitri 275 . 2 (𝑆 ∈ {𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∣ ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑑 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑑)} ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆))
3816, 37bitrdi 287 1 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  issubm2  18620  issubmd  18622  mndissubm  18623  submcl  18628  0subm  18633  insubm  18634  mhmima  18640  mhmeql  18641  submacs  18642  gsumwspan  18661  frmdsssubm  18676  sursubmefmnd  18711  injsubmefmnd  18712  issubg3  18951  cycsubm  19000  cntzsubm  19121  oppgsubm  19148  lsmsubm  19440  issubrg3  20264  xrge0subm  20854  cnsubmlem  20861  nn0srg  20883  rge0srg  20884  efsubm  25923  iistmd  32540  isdomn3  41574  mon1psubm  41576
  Copyright terms: Public domain W3C validator