MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmd 18687
Description: Deduction for proving a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmd.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
issubmd.p + = (+gβ€˜π‘€)
issubmd.z 0 = (0gβ€˜π‘€)
issubmd.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
issubmd.cz (πœ‘ β†’ πœ’)
issubmd.cp ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (πœƒ ∧ 𝜏))) β†’ πœ‚)
issubmd.ch (𝑧 = 0 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
issubmd.th (𝑧 = π‘₯ β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
issubmd.ta (𝑧 = 𝑦 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
issubmd.et (𝑧 = (π‘₯ + 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
Assertion
Ref Expression
issubmd (πœ‘ β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐡   π‘₯,𝑀,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ“,π‘₯,𝑦   𝑧, +   𝑧, 0   πœ’,𝑧   πœ‚,𝑧   𝜏,𝑧   πœƒ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   πœ“(𝑧)   πœ’(π‘₯,𝑦)   πœƒ(π‘₯,𝑦)   𝜏(π‘₯,𝑦)   πœ‚(π‘₯,𝑦)   + (π‘₯,𝑦)   𝑀(𝑧)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem issubmd
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4078 . . 3 {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} βŠ† 𝐡
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} βŠ† 𝐡)
3 issubmd.ch . . 3 (𝑧 = 0 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
4 issubmd.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
5 issubmd.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
6 issubmd.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘€)
75, 6mndidcl 18640 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd β†’ 0 ∈ 𝐡)
84, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
9 issubmd.cz . . 3 (πœ‘ β†’ πœ’)
103, 8, 9elrabd 3686 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“})
11 issubmd.th . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
1211elrab 3684 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ))
13 issubmd.ta . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 β†’ (πœ“ ↔ 𝜏))
1413elrab 3684 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏))
1512, 14anbi12i 628 . . . 4 ((π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏)))
16 issubmd.et . . . . 5 (𝑧 = (π‘₯ + 𝑦) β†’ (πœ“ ↔ πœ‚))
174adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏))) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
18 simprll 778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
19 simprrl 780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
20 issubmd.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘€)
215, 20mndcl 18633 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐡)
23 an4 655 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (πœƒ ∧ 𝜏)))
24 issubmd.cp . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (πœƒ ∧ 𝜏))) β†’ πœ‚)
2523, 24sylan2b 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏))) β†’ πœ‚)
2616, 22, 25elrabd 3686 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ πœƒ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝜏))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“})
2715, 26sylan2b 595 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“})) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“})
2827ralrimivva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“}βˆ€π‘¦ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} (π‘₯ + 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“})
295, 6, 20issubm 18684 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ({𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“}βˆ€π‘¦ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} (π‘₯ + 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“})))
304, 29syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ({𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“}βˆ€π‘¦ ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} (π‘₯ + 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“})))
312, 10, 28, 30mpbir3and 1343 1 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∈ 𝐡 ∣ πœ“} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672
This theorem is referenced by:  mndind  18709
  Copyright terms: Public domain W3C validator