MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubmd 18233
Description: Deduction for proving a submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmd.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubmd.p + = (+g𝑀)
issubmd.z 0 = (0g𝑀)
issubmd.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
issubmd.cz (𝜑𝜒)
issubmd.cp ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏))) → 𝜂)
issubmd.ch (𝑧 = 0 → (𝜓𝜒))
issubmd.th (𝑧 = 𝑥 → (𝜓𝜃))
issubmd.ta (𝑧 = 𝑦 → (𝜓𝜏))
issubmd.et (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝜓𝜂))
Assertion
Ref Expression
issubmd (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑥,𝑦   𝑧, +   𝑧, 0   𝜒,𝑧   𝜂,𝑧   𝜏,𝑧   𝜃,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑧)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝜃(𝑥,𝑦)   𝜏(𝑥,𝑦)   𝜂(𝑥,𝑦)   + (𝑥,𝑦)   𝑀(𝑧)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubmd
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3993 . . 3 {𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵
21a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵)
3 issubmd.ch . . 3 (𝑧 = 0 → (𝜓𝜒))
4 issubmd.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
5 issubmd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
6 issubmd.z . . . . 5 0 = (0g𝑀)
75, 6mndidcl 18188 . . . 4 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
84, 7syl 17 . . 3 (𝜑0𝐵)
9 issubmd.cz . . 3 (𝜑𝜒)
103, 8, 9elrabd 3604 . 2 (𝜑0 ∈ {𝑧𝐵𝜓})
11 issubmd.th . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝜓𝜃))
1211elrab 3602 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ↔ (𝑥𝐵𝜃))
13 issubmd.ta . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝜓𝜏))
1413elrab 3602 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ↔ (𝑦𝐵𝜏))
1512, 14anbi12i 630 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓}) ↔ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)))
16 issubmd.et . . . . 5 (𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝜓𝜂))
174adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑀 ∈ Mnd)
18 simprll 779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑥𝐵)
19 simprrl 781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝑦𝐵)
20 issubmd.p . . . . . . 7 + = (+g𝑀)
215, 20mndcl 18181 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
23 an4 656 . . . . . 6 (((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏)) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏)))
24 issubmd.cp . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝜃𝜏))) → 𝜂)
2523, 24sylan2b 597 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → 𝜂)
2616, 22, 25elrabd 3604 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐵𝜃) ∧ (𝑦𝐵𝜏))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
2715, 26sylan2b 597 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
2827ralrimivva 3112 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})
295, 6, 20issubm 18230 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ({𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵0 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})))
304, 29syl 17 . 2 (𝜑 → ({𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({𝑧𝐵𝜓} ⊆ 𝐵0 ∈ {𝑧𝐵𝜓} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑧𝐵𝜓}∀𝑦 ∈ {𝑧𝐵𝜓} (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑧𝐵𝜓})))
312, 10, 28, 30mpbir3and 1344 1 (𝜑 → {𝑧𝐵𝜓} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  wss 3866  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  0gc0g 16944  Mndcmnd 18173  SubMndcsubmnd 18217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219
This theorem is referenced by:  mndind  18254
  Copyright terms: Public domain W3C validator