Theorem mntf 31263

Description: A monotone function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mntf.1	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
mntf.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mntf	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem mntf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mntf.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
2		mntf.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ismnt 31261	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))))
6	5	biimp3a 1468	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 495	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  lecple 16969  Monotcmnt 31256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-mnt 31258

This theorem is referenced by:  mgcmntco  31272