Theorem mntf 32707

Description: A monotone function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mntf.1	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
mntf.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mntf	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem mntf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mntf.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
2		mntf.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ismnt 32705	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))))
6	5	biimp3a 1466	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 494	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057   class class class wbr 5143  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  lecple 17234  Monotcmnt 32700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-map 8841  df-mnt 32702

This theorem is referenced by:  mgcmntco  32716