Theorem mntf 33064

Description: A monotone function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mntf.1	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
mntf.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mntf	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem mntf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mntf.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
2		mntf.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ismnt 33062	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))))
6	5	biimp3a 1477	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 495	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5072  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  lecple 17218  Monotcmnt 33057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8765  df-mnt 33059

This theorem is referenced by:  mgcmntco  33073