Theorem mntf 32855

Description: A monotone function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mntf.1	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
mntf.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mntf	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem mntf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mntf.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
2		mntf.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ismnt 32853	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))))
6	5	biimp3a 1466	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 493	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   class class class wbr 5153  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  Monotcmnt 32848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857  df-mnt 32850

This theorem is referenced by:  mgcmntco  32864