Theorem mntf 32142

Description: A monotone function is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mntf.1	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
mntf.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mntf	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem mntf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mntf.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑉)
2		mntf.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (le‘𝑉) = (le‘𝑉)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (le‘𝑊) = (le‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ismnt 32140	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦)))))
6	5	biimp3a 1469	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(le‘𝑉)𝑦 → (𝐹‘𝑥)(le‘𝑊)(𝐹‘𝑦))))
7	6	simpld 495	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝑉Monot𝑊)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  Monotcmnt 32135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-mnt 32137

This theorem is referenced by:  mgcmntco  32151