Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismnt 31892
Description: Express the statement "𝐹 is monotone". (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mntoval.1 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
mntoval.2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
mntoval.3 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
mntoval.4 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ismnt ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (𝑉Monotπ‘Š) ↔ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦)   ≀ (π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦)   ≲ (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem ismnt
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mntoval.1 . . . . 5 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
2 mntoval.2 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 mntoval.3 . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
4 mntoval.4 . . . . 5 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4mntoval 31891 . . . 4 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (𝑉Monotπ‘Š) = {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≲ (π‘“β€˜π‘¦))})
65eleq2d 2820 . . 3 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (𝑉Monotπ‘Š) ↔ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≲ (π‘“β€˜π‘¦))}))
7 fveq1 6842 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
8 fveq1 6842 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
97, 8breq12d 5119 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ≲ (π‘“β€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))
109imbi2d 341 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≲ (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦))))
11102ralbidv 3209 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≲ (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦))))
1211elrab 3646 . . 3 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ≲ (π‘“β€˜π‘¦))} ↔ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦))))
136, 12bitrdi 287 . 2 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (𝑉Monotπ‘Š) ↔ (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))))
142fvexi 6857 . . . 4 𝐡 ∈ V
151fvexi 6857 . . . 4 𝐴 ∈ V
1614, 15elmap 8812 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
1716anbi1i 625 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐡 ↑m 𝐴) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦))) ↔ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦))))
1813, 17bitrdi 287 1 ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (𝑉Monotπ‘Š) ↔ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≲ (πΉβ€˜π‘¦)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Basecbs 17088  lecple 17145  Monotcmnt 31887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-mnt 31889
This theorem is referenced by:  ismntd  31893  mntf  31894  mgcmnt1d  31906  mgcmnt2d  31907
  Copyright terms: Public domain W3C validator