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Theorem mgcmntco 32035
Description: A Galois connection like statement, for two functions with same range. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgcoval.1 𝐴 = (Base‘𝑉)
mgcoval.2 𝐵 = (Base‘𝑊)
mgcoval.3 = (le‘𝑉)
mgcoval.4 = (le‘𝑊)
mgcval.1 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgcval.2 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
mgcval.3 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
mgccole.1 (𝜑𝐹𝐻𝐺)
mgcmntco.1 𝐶 = (Base‘𝑋)
mgcmntco.2 < = (le‘𝑋)
mgcmntco.3 (𝜑𝑋 ∈ Proset )
mgcmntco.4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
mgcmntco.5 (𝜑𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋))
Assertion
Ref Expression
mgcmntco (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, < ,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mgcmntco
StepHypRef Expression
1 mgcmntco.3 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Proset )
21ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋 ∈ Proset )
3 mgcval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
4 mgcmntco.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
5 mgcoval.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (Base‘𝑉)
6 mgcmntco.1 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑋)
75, 6mntf 32026 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ Proset ∧ 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋)) → 𝐾:𝐴𝐶)
83, 1, 4, 7syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝐾:𝐴𝐶)
98ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐾:𝐴𝐶)
10 mgcoval.2 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
11 mgcoval.3 . . . . . . . 8 = (le‘𝑉)
12 mgcoval.4 . . . . . . . 8 = (le‘𝑊)
13 mgcval.1 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
14 mgcval.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
15 mgccole.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐻𝐺)
165, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15mgcf2 32030 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → 𝐺:𝐵𝐴)
1817ffvelcdmda 7071 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)
199, 18ffvelcdmd 7072 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐶)
20 mgcmntco.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋))
2110, 6mntf 32026 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ Proset ∧ 𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋)) → 𝐿:𝐵𝐶)
2214, 1, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝐿:𝐵𝐶)
2322ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐿:𝐵𝐶)
245, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15mgcf1 32029 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2524ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
2625, 18ffvelcdmd 7072 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐵)
2723, 26ffvelcdmd 7072 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ 𝐶)
2822adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → 𝐿:𝐵𝐶)
2928ffvelcdmda 7071 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐿𝑦) ∈ 𝐶)
3016ffvelcdmda 7071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)
31 fveq2 6878 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑦) → (𝐾𝑥) = (𝐾‘(𝐺𝑦)))
32 2fveq3 6883 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑦) → (𝐿‘(𝐹𝑥)) = (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))))
3331, 32breq12d 5154 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐺𝑦) → ((𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦)))))
3433adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐺𝑦)) → ((𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦)))))
3530, 34rspcdv 3601 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦)))))
3635imp 407 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))))
3736an32s 650 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))))
38 mgcmntco.2 . . . . 5 < = (le‘𝑋)
3914ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Proset )
4020ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋))
41 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
423ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑉 ∈ Proset )
4315ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹𝐻𝐺)
445, 10, 11, 12, 13, 42, 39, 43, 41mgccole2 32032 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) 𝑦)
4510, 6, 12, 38, 39, 2, 40, 26, 41, 44ismntd 32025 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) < (𝐿𝑦))
466, 38prstr 18235 . . . 4 ((𝑋 ∈ Proset ∧ ((𝐾‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ 𝐶 ∧ (𝐿𝑦) ∈ 𝐶) ∧ ((𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) ∧ (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) < (𝐿𝑦))) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦))
472, 19, 27, 29, 37, 45, 46syl132anc 1388 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦))
4847ralrimiva 3145 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦))
491ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ Proset )
508ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾:𝐴𝐶)
51 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
5250, 51ffvelcdmd 7072 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐶)
5316ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐵𝐴)
5424adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) → 𝐹:𝐴𝐵)
5554ffvelcdmda 7071 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
5653, 55ffvelcdmd 7072 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝐴)
5750, 56ffvelcdmd 7072 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) ∈ 𝐶)
5822ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐿:𝐵𝐶)
5958, 55ffvelcdmd 7072 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐿‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝐶)
603ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑉 ∈ Proset )
614ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
6214ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑊 ∈ Proset )
6315ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹𝐻𝐺)
645, 10, 11, 12, 13, 60, 62, 63, 51mgccole1 32031 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
655, 6, 11, 38, 60, 49, 61, 51, 56, 64ismntd 32025 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾𝑥) < (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))))
6624ffvelcdmda 7071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
67 2fveq3 6883 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) = (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))))
68 fveq2 6878 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝐿𝑦) = (𝐿‘(𝐹𝑥)))
6967, 68breq12d 5154 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑥) → ((𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦) ↔ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥))))
7069adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥)) → ((𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦) ↔ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥))))
7166, 70rspcdv 3601 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥))))
7271imp 407 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7372an32s 650 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
746, 38prstr 18235 . . . 4 ((𝑋 ∈ Proset ∧ ((𝐾𝑥) ∈ 𝐶 ∧ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) ∈ 𝐶 ∧ (𝐿‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝐾𝑥) < (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) ∧ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))) → (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7549, 52, 57, 59, 65, 73, 74syl132anc 1388 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7675ralrimiva 3145 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) → ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7748, 76impbida 799 1 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060   class class class wbr 5141  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  lecple 17186   Proset cproset 18228  Monotcmnt 32019  MGalConncmgc 32020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-map 8805  df-proset 18230  df-mnt 32021  df-mgc 32022
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