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Theorem mgcmntco 31854
Description: A Galois connection like statement, for two functions with same range. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgcoval.1 𝐴 = (Base‘𝑉)
mgcoval.2 𝐵 = (Base‘𝑊)
mgcoval.3 = (le‘𝑉)
mgcoval.4 = (le‘𝑊)
mgcval.1 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
mgcval.2 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
mgcval.3 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
mgccole.1 (𝜑𝐹𝐻𝐺)
mgcmntco.1 𝐶 = (Base‘𝑋)
mgcmntco.2 < = (le‘𝑋)
mgcmntco.3 (𝜑𝑋 ∈ Proset )
mgcmntco.4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
mgcmntco.5 (𝜑𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋))
Assertion
Ref Expression
mgcmntco (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥, < ,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mgcmntco
StepHypRef Expression
1 mgcmntco.3 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Proset )
21ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋 ∈ Proset )
3 mgcval.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Proset )
4 mgcmntco.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
5 mgcoval.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (Base‘𝑉)
6 mgcmntco.1 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑋)
75, 6mntf 31845 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ Proset ∧ 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋)) → 𝐾:𝐴𝐶)
83, 1, 4, 7syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝐾:𝐴𝐶)
98ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐾:𝐴𝐶)
10 mgcoval.2 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑊)
11 mgcoval.3 . . . . . . . 8 = (le‘𝑉)
12 mgcoval.4 . . . . . . . 8 = (le‘𝑊)
13 mgcval.1 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑉MGalConn𝑊)
14 mgcval.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Proset )
15 mgccole.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐻𝐺)
165, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15mgcf2 31849 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
1716adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → 𝐺:𝐵𝐴)
1817ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)
199, 18ffvelcdmd 7036 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐶)
20 mgcmntco.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋))
2110, 6mntf 31845 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ Proset ∧ 𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋)) → 𝐿:𝐵𝐶)
2214, 1, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝐿:𝐵𝐶)
2322ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐿:𝐵𝐶)
245, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15mgcf1 31848 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2524ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
2625, 18ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐵)
2723, 26ffvelcdmd 7036 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ 𝐶)
2822adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → 𝐿:𝐵𝐶)
2928ffvelcdmda 7035 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐿𝑦) ∈ 𝐶)
3016ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐴)
31 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑦) → (𝐾𝑥) = (𝐾‘(𝐺𝑦)))
32 2fveq3 6847 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑦) → (𝐿‘(𝐹𝑥)) = (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))))
3331, 32breq12d 5118 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐺𝑦) → ((𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦)))))
3433adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑥 = (𝐺𝑦)) → ((𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦)))))
3530, 34rspcdv 3573 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦)))))
3635imp 407 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))))
3736an32s 650 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))))
38 mgcmntco.2 . . . . 5 < = (le‘𝑋)
3914ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Proset )
4020ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐿 ∈ (𝑊Monot𝑋))
41 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
423ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑉 ∈ Proset )
4315ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹𝐻𝐺)
445, 10, 11, 12, 13, 42, 39, 43, 41mgccole2 31851 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑦)) 𝑦)
4510, 6, 12, 38, 39, 2, 40, 26, 41, 44ismntd 31844 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) < (𝐿𝑦))
466, 38prstr 18189 . . . 4 ((𝑋 ∈ Proset ∧ ((𝐾‘(𝐺𝑦)) ∈ 𝐶 ∧ (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) ∈ 𝐶 ∧ (𝐿𝑦) ∈ 𝐶) ∧ ((𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) ∧ (𝐿‘(𝐹‘(𝐺𝑦))) < (𝐿𝑦))) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦))
472, 19, 27, 29, 37, 45, 46syl132anc 1388 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦))
4847ralrimiva 3143 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥))) → ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦))
491ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑋 ∈ Proset )
508ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾:𝐴𝐶)
51 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
5250, 51ffvelcdmd 7036 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐶)
5316ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐺:𝐵𝐴)
5424adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) → 𝐹:𝐴𝐵)
5554ffvelcdmda 7035 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
5653, 55ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝐴)
5750, 56ffvelcdmd 7036 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) ∈ 𝐶)
5822ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐿:𝐵𝐶)
5958, 55ffvelcdmd 7036 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐿‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝐶)
603ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑉 ∈ Proset )
614ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
6214ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑊 ∈ Proset )
6315ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐹𝐻𝐺)
645, 10, 11, 12, 13, 60, 62, 63, 51mgccole1 31850 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 (𝐺‘(𝐹𝑥)))
655, 6, 11, 38, 60, 49, 61, 51, 56, 64ismntd 31844 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾𝑥) < (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))))
6624ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
67 2fveq3 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝐾‘(𝐺𝑦)) = (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))))
68 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝐿𝑦) = (𝐿‘(𝐹𝑥)))
6967, 68breq12d 5118 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑥) → ((𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦) ↔ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥))))
7069adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥)) → ((𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦) ↔ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥))))
7166, 70rspcdv 3573 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥))))
7271imp 407 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7372an32s 650 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
746, 38prstr 18189 . . . 4 ((𝑋 ∈ Proset ∧ ((𝐾𝑥) ∈ 𝐶 ∧ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) ∈ 𝐶 ∧ (𝐿‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝐶) ∧ ((𝐾𝑥) < (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) ∧ (𝐾‘(𝐺‘(𝐹𝑥))) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))) → (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7549, 52, 57, 59, 65, 73, 74syl132anc 1388 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7675ralrimiva 3143 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)) → ∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)))
7748, 76impbida 799 1 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐾𝑥) < (𝐿‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐾‘(𝐺𝑦)) < (𝐿𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140   Proset cproset 18182  Monotcmnt 31838  MGalConncmgc 31839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-proset 18184  df-mnt 31840  df-mgc 31841
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