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Theorem mgcmntco 32164
Description: A Galois connection like statement, for two functions with same range. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mgcoval.1 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
mgcoval.2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
mgcoval.3 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
mgcoval.4 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
mgcval.1 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
mgcval.2 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
mgcval.3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
mgccole.1 (πœ‘ β†’ 𝐹𝐻𝐺)
mgcmntco.1 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‹)
mgcmntco.2 < = (leβ€˜π‘‹)
mgcmntco.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Proset )
mgcmntco.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
mgcmntco.5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘ŠMonot𝑋))
Assertion
Ref Expression
mgcmntco (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦   π‘₯,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯, < ,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   ≀ (π‘₯,𝑦)   ≲ (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mgcmntco
StepHypRef Expression
1 mgcmntco.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Proset )
21ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ Proset )
3 mgcval.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ Proset )
4 mgcmntco.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
5 mgcoval.1 . . . . . . . 8 𝐴 = (Baseβ€˜π‘‰)
6 mgcmntco.1 . . . . . . . 8 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‹)
75, 6mntf 32155 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ Proset ∧ 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋)) β†’ 𝐾:𝐴⟢𝐢)
83, 1, 4, 7syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾:𝐴⟢𝐢)
98ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾:𝐴⟢𝐢)
10 mgcoval.2 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 mgcoval.3 . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜π‘‰)
12 mgcoval.4 . . . . . . . 8 ≲ = (leβ€˜π‘Š)
13 mgcval.1 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑉MGalConnπ‘Š)
14 mgcval.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Proset )
15 mgccole.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹𝐻𝐺)
165, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15mgcf2 32159 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
1716adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
199, 18ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢)
20 mgcmntco.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (π‘ŠMonot𝑋))
2110, 6mntf 32155 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Proset ∧ 𝑋 ∈ Proset ∧ 𝐿 ∈ (π‘ŠMonot𝑋)) β†’ 𝐿:𝐡⟢𝐢)
2214, 1, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿:𝐡⟢𝐢)
2322ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐿:𝐡⟢𝐢)
245, 10, 11, 12, 13, 3, 14, 15mgcf1 32158 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2524ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
2625, 18ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐡)
2723, 26ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ∈ 𝐢)
2822adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐿:𝐡⟢𝐢)
2928ffvelcdmda 7087 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢)
3016ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
31 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) = (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
32 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
3331, 32breq12d 5162 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ ((πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))))
3433adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ = (πΊβ€˜π‘¦)) β†’ ((πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))))
3530, 34rspcdv 3605 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))))
3635imp 408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
3736an32s 651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))))
38 mgcmntco.2 . . . . 5 < = (leβ€˜π‘‹)
3914ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ Proset )
4020ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ (π‘ŠMonot𝑋))
41 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
423ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 ∈ Proset )
4315ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹𝐻𝐺)
445, 10, 11, 12, 13, 42, 39, 43, 41mgccole2 32161 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ≲ 𝑦)
4510, 6, 12, 38, 39, 2, 40, 26, 41, 44ismntd 32154 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) < (πΏβ€˜π‘¦))
466, 38prstr 18253 . . . 4 ((𝑋 ∈ Proset ∧ ((πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) ∈ 𝐢 ∧ (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ∈ 𝐢 ∧ (πΏβ€˜π‘¦) ∈ 𝐢) ∧ ((πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) ∧ (πΏβ€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦))) < (πΏβ€˜π‘¦))) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦))
472, 19, 27, 29, 37, 45, 46syl132anc 1389 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦))
4847ralrimiva 3147 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦))
491ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ Proset )
508ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾:𝐴⟢𝐢)
51 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
5250, 51ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
5316ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
5424adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5554ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
5653, 55ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐴)
5750, 56ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐢)
5822ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐿:𝐡⟢𝐢)
5958, 55ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐢)
603ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑉 ∈ Proset )
614ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (𝑉Monot𝑋))
6214ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ Proset )
6315ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹𝐻𝐺)
645, 10, 11, 12, 13, 60, 62, 63, 51mgccole1 32160 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ≀ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
655, 6, 11, 38, 60, 49, 61, 51, 56, 64ismntd 32154 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) < (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
6624ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
67 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
68 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) = (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
6967, 68breq12d 5162 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ ((πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦) ↔ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
7069adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ((πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦) ↔ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
7166, 70rspcdv 3605 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
7271imp 408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7372an32s 651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
746, 38prstr 18253 . . . 4 ((𝑋 ∈ Proset ∧ ((πΎβ€˜π‘₯) ∈ 𝐢 ∧ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ 𝐢 ∧ (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐢) ∧ ((πΎβ€˜π‘₯) < (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∧ (πΎβ€˜(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7549, 52, 57, 59, 65, 73, 74syl132anc 1389 . . 3 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7675ralrimiva 3147 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
7748, 76impbida 800 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (πΎβ€˜π‘₯) < (πΏβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΎβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) < (πΏβ€˜π‘¦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204   Proset cproset 18246  Monotcmnt 32148  MGalConncmgc 32149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-proset 18248  df-mnt 32150  df-mgc 32151
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