Theorem mptprop 31714

Description: Rewrite pairs of ordered pairs as mapping to functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
brprop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
brprop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
brprop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
brprop.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
mptprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mptprop	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4609	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
2		brprop.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		brprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		fmptsn 7133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
6		incom 4181	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐶}) = ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴})
7		prid1g 4741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐶})
8		snssi 4788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐶} → {𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐶})
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐶})
10		df-ss 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐶} ↔ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐶}) = {𝐴})
11	9, 10	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐶}) = {𝐴})
12	6, 11	eqtr3id 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) = {𝐴})
13	12	mpteq1d 5220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
14	5, 13	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵))
15		brprop.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16		brprop.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
17		fmptsn 7133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → {⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐶} ↦ 𝐷))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐶} ↦ 𝐷))
19		mptprop.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
20		difprsn1 4780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) = {𝐶})
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) = {𝐶})
22	21	mpteq1d 5220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ {𝐶} ↦ 𝐷))
23	18, 22	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷))
24	14, 23	uneq12d 4144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵) ∪ (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷)))
25		partfun 6668	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷)) = ((𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵) ∪ (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷))
26	24, 25	eqtr4di 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷)))
27		elsn2g 4644	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴))
28	2, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴))
29	28	ifbid 4529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷) = if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷))
30	29	mpteq2dv 5227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))
31	26, 30	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))
32	1, 31	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3925   ∪ cun 3926   ∩ cin 3927   ⊆ wss 3928  ifcif 4506  {csn 4606  {cpr 4608  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  32072