Theorem mptprop 32621

Description: Rewrite pairs of ordered pairs as mapping to functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
brprop.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
brprop.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
brprop.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
brprop.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
mptprop.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mptprop	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem mptprop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4592	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
2		brprop.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		brprop.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		fmptsn 7141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
6		incom 4172	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐶}) = ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴})
7		prid1g 4724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐶})
8		snssi 4772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐶} → {𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐶})
9	2, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐶})
10		dfss2 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐶} ↔ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐶}) = {𝐴})
11	9, 10	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐶}) = {𝐴})
12	6, 11	eqtr3id 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) = {𝐴})
13	12	mpteq1d 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
14	5, 13	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵))
15		brprop.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16		brprop.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
17		fmptsn 7141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → {⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐶} ↦ 𝐷))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐶} ↦ 𝐷))
19		mptprop.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
20		difprsn1 4764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) = {𝐶})
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) = {𝐶})
22	21	mpteq1d 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ {𝐶} ↦ 𝐷))
23	18, 22	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷))
24	14, 23	uneq12d 4132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = ((𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵) ∪ (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷)))
25		partfun 6665	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷)) = ((𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∩ {𝐴}) ↦ 𝐵) ∪ (𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐶} ∖ {𝐴}) ↦ 𝐷))
26	24, 25	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷)))
27		elsn2g 4628	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴))
28	2, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴))
29	28	ifbid 4512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷) = if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷))
30	29	mpteq2dv 5201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 ∈ {𝐴}, 𝐵, 𝐷)) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))
31	26, 30	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))
32	1, 31	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐶} ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐵, 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33076