Theorem cycpm2tr 31968

Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2tr.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpm2tr	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partfun 6648	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3		cycpm2.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cshw1s2 31814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
7	6	coeq1d 5817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
8		0nn0 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10		1nn0 12429	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12		0ne1 12224	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
14		cycpm2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
15	9, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14	coprprop 31613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16		s2prop 14796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
17	4, 3, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18		s2prop 14796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
19	3, 4, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
20	19	cnveqd 5831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21		cnvprop 31610	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
22	9, 3, 11, 4, 21	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
23	20, 22	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
24	17, 23	coeq12d 5820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
25	3, 4, 4, 3, 14	mptprop 31612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
26	3, 4	prssd 4782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
27		df-ss 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
28	26, 27	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29		incom 4161	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
30	28, 29	eqtr3di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
32	31	sneqd 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
33	32	difeq2d 4082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
34	33	unieqd 4879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35		difprsn1 4760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
36	35	unieqd 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
37	14, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
38		unisng 4886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
39	4, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
40	37, 39	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
42	34, 41	eqtr2d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	elpr 4609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽))
45		df-or 846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
46	44, 45	sylbb 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
47	46	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
48	47	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
49	48	sneqd 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
50	49	difeq2d 4082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
51	50	unieqd 4879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52		difprsn2 4761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
53	52	unieqd 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
55		unisng 4886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
57	54, 56	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
58	57	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
59	51, 58	eqtr2d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
60	42, 59	ifeqda 4522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
61	30, 60	mpteq12dva 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
62	25, 61	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
63	15, 24, 62	3eqtr4d 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
64	7, 63	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
65	3, 4	s2rn 31800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
66	65	difeq2d 4082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
67	66	reseq2d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68		mptresid 6004	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
69	67, 68	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
70	64, 69	uneq12d 4124	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71		uncom 4113	. . . 4 ⊢ (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
73	2, 70, 72	3eqtr2rd 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
76	3, 4	s2cld 14760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
77	3, 4, 14	s2f1 31801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
78	74, 75, 76, 77	tocycfv 31958	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79		enpr2 9938	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
80	3, 4, 14, 79	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81		cycpm2tr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
82	81	pmtrval 19233	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
83	75, 26, 80, 82	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
84	73, 78, 83	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588  ⟨cop 4592  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   I cid 5530  ^◡ccnv 5632  ran crn 5634   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  2_oc2o 8406   ≈ cen 8880  0cc0 11051  1c1 11052  ℕ₀cn0 12413   cyclShift ccsh 14676  ⟨“cs2 14730  pmTrspcpmtr 19223  toCycctocyc 31955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677  df-s2 14737  df-pmtr 19224  df-tocyc 31956

This theorem is referenced by:  trsp2cyc  31972  cyc3evpm  31999  cyc3genpmlem  32000  cyc3conja  32006