Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2tr 30782
Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm2.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm2.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm2.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm2tr.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cycpm2tr (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 partfun 30421 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3 cycpm2.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm2.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝐷)
5 cshw1s2 30634 . . . . . . 7 ((𝐼𝐷𝐽𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
63, 4, 5syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
76coeq1d 5725 . . . . 5 (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩))
8 0nn0 11906 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10 1nn0 11907 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12 0ne1 11702 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≠ 1)
14 cycpm2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐽)
159, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14coprprop 30435 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16 s2prop 14264 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐷𝐼𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
174, 3, 16syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18 s2prop 14264 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝐷𝐽𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
193, 4, 18syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
2019cnveqd 5739 . . . . . . . 8 (𝜑⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21 cnvprop 30432 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℕ0𝐼𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0𝐽𝐷)) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
229, 3, 11, 4, 21syl22anc 836 . . . . . . . 8 (𝜑{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2320, 22eqtrd 2855 . . . . . . 7 (𝜑⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2417, 23coeq12d 5728 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
253, 4, 4, 3, 14mptprop 30434 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
26 incom 4171 . . . . . . . . 9 ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
273, 4prssd 4748 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
28 df-ss 3945 . . . . . . . . . 10 ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
2927, 28sylib 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
3026, 29syl5reqr 2870 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
3231sneqd 4572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
3332difeq2d 4092 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
3433unieqd 4845 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35 difprsn1 4726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
3635unieqd 4845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐽 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
3714, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
38 unisng 4850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽𝐷 {𝐽} = 𝐽)
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 {𝐽} = 𝐽)
4037, 39eqtrd 2855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
4234, 41eqtr2d 2856 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43 vex 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
4443elpr 4583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
45 df-or 844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
4644, 45sylbb 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
4746imp 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
4847adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
4948sneqd 4572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
5049difeq2d 4092 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
5150unieqd 4845 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52 difprsn2 4727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
5352unieqd 4845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐽 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
5414, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
55 unisng 4850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐷 {𝐼} = 𝐼)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 {𝐼} = 𝐼)
5754, 56eqtrd 2855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
5951, 58eqtr2d 2856 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
6042, 59ifeqda 4495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
6130, 60mpteq12dva 5143 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
6225, 61eqtr2d 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
6315, 24, 623eqtr4d 2865 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
647, 63eqtrd 2855 . . . 4 (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
653, 4s2rn 30620 . . . . . . 7 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
6665difeq2d 4092 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
6766reseq2d 5846 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68 mptresid 5911 . . . . 5 ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
6967, 68syl6eq 2871 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
7064, 69uneq12d 4133 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71 uncom 4122 . . . 4 (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩))
7271a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)))
732, 70, 723eqtr2rd 2862 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74 cycpm2.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75 cycpm2.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
763, 4s2cld 14228 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
773, 4, 14s2f1 30621 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1𝐷)
7874, 75, 76, 77tocycfv 30772 . 2 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79 pr2nelem 9423 . . . 4 ((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
803, 4, 14, 79syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81 cycpm2tr.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
8281pmtrval 18574 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
8375, 27, 80, 82syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
8473, 78, 833eqtr4d 2865 1 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wo 843   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3015  cdif 3926  cun 3927  cin 3928  wss 3929  ifcif 4460  {csn 4560  {cpr 4562  cop 4566   cuni 4831   class class class wbr 5059  cmpt 5139   I cid 5452  ccnv 5547  ran crn 5549  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7149  2oc2o 8089  cen 8499  0cc0 10530  1c1 10531  0cn0 11891   cyclShift ccsh 14145  ⟨“cs2 14198  pmTrspcpmtr 18564  toCycctocyc 30769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235  df-hash 13688  df-word 13859  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-csh 14146  df-s2 14205  df-pmtr 18565  df-tocyc 30770
This theorem is referenced by:  trsp2cyc  30786  cyc3evpm  30813  cyc3genpmlem  30814  cyc3conja  30820
  Copyright terms: Public domain W3C validator