Theorem cycpm2tr 33300

Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2tr.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpm2tr	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partfun 6669	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3		cycpm2.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cshw1s2 33139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
6	3, 4, 5	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
7	6	coeq1d 5834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
8		0nn0 12497	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10		1nn0 12498	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12		0ne1 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
14		cycpm2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
15	9, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14	coprprop 32902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16		s2prop 14921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
17	4, 3, 16	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18		s2prop 14921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
19	3, 4, 18	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
20	19	cnveqd 5848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21		cnvprop 32899	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
22	9, 3, 11, 4, 21	syl22anc 849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
23	20, 22	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
24	17, 23	coeq12d 5837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
25	3, 4, 4, 3, 14	mptprop 32901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
26	3, 4	prssd 4781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
27		dfss2 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
28	26, 27	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29		incom 4162	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
30	28, 29	eqtr3di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
32	31	sneqd 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
33	32	difeq2d 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
34	33	unieqd 4879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35		difprsn1 4761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
36	35	unieqd 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
37	14, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
38		unisng 4884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
39	4, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
40	37, 39	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
41	40	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
42	34, 41	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	elpr 4608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽))
45		df-or 859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
46	44, 45	sylbb 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
47	46	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
48	47	adantll 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
49	48	sneqd 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
50	49	difeq2d 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
51	50	unieqd 4879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52		difprsn2 4762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
53	52	unieqd 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
55		unisng 4884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
57	54, 56	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
58	57	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
59	51, 58	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
60	42, 59	ifeqda 4518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
61	30, 60	mpteq12dva 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
62	25, 61	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
63	15, 24, 62	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
64	7, 63	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
65	3, 4	s2rn 14977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
66	65	difeq2d 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
67	66	reseq2d 5966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68		mptresid 6041	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
69	67, 68	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
70	64, 69	uneq12d 4123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71		uncom 4112	. . . 4 ⊢ (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
73	2, 70, 72	3eqtr2rd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
76	3, 4	s2cld 14885	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
77	3, 4, 14	s2f1 33124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
78	74, 75, 76, 77	tocycfv 33290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79		enpr2 9961	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
80	3, 4, 14, 79	syl3anc 1391	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81		cycpm2tr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
82	81	pmtrval 19492	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
83	75, 26, 80, 82	syl3anc 1391	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
84	73, 78, 83	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ifcif 4481  {csn 4583  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   I cid 5542  ^◡ccnv 5647  ran crn 5649   ↾ cres 5650   ∘ ccom 5652  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  2_oc2o 8432   ≈ cen 8925  0cc0 11074  1c1 11075  ℕ₀cn0 12482   cyclShift ccsh 14802  ⟨“cs2 14855  pmTrspcpmtr 19482  toCycctocyc 33287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-n0 12483  df-xnn0 12556  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-mod 13881  df-hash 14345  df-word 14528  df-concat 14585  df-s1 14611  df-substr 14656  df-pfx 14686  df-csh 14803  df-s2 14862  df-pmtr 19483  df-tocyc 33288

This theorem is referenced by:  trsp2cyc  33304  cyc3evpm  33331  cyc3genpmlem  33332  cyc3conja  33338