Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2tr 32869
Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm2tr.t 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpm2tr (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 partfun 6707 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
3 cycpm2.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm2.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
5 cshw1s2 32710 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
76coeq1d 5868 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
8 0nn0 12527 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
10 1nn0 12528 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
1110a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
12 0ne1 12323 . . . . . . . 8 0 β‰  1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 β‰  1)
14 cycpm2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
159, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14coprprop 32508 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16 s2prop 14900 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
174, 3, 16syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18 s2prop 14900 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
193, 4, 18syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
2019cnveqd 5882 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21 cnvprop 32505 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
229, 3, 11, 4, 21syl22anc 837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2320, 22eqtrd 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2417, 23coeq12d 5871 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
253, 4, 4, 3, 14mptprop 32507 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
263, 4prssd 4830 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷)
27 df-ss 3966 . . . . . . . . . 10 ({𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29 incom 4203 . . . . . . . . 9 ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
3028, 29eqtr3di 2783 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐼)
3231sneqd 4644 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐼})
3332difeq2d 4122 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
3433unieqd 4925 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
35 difprsn1 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = {𝐽})
3635unieqd 4925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
3714, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
38 unisng 4932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
4037, 39eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4234, 41eqtr2d 2769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐽 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
43 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
4443elpr 4656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽))
45 df-or 846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽) ↔ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4644, 45sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} β†’ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4746imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4847adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4948sneqd 4644 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐽})
5049difeq2d 4122 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
5150unieqd 4925 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
52 difprsn2 4809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = {𝐼})
5352unieqd 4925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
5414, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
55 unisng 4932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
5754, 56eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5951, 58eqtr2d 2769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐼 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6042, 59ifeqda 4568 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) β†’ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6130, 60mpteq12dva 5241 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
6225, 61eqtr2d 2769 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
6315, 24, 623eqtr4d 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
647, 63eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
653, 4s2rn 32696 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {𝐼, 𝐽})
6665difeq2d 4122 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}))
6766reseq2d 5989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})))
68 mptresid 6059 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)
6967, 68eqtrdi 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
7064, 69uneq12d 4165 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
71 uncom 4154 . . . 4 (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
7271a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
732, 70, 723eqtr2rd 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
74 cycpm2.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
75 cycpm2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
763, 4s2cld 14864 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© ∈ Word 𝐷)
773, 4, 14s2f1 32697 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€“1-1→𝐷)
7874, 75, 76, 77tocycfv 32859 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
79 enpr2 10035 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
803, 4, 14, 79syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
81 cycpm2tr.t . . . 4 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
8281pmtrval 19420 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o) β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8375, 26, 80, 82syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8473, 78, 833eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632  {cpr 4634  βŸ¨cop 4638  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  2oc2o 8489   β‰ˆ cen 8969  0cc0 11148  1c1 11149  β„•0cn0 12512   cyclShift ccsh 14780  βŸ¨β€œcs2 14834  pmTrspcpmtr 19410  toCycctocyc 32856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-csh 14781  df-s2 14841  df-pmtr 19411  df-tocyc 32857
This theorem is referenced by:  trsp2cyc  32873  cyc3evpm  32900  cyc3genpmlem  32901  cyc3conja  32907
  Copyright terms: Public domain W3C validator