Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2tr 32273
Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm2tr.t 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpm2tr (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 partfun 6697 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
3 cycpm2.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm2.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
5 cshw1s2 32119 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
76coeq1d 5861 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
8 0nn0 12486 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
10 1nn0 12487 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
1110a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
12 0ne1 12282 . . . . . . . 8 0 β‰  1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 β‰  1)
14 cycpm2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
159, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14coprprop 31916 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16 s2prop 14857 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
174, 3, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18 s2prop 14857 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
193, 4, 18syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
2019cnveqd 5875 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21 cnvprop 31913 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
229, 3, 11, 4, 21syl22anc 837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2320, 22eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2417, 23coeq12d 5864 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
253, 4, 4, 3, 14mptprop 31915 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
263, 4prssd 4825 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷)
27 df-ss 3965 . . . . . . . . . 10 ({𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29 incom 4201 . . . . . . . . 9 ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
3028, 29eqtr3di 2787 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐼)
3231sneqd 4640 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐼})
3332difeq2d 4122 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
3433unieqd 4922 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
35 difprsn1 4803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = {𝐽})
3635unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
3714, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
38 unisng 4929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
4037, 39eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4234, 41eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐽 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
43 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
4443elpr 4651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽))
45 df-or 846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽) ↔ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4644, 45sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} β†’ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4746imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4847adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4948sneqd 4640 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐽})
5049difeq2d 4122 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
5150unieqd 4922 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
52 difprsn2 4804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = {𝐼})
5352unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
5414, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
55 unisng 4929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
5754, 56eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5951, 58eqtr2d 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐼 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6042, 59ifeqda 4564 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) β†’ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6130, 60mpteq12dva 5237 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
6225, 61eqtr2d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
6315, 24, 623eqtr4d 2782 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
647, 63eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
653, 4s2rn 32105 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {𝐼, 𝐽})
6665difeq2d 4122 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}))
6766reseq2d 5981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})))
68 mptresid 6050 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)
6967, 68eqtrdi 2788 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
7064, 69uneq12d 4164 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
71 uncom 4153 . . . 4 (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
7271a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
732, 70, 723eqtr2rd 2779 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
74 cycpm2.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
75 cycpm2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
763, 4s2cld 14821 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© ∈ Word 𝐷)
773, 4, 14s2f1 32106 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€“1-1→𝐷)
7874, 75, 76, 77tocycfv 32263 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
79 enpr2 9996 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
803, 4, 14, 79syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
81 cycpm2tr.t . . . 4 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
8281pmtrval 19318 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o) β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8375, 26, 80, 82syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8473, 78, 833eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  2oc2o 8459   β‰ˆ cen 8935  0cc0 11109  1c1 11110  β„•0cn0 12471   cyclShift ccsh 14737  βŸ¨β€œcs2 14791  pmTrspcpmtr 19308  toCycctocyc 32260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-csh 14738  df-s2 14798  df-pmtr 19309  df-tocyc 32261
This theorem is referenced by:  trsp2cyc  32277  cyc3evpm  32304  cyc3genpmlem  32305  cyc3conja  32311
  Copyright terms: Public domain W3C validator