Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2tr 30814
 Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm2.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm2.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm2.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm2tr.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cycpm2tr (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 partfun 6471 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3 cycpm2.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm2.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝐷)
5 cshw1s2 30663 . . . . . . 7 ((𝐼𝐷𝐽𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
63, 4, 5syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
76coeq1d 5700 . . . . 5 (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩))
8 0nn0 11904 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10 1nn0 11905 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12 0ne1 11700 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≠ 1)
14 cycpm2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐽)
159, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14coprprop 30462 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16 s2prop 14264 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐷𝐼𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
174, 3, 16syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18 s2prop 14264 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝐷𝐽𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
193, 4, 18syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
2019cnveqd 5714 . . . . . . . 8 (𝜑⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21 cnvprop 30459 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℕ0𝐼𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0𝐽𝐷)) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
229, 3, 11, 4, 21syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2320, 22eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2417, 23coeq12d 5703 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
253, 4, 4, 3, 14mptprop 30461 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
26 incom 4131 . . . . . . . . 9 ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
273, 4prssd 4718 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
28 df-ss 3901 . . . . . . . . . 10 ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
2927, 28sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
3026, 29syl5reqr 2851 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
3231sneqd 4540 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
3332difeq2d 4053 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
3433unieqd 4817 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35 difprsn1 4696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
3635unieqd 4817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐽 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
3714, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
38 unisng 4822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽𝐷 {𝐽} = 𝐽)
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 {𝐽} = 𝐽)
4037, 39eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
4234, 41eqtr2d 2837 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
4443elpr 4551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
45 df-or 845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
4644, 45sylbb 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
4746imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
4847adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
4948sneqd 4540 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
5049difeq2d 4053 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
5150unieqd 4817 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52 difprsn2 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
5352unieqd 4817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐽 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
5414, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
55 unisng 4822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐷 {𝐼} = 𝐼)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 {𝐼} = 𝐼)
5754, 56eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
5951, 58eqtr2d 2837 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
6042, 59ifeqda 4463 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
6130, 60mpteq12dva 5117 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
6225, 61eqtr2d 2837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
6315, 24, 623eqtr4d 2846 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
647, 63eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
653, 4s2rn 30649 . . . . . . 7 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
6665difeq2d 4053 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
6766reseq2d 5822 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68 mptresid 5889 . . . . 5 ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
6967, 68eqtrdi 2852 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
7064, 69uneq12d 4094 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71 uncom 4083 . . . 4 (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩))
7271a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)))
732, 70, 723eqtr2rd 2843 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74 cycpm2.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75 cycpm2.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
763, 4s2cld 14228 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
773, 4, 14s2f1 30650 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1𝐷)
7874, 75, 76, 77tocycfv 30804 . 2 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79 pr2nelem 9419 . . . 4 ((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
803, 4, 14, 79syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81 cycpm2tr.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
8281pmtrval 18574 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
8375, 27, 80, 82syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
8473, 78, 833eqtr4d 2846 1 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ifcif 4428  {csn 4528  {cpr 4530  ⟨cop 4534  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427  ◡ccnv 5522  ran crn 5524   ↾ cres 5525   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  2oc2o 8083   ≈ cen 8493  0cc0 10530  1c1 10531  ℕ0cn0 11889   cyclShift ccsh 14145  ⟨“cs2 14198  pmTrspcpmtr 18564  toCycctocyc 30801 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-csh 14146  df-s2 14205  df-pmtr 18565  df-tocyc 30802 This theorem is referenced by:  trsp2cyc  30818  cyc3evpm  30845  cyc3genpmlem  30846  cyc3conja  30852
 Copyright terms: Public domain W3C validator