Theorem cycpm2tr 33083

Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2tr.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpm2tr	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partfun 6668	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3		cycpm2.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cshw1s2 32889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
7	6	coeq1d 5828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
8		0nn0 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10		1nn0 12465	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12		0ne1 12264	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
14		cycpm2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
15	9, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14	coprprop 32629	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16		s2prop 14880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
17	4, 3, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18		s2prop 14880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
19	3, 4, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
20	19	cnveqd 5842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21		cnvprop 32626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
22	9, 3, 11, 4, 21	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
23	20, 22	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
24	17, 23	coeq12d 5831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
25	3, 4, 4, 3, 14	mptprop 32628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
26	3, 4	prssd 4789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
27		dfss2 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
28	26, 27	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29		incom 4175	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
30	28, 29	eqtr3di 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
32	31	sneqd 4604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
33	32	difeq2d 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
34	33	unieqd 4887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35		difprsn1 4767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
36	35	unieqd 4887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
37	14, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
38		unisng 4892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
39	4, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
40	37, 39	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
42	34, 41	eqtr2d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	elpr 4617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽))
45		df-or 848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
46	44, 45	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
47	46	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
48	47	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
49	48	sneqd 4604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
50	49	difeq2d 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
51	50	unieqd 4887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52		difprsn2 4768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
53	52	unieqd 4887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
55		unisng 4892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
57	54, 56	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
59	51, 58	eqtr2d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
60	42, 59	ifeqda 4528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
61	30, 60	mpteq12dva 5196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
62	25, 61	eqtr2d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
63	15, 24, 62	3eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
64	7, 63	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
65	3, 4	s2rn 14936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
66	65	difeq2d 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
67	66	reseq2d 5953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68		mptresid 6025	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
69	67, 68	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
70	64, 69	uneq12d 4135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71		uncom 4124	. . . 4 ⊢ (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
73	2, 70, 72	3eqtr2rd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
76	3, 4	s2cld 14844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
77	3, 4, 14	s2f1 32873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
78	74, 75, 76, 77	tocycfv 33073	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79		enpr2 9962	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
80	3, 4, 14, 79	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81		cycpm2tr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
82	81	pmtrval 19388	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
83	75, 26, 80, 82	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
84	73, 78, 83	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   I cid 5535  ^◡ccnv 5640  ran crn 5642   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  2_oc2o 8431   ≈ cen 8918  0cc0 11075  1c1 11076  ℕ₀cn0 12449   cyclShift ccsh 14760  ⟨“cs2 14814  pmTrspcpmtr 19378  toCycctocyc 33070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-csh 14761  df-s2 14821  df-pmtr 19379  df-tocyc 33071

This theorem is referenced by:  trsp2cyc  33087  cyc3evpm  33114  cyc3genpmlem  33115  cyc3conja  33121