Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2tr 32784
Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm2tr.t 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpm2tr (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 partfun 6691 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
3 cycpm2.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm2.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
5 cshw1s2 32629 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
76coeq1d 5855 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
8 0nn0 12491 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
10 1nn0 12492 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
1110a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
12 0ne1 12287 . . . . . . . 8 0 β‰  1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 β‰  1)
14 cycpm2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
159, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14coprprop 32428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16 s2prop 14864 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
174, 3, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18 s2prop 14864 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
193, 4, 18syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
2019cnveqd 5869 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21 cnvprop 32425 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
229, 3, 11, 4, 21syl22anc 836 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2320, 22eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2417, 23coeq12d 5858 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
253, 4, 4, 3, 14mptprop 32427 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
263, 4prssd 4820 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷)
27 df-ss 3960 . . . . . . . . . 10 ({𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29 incom 4196 . . . . . . . . 9 ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
3028, 29eqtr3di 2781 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐼)
3231sneqd 4635 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐼})
3332difeq2d 4117 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
3433unieqd 4915 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
35 difprsn1 4798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = {𝐽})
3635unieqd 4915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
3714, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
38 unisng 4922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
4037, 39eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4234, 41eqtr2d 2767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐽 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
43 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
4443elpr 4646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽))
45 df-or 845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽) ↔ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4644, 45sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} β†’ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4746imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4847adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4948sneqd 4635 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐽})
5049difeq2d 4117 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
5150unieqd 4915 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
52 difprsn2 4799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = {𝐼})
5352unieqd 4915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
5414, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
55 unisng 4922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
5754, 56eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5857ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5951, 58eqtr2d 2767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐼 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6042, 59ifeqda 4559 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) β†’ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6130, 60mpteq12dva 5230 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
6225, 61eqtr2d 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
6315, 24, 623eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
647, 63eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
653, 4s2rn 32615 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {𝐼, 𝐽})
6665difeq2d 4117 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}))
6766reseq2d 5975 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})))
68 mptresid 6044 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)
6967, 68eqtrdi 2782 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
7064, 69uneq12d 4159 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
71 uncom 4148 . . . 4 (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
7271a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
732, 70, 723eqtr2rd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
74 cycpm2.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
75 cycpm2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
763, 4s2cld 14828 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© ∈ Word 𝐷)
773, 4, 14s2f1 32616 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€“1-1→𝐷)
7874, 75, 76, 77tocycfv 32774 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
79 enpr2 9999 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
803, 4, 14, 79syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
81 cycpm2tr.t . . . 4 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
8281pmtrval 19371 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o) β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8375, 26, 80, 82syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8473, 78, 833eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  2oc2o 8461   β‰ˆ cen 8938  0cc0 11112  1c1 11113  β„•0cn0 12476   cyclShift ccsh 14744  βŸ¨β€œcs2 14798  pmTrspcpmtr 19361  toCycctocyc 32771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-csh 14745  df-s2 14805  df-pmtr 19362  df-tocyc 32772
This theorem is referenced by:  trsp2cyc  32788  cyc3evpm  32815  cyc3genpmlem  32816  cyc3conja  32822
  Copyright terms: Public domain W3C validator