Theorem cycpm2tr 33680

Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2tr.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpm2tr	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partfun 6686	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3		cycpm2.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cshw1s2 33521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
7	6	coeq1d 5839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
8		0nn0 12621	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10		1nn0 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12		0ne1 12414	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
14		cycpm2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
15	9, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14	coprprop 33292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16		s2prop 15058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
17	4, 3, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18		s2prop 15058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
19	3, 4, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
20	19	cnveqd 5853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21		cnvprop 33289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
22	9, 3, 11, 4, 21	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
23	20, 22	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
24	17, 23	coeq12d 5842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
25	3, 4, 4, 3, 14	mptprop 33291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
26	3, 4	prssd 4783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
27		dfss2 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
28	26, 27	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29		incom 4155	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
30	28, 29	eqtr3di 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
32	31	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
33	32	difeq2d 4074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
34	33	unieqd 4880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35		difprsn1 4763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
36	35	unieqd 4880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
37	14, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
38		unisng 4885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
39	4, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
40	37, 39	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
41	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
42	34, 41	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	elpr 4609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽))
45		df-or 862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
46	44, 45	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
47	46	imp 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
48	47	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
49	48	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
50	49	difeq2d 4074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
51	50	unieqd 4880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52		difprsn2 4764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
53	52	unieqd 4880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
54	14, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
55		unisng 4885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
56	3, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
57	54, 56	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
58	57	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
59	51, 58	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
60	42, 59	ifeqda 4519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
61	30, 60	mpteq12dva 5191	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
62	25, 61	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
63	15, 24, 62	3eqtr4d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
64	7, 63	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
65	3, 4	s2rn 15116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
66	65	difeq2d 4074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
67	66	reseq2d 5970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68		mptresid 6043	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
69	67, 68	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
70	64, 69	uneq12d 4116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71		uncom 4105	. . . 4 ⊢ (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
73	2, 70, 72	3eqtr2rd 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
76	3, 4	s2cld 15022	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
77	3, 4, 14	s2f1 33510	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
78	74, 75, 76, 77	tocycfv 33670	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79		enpr2 10083	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
80	3, 4, 14, 79	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81		cycpm2tr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
82	81	pmtrval 19665	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
83	75, 26, 80, 82	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
84	73, 78, 83	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  2_oc2o 8470   ≈ cen 8970  0cc0 11200  1c1 11201  ℕ₀cn0 12606   cyclShift ccsh 14939  ⟨“cs2 14992  pmTrspcpmtr 19655  toCycctocyc 33667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-csh 14940  df-s2 14999  df-pmtr 19656  df-tocyc 33668

This theorem is used by:  trsp2cyc  33684  cyc3evpm  33711  cyc3genpmlem  33712  cyc3conja  33718