Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2tr 32858
Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm2.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm2.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm2.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm2tr.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cycpm2tr (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 partfun 6705 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3 cycpm2.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm2.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝐷)
5 cshw1s2 32699 . . . . . . 7 ((𝐼𝐷𝐽𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
76coeq1d 5866 . . . . 5 (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩))
8 0nn0 12523 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10 1nn0 12524 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12 0ne1 12319 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≠ 1)
14 cycpm2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐽)
159, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14coprprop 32497 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16 s2prop 14896 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐷𝐼𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
174, 3, 16syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18 s2prop 14896 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝐷𝐽𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
193, 4, 18syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
2019cnveqd 5880 . . . . . . . 8 (𝜑⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21 cnvprop 32494 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℕ0𝐼𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0𝐽𝐷)) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
229, 3, 11, 4, 21syl22anc 837 . . . . . . . 8 (𝜑{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2320, 22eqtrd 2767 . . . . . . 7 (𝜑⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2417, 23coeq12d 5869 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
253, 4, 4, 3, 14mptprop 32496 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
263, 4prssd 4828 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
27 df-ss 3964 . . . . . . . . . 10 ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29 incom 4201 . . . . . . . . 9 ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
3028, 29eqtr3di 2782 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
3231sneqd 4642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
3332difeq2d 4120 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
3433unieqd 4923 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35 difprsn1 4806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
3635unieqd 4923 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐽 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
3714, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
38 unisng 4930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽𝐷 {𝐽} = 𝐽)
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 {𝐽} = 𝐽)
4037, 39eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
4234, 41eqtr2d 2768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43 vex 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
4443elpr 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
45 df-or 846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
4644, 45sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼𝑥 = 𝐽))
4746imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
4847adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
4948sneqd 4642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
5049difeq2d 4120 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
5150unieqd 4923 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52 difprsn2 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
5352unieqd 4923 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐽 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
5414, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
55 unisng 4930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝐷 {𝐼} = 𝐼)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 {𝐼} = 𝐼)
5754, 56eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
5951, 58eqtr2d 2768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
6042, 59ifeqda 4566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
6130, 60mpteq12dva 5239 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
6225, 61eqtr2d 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
6315, 24, 623eqtr4d 2777 . . . . 5 (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
647, 63eqtrd 2767 . . . 4 (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
653, 4s2rn 32685 . . . . . . 7 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
6665difeq2d 4120 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
6766reseq2d 5987 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68 mptresid 6057 . . . . 5 ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
6967, 68eqtrdi 2783 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
7064, 69uneq12d 4163 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71 uncom 4152 . . . 4 (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩))
7271a1i 11 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)))
732, 70, 723eqtr2rd 2774 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74 cycpm2.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75 cycpm2.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
763, 4s2cld 14860 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
773, 4, 14s2f1 32686 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1𝐷)
7874, 75, 76, 77tocycfv 32848 . 2 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79 enpr2 10031 . . . 4 ((𝐼𝐷𝐽𝐷𝐼𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
803, 4, 14, 79syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81 cycpm2tr.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
8281pmtrval 19411 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
8375, 26, 80, 82syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
8473, 78, 833eqtr4d 2777 1 (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636   cuni 4910   class class class wbr 5150  cmpt 5233   I cid 5577  ccnv 5679  ran crn 5681  cres 5682  ccom 5684  cfv 6551  (class class class)co 7424  2oc2o 8485  cen 8965  0cc0 11144  1c1 11145  0cn0 12508   cyclShift ccsh 14776  ⟨“cs2 14830  pmTrspcpmtr 19401  toCycctocyc 32845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-hash 14328  df-word 14503  df-concat 14559  df-s1 14584  df-substr 14629  df-pfx 14659  df-csh 14777  df-s2 14837  df-pmtr 19402  df-tocyc 32846
This theorem is referenced by:  trsp2cyc  32862  cyc3evpm  32889  cyc3genpmlem  32890  cyc3conja  32896
  Copyright terms: Public domain W3C validator