Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2tr 32017
Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm2tr.t 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpm2tr (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 partfun 6649 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
3 cycpm2.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm2.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
5 cshw1s2 31863 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) = βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ©)
76coeq1d 5818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
8 0nn0 12433 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
98a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
10 1nn0 12434 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•0
1110a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
12 0ne1 12229 . . . . . . . 8 0 β‰  1
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 β‰  1)
14 cycpm2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
159, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14coprprop 31660 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16 s2prop 14802 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
174, 3, 16syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18 s2prop 14802 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
193, 4, 18syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
2019cnveqd 5832 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21 cnvprop 31657 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ β„•0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ β„•0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
229, 3, 11, 4, 21syl22anc 838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2320, 22eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
2417, 23coeq12d 5821 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
253, 4, 4, 3, 14mptprop 31659 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
263, 4prssd 4783 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷)
27 df-ss 3928 . . . . . . . . . 10 ({𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
2826, 27sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29 incom 4162 . . . . . . . . 9 ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
3028, 29eqtr3di 2788 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐼)
3231sneqd 4599 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐼})
3332difeq2d 4083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
3433unieqd 4880 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}))
35 difprsn1 4761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = {𝐽})
3635unieqd 4880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
3714, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = βˆͺ {𝐽})
38 unisng 4887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
394, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐽} = 𝐽)
4037, 39eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐼}) = 𝐽)
4234, 41eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐽 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
43 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
4443elpr 4610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽))
45 df-or 847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝐼 ∨ π‘₯ = 𝐽) ↔ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4644, 45sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} β†’ (Β¬ π‘₯ = 𝐼 β†’ π‘₯ = 𝐽))
4746imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4847adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ π‘₯ = 𝐽)
4948sneqd 4599 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ {π‘₯} = {𝐽})
5049difeq2d 4083 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
5150unieqd 4880 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}))
52 difprsn2 4762 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = {𝐼})
5352unieqd 4880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
5414, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = βˆͺ {𝐼})
55 unisng 4887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ {𝐼} = 𝐼)
5754, 56eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {𝐽}) = 𝐼)
5951, 58eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ Β¬ π‘₯ = 𝐼) β†’ 𝐼 = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6042, 59ifeqda 4523 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}) β†’ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}))
6130, 60mpteq12dva 5195 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(π‘₯ = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
6225, 61eqtr2d 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
6315, 24, 623eqtr4d 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ½πΌβ€βŸ© ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
647, 63eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})))
653, 4s2rn 31849 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© = {𝐼, 𝐽})
6665difeq2d 4083 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}))
6766reseq2d 5938 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})))
68 mptresid 6005 . . . . 5 ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽})) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)
6967, 68eqtrdi 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯))
7064, 69uneq12d 4125 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = ((π‘₯ ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯})) βˆͺ (π‘₯ ∈ (𝐷 βˆ– {𝐼, 𝐽}) ↦ π‘₯)))
71 uncom 4114 . . . 4 (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))
7271a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆͺ ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©))) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
732, 70, 723eqtr2rd 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
74 cycpm2.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
75 cycpm2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
763, 4s2cld 14766 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© ∈ Word 𝐷)
773, 4, 14s2f1 31850 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€“1-1→𝐷)
7874, 75, 76, 77tocycfv 32007 . 2 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)) βˆͺ ((βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© cyclShift 1) ∘ β—‘βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)))
79 enpr2 9943 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
803, 4, 14, 79syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o)
81 cycpm2tr.t . . . 4 𝑇 = (pmTrspβ€˜π·)
8281pmtrval 19238 . . 3 ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} βŠ† 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} β‰ˆ 2o) β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8375, 26, 80, 82syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ ∈ {𝐼, 𝐽}, βˆͺ ({𝐼, 𝐽} βˆ– {π‘₯}), π‘₯)))
8473, 78, 833eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = (π‘‡β€˜{𝐼, 𝐽}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  2oc2o 8407   β‰ˆ cen 8883  0cc0 11056  1c1 11057  β„•0cn0 12418   cyclShift ccsh 14682  βŸ¨β€œcs2 14736  pmTrspcpmtr 19228  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-s1 14490  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-s2 14743  df-pmtr 19229  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  trsp2cyc  32021  cyc3evpm  32048  cyc3genpmlem  32049  cyc3conja  32055
  Copyright terms: Public domain W3C validator