Theorem cycpm2tr 33091

Description: A cyclic permutation of 2 elements is a transposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2tr.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cycpm2tr	⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Proof of Theorem cycpm2tr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partfun 6647	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
3		cycpm2.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5		cshw1s2 32932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) = ⟨“𝐽𝐼”⟩)
7	6	coeq1d 5815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
8		0nn0 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10		1nn0 12434	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
12		0ne1 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
14		cycpm2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
15	9, 4, 11, 3, 13, 3, 4, 14	coprprop 32672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
16		s2prop 14849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
17	4, 3, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐽𝐼”⟩ = {⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩})
18		s2prop 14849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
19	3, 4, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
20	19	cnveqd 5829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
21		cnvprop 32669	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
22	9, 3, 11, 4, 21	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ◡{⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
23	20, 22	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ◡⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩})
24	17, 23	coeq12d 5818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = ({⟨0, 𝐽⟩, ⟨1, 𝐼⟩} ∘ {⟨𝐼, 0⟩, ⟨𝐽, 1⟩}))
25	3, 4, 4, 3, 14	mptprop 32671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)))
26	3, 4	prssd 4782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
27		dfss2 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ↔ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
28	26, 27	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = {𝐼, 𝐽})
29		incom 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐼, 𝐽} ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽})
30	28, 29	eqtr3di 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} = (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}))
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐼)
32	31	sneqd 4597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐼})
33	32	difeq2d 4085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
34	33	unieqd 4880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}))
35		difprsn1 4760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = {𝐽})
36	35	unieqd 4880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
37	14, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = ∪ {𝐽})
38		unisng 4885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
39	4, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐽} = 𝐽)
40	37, 39	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐼}) = 𝐽)
42	34, 41	eqtr2d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ 𝑥 = 𝐼) → 𝐽 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
43		vex 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	elpr 4610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↔ (𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽))
45		df-or 848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∨ 𝑥 = 𝐽) ↔ (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
46	44, 45	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} → (¬ 𝑥 = 𝐼 → 𝑥 = 𝐽))
47	46	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
48	47	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝑥 = 𝐽)
49	48	sneqd 4597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → {𝑥} = {𝐽})
50	49	difeq2d 4085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
51	50	unieqd 4880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}))
52		difprsn2 4761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = {𝐼})
53	52	unieqd 4880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
54	14, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = ∪ {𝐼})
55		unisng 4885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐼} = 𝐼)
57	54, 56	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝐽}) = 𝐼)
59	51, 58	eqtr2d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐼) → 𝐼 = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
60	42, 59	ifeqda 4521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}) → if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼) = ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}))
61	30, 60	mpteq12dva 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽} ↦ if(𝑥 = 𝐼, 𝐽, 𝐼)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
62	25, 61	eqtr2d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
63	15, 24, 62	3eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽𝐼”⟩ ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
64	7, 63	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})))
65	3, 4	s2rn 14905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {𝐼, 𝐽})
66	65	difeq2d 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}))
67	66	reseq2d 5939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})))
68		mptresid 6011	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽})) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)
69	67, 68	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥))
70	64, 69	uneq12d 4128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = ((𝑥 ∈ (𝐷 ∩ {𝐼, 𝐽}) ↦ ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥})) ∪ (𝑥 ∈ (𝐷 ∖ {𝐼, 𝐽}) ↦ 𝑥)))
71		uncom 4117	. . . 4 ⊢ (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩))
72	71	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩) ∪ ( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩))) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
73	2, 70, 72	3eqtr2rd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
74		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
75		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
76	3, 4	s2cld 14813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
77	3, 4, 14	s2f1 32916	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
78	74, 75, 76, 77	tocycfv 33081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran ⟨“𝐼𝐽”⟩)) ∪ ((⟨“𝐼𝐽”⟩ cyclShift 1) ∘ ◡⟨“𝐼𝐽”⟩)))
79		enpr2 9931	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
80	3, 4, 14, 79	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ≈ 2o)
81		cycpm2tr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
82	81	pmtrval 19365	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷 ∧ {𝐼, 𝐽} ≈ 2o) → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
83	75, 26, 80, 82	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘{𝐼, 𝐽}) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 ∈ {𝐼, 𝐽}, ∪ ({𝐼, 𝐽} ∖ {𝑥}), 𝑥)))
84	73, 78, 83	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = (𝑇‘{𝐼, 𝐽}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   I cid 5525  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  2_oc2o 8405   ≈ cen 8892  0cc0 11044  1c1 11045  ℕ₀cn0 12418   cyclShift ccsh 14729  ⟨“cs2 14783  pmTrspcpmtr 19355  toCycctocyc 33078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-csh 14730  df-s2 14790  df-pmtr 19356  df-tocyc 33079

This theorem is referenced by:  trsp2cyc  33095  cyc3evpm  33122  cyc3genpmlem  33123  cyc3conja  33129