Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  naryfvalel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naryfvalel 48556
Description: An n-ary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 14-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
naryfval.i 𝐼 = (0..^𝑁)
Assertion
Ref Expression
naryfvalel ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))

Proof of Theorem naryfvalel
StepHypRef Expression
1 naryfval.i . . . 4 𝐼 = (0..^𝑁)
21naryfval 48554 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁-aryF 𝑋) = (𝑋m (𝑋m 𝐼)))
32eleq2d 2826 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼))))
4 ovex 7465 . . 3 (𝑋m 𝐼) ∈ V
5 elmapg 8880 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑋m 𝐼) ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
64, 5mpan2 691 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
73, 6sylan9bb 509 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  wf 6556  (class class class)co 7432  m cmap 8867  0cc0 11156  0cn0 12528  ..^cfzo 13695  -aryF cnaryf 48552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-naryf 48553
This theorem is referenced by:  naryfvalelfv  48558  naryfvalelwrdf  48559  0aryfvalel  48560  1aryfvalel  48562  2aryfvalel  48573
  Copyright terms: Public domain W3C validator