Theorem naryfvalel 45530

Description: An n-ary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 14-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
naryfval.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
naryfvalel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Proof of Theorem naryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naryfval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2	1	naryfval 45528	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁-aryF 𝑋) = (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)))
3	2	eleq2d 2818	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼))))
4		ovex 7203	. . 3 ⊢ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V
5		elmapg 8450	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
6	4, 5	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
7	3, 6	sylan9bb 513	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398  ⟶wf 6335  (class class class)co 7170   ↑_m cmap 8437  0cc0 10615  ℕ₀cn0 11976  ..^cfzo 13124  -aryF cnaryf 45526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-map 8439  df-naryf 45527

This theorem is referenced by:  naryfvalelfv  45532  naryfvalelwrdf  45533  0aryfvalel  45534  1aryfvalel  45536  2aryfvalel  45547