Theorem naryfvalel 49294

Description: An n-ary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 14-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
naryfval.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
naryfvalel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Proof of Theorem naryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naryfval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2	1	naryfval 49292	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁-aryF 𝑋) = (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)))
3	2	eleq2d 2855	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼))))
4		ovex 7444	. . 3 ⊢ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V
5		elmapg 8835	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
6	4, 5	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
7	3, 6	sylan9bb 518	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  ..^cfzo 13681  -aryF cnaryf 49290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825  df-naryf 49291

This theorem is referenced by:  naryfvalelfv  49296  naryfvalelwrdf  49297  0aryfvalel  49298  1aryfvalel  49300  2aryfvalel  49311