Theorem naryfvalel 49410

Description: An n-ary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 14-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
naryfval.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
naryfvalel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Proof of Theorem naryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naryfval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2	1	naryfval 49408	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁-aryF 𝑋) = (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)))
3	2	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼))))
4		ovex 7443	. . 3 ⊢ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V
5		elmapg 8832	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
6	4, 5	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
7	3, 6	sylan9bb 518	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  0cc0 11095  ℕ₀cn0 12499  ..^cfzo 13678  -aryF cnaryf 49406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-naryf 49407

This theorem is referenced by:  naryfvalelfv  49412  naryfvalelwrdf  49413  0aryfvalel  49414  1aryfvalel  49416  2aryfvalel  49427