Theorem naryfvalel 49121

Description: An n-ary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 14-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
naryfval.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
naryfvalel	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Proof of Theorem naryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naryfval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
2	1	naryfval 49119	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁-aryF 𝑋) = (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)))
3	2	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼))))
4		ovex 7394	. . 3 ⊢ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V
5		elmapg 8780	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ↑m 𝐼) ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
6	4, 5	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑m (𝑋 ↑m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))
7	3, 6	sylan9bb 509	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m 𝐼)⟶𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  0cc0 11032  ℕ₀cn0 12431  ..^cfzo 13602  -aryF cnaryf 49117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8769  df-naryf 49118

This theorem is referenced by:  naryfvalelfv  49123  naryfvalelwrdf  49124  0aryfvalel  49125  1aryfvalel  49127  2aryfvalel  49138