Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  naryfvalel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naryfvalel 45530
Description: An n-ary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 14-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
naryfval.i 𝐼 = (0..^𝑁)
Assertion
Ref Expression
naryfvalel ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))

Proof of Theorem naryfvalel
StepHypRef Expression
1 naryfval.i . . . 4 𝐼 = (0..^𝑁)
21naryfval 45528 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁-aryF 𝑋) = (𝑋m (𝑋m 𝐼)))
32eleq2d 2818 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼))))
4 ovex 7203 . . 3 (𝑋m 𝐼) ∈ V
5 elmapg 8450 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑋m 𝐼) ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
64, 5mpan2 691 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
73, 6sylan9bb 513 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  wf 6335  (class class class)co 7170  m cmap 8437  0cc0 10615  0cn0 11976  ..^cfzo 13124  -aryF cnaryf 45526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-map 8439  df-naryf 45527
This theorem is referenced by:  naryfvalelfv  45532  naryfvalelwrdf  45533  0aryfvalel  45534  1aryfvalel  45536  2aryfvalel  45547
  Copyright terms: Public domain W3C validator