Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  naryfvalel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naryfvalel 48480
Description: An n-ary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 14-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
naryfval.i 𝐼 = (0..^𝑁)
Assertion
Ref Expression
naryfvalel ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))

Proof of Theorem naryfvalel
StepHypRef Expression
1 naryfval.i . . . 4 𝐼 = (0..^𝑁)
21naryfval 48478 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁-aryF 𝑋) = (𝑋m (𝑋m 𝐼)))
32eleq2d 2825 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼))))
4 ovex 7464 . . 3 (𝑋m 𝐼) ∈ V
5 elmapg 8878 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑋m 𝐼) ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
64, 5mpan2 691 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (𝑋m (𝑋m 𝐼)) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
73, 6sylan9bb 509 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (𝑁-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m 𝐼)⟶𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wf 6559  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  -aryF cnaryf 48476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-naryf 48477
This theorem is referenced by:  naryfvalelfv  48482  naryfvalelwrdf  48483  0aryfvalel  48484  1aryfvalel  48486  2aryfvalel  48497
  Copyright terms: Public domain W3C validator