Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0aryfvalel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0aryfvalel 45035
 Description: A nullary (endo)function on a set 𝑋 is a singleton of an ordered pair with the empty set as first component. A nullary function represents a constant: (𝐹‘∅) = 𝐶 with 𝐶 ∈ 𝑋, see also 0aryfvalelfv 45036. Instead of (𝐹‘∅), nullary functions are usually written as 𝐹() in literature. (Contributed by AV, 15-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
0aryfvalel (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalel
StepHypRef Expression
1 0nn0 11904 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 fzo0 13060 . . . . 5 (0..^0) = ∅
32eqcomi 2810 . . . 4 ∅ = (0..^0)
43naryfvalel 45031 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m ∅)⟶𝑋))
51, 4mpan 689 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m ∅)⟶𝑋))
6 mapdm0 8408 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑋m ∅) = {∅})
76feq2d 6477 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹:(𝑋m ∅)⟶𝑋𝐹:{∅}⟶𝑋))
8 0ex 5178 . . . . . 6 ∅ ∈ V
98fsn2 6879 . . . . 5 (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ((𝐹‘∅) ∈ 𝑋𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}))
10 opeq2 4768 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹‘∅) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩)
1110sneqd 4540 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹‘∅) → {⟨∅, 𝑥⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
1211rspceeqv 3589 . . . . 5 (((𝐹‘∅) ∈ 𝑋𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
139, 12sylbi 220 . . . 4 (𝐹:{∅}⟶𝑋 → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
148a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → ∅ ∈ V)
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝑥𝑋)
1614, 15fsnd 6636 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋)
17 feq1 6472 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋))
1816, 17syl5ibrcom 250 . . . . 5 (𝑥𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋))
1918rexlimiv 3242 . . . 4 (∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋)
2013, 19impbii 212 . . 3 (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
2120a1i 11 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
225, 7, 213bitrd 308 1 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110  Vcvv 3444  ∅c0 4246  {csn 4528  ⟨cop 4534  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  0cc0 10530  ℕ0cn0 11889  ..^cfzo 13032  -aryF cnaryf 45027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-naryf 45028 This theorem is referenced by:  0aryfvalelfv  45036
 Copyright terms: Public domain W3C validator