Theorem 0aryfvalel 49298

Description: A nullary (endo)function on a set 𝑋 is a singleton of an ordered pair with the empty set as first component. A nullary function represents a constant: (𝐹‘∅) = 𝐶 with 𝐶 ∈ 𝑋, see also 0aryfvalelfv 49299. Instead of (𝐹‘∅), nullary functions are usually written as 𝐹() in literature. (Contributed by AV, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0aryfvalel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12518	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		fzo0 13711	. . . . 5 ⊢ (0..^0) = ∅
3	2	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ ∅ = (0..^0)
4	3	naryfvalel 49294	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
5	1, 4	mpan 702	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
6		mapdm0 8838	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ↑m ∅) = {∅})
7	6	feq2d 6690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋 ↔ 𝐹:{∅}⟶𝑋))
8		0ex 5272	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	fsn2 7133	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}))
10		opeq2 4843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩)
11	10	sneqd 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → {⟨∅, 𝑥⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
12	11	rspceeqv 3613	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
13	9, 12	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
14	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ V)
15		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	14, 15	fsnd 6866	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋)
17		feq1 6684	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋))
18	16, 17	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋))
19	18	rexlimiv 3165	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋)
20	13, 19	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
22	5, 7, 21	3bitrd 308	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {csn 4594  ⟨cop 4600  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8823  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  ..^cfzo 13681  -aryF cnaryf 49290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-naryf 49291

This theorem is referenced by:  0aryfvalelfv  49299