Theorem 0aryfvalel 48822

Description: A nullary (endo)function on a set 𝑋 is a singleton of an ordered pair with the empty set as first component. A nullary function represents a constant: (𝐹‘∅) = 𝐶 with 𝐶 ∈ 𝑋, see also 0aryfvalelfv 48823. Instead of (𝐹‘∅), nullary functions are usually written as 𝐹() in literature. (Contributed by AV, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0aryfvalel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12414	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		fzo0 13597	. . . . 5 ⊢ (0..^0) = ∅
3	2	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ ∅ = (0..^0)
4	3	naryfvalel 48818	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
5	1, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
6		mapdm0 8777	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ↑m ∅) = {∅})
7	6	feq2d 6644	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋 ↔ 𝐹:{∅}⟶𝑋))
8		0ex 5250	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	fsn2 7079	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}))
10		opeq2 4828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩)
11	10	sneqd 4590	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → {⟨∅, 𝑥⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
12	11	rspceeqv 3597	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
13	9, 12	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
14	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ V)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	14, 15	fsnd 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋)
17		feq1 6638	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋))
18	16, 17	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋))
19	18	rexlimiv 3128	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋)
20	13, 19	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
22	5, 7, 21	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  Vcvv 3438  ∅c0 4283  {csn 4578  ⟨cop 4584  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  0cc0 11024  ℕ₀cn0 12399  ..^cfzo 13568  -aryF cnaryf 48814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-naryf 48815

This theorem is referenced by:  0aryfvalelfv  48823