Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0aryfvalel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0aryfvalel 46652
Description: A nullary (endo)function on a set 𝑋 is a singleton of an ordered pair with the empty set as first component. A nullary function represents a constant: (𝐹‘∅) = 𝐶 with 𝐶𝑋, see also 0aryfvalelfv 46653. Instead of (𝐹‘∅), nullary functions are usually written as 𝐹() in literature. (Contributed by AV, 15-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
0aryfvalel (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalel
StepHypRef Expression
1 0nn0 12424 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 fzo0 13588 . . . . 5 (0..^0) = ∅
32eqcomi 2745 . . . 4 ∅ = (0..^0)
43naryfvalel 46648 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m ∅)⟶𝑋))
51, 4mpan 688 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋m ∅)⟶𝑋))
6 mapdm0 8776 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑋m ∅) = {∅})
76feq2d 6651 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹:(𝑋m ∅)⟶𝑋𝐹:{∅}⟶𝑋))
8 0ex 5262 . . . . . 6 ∅ ∈ V
98fsn2 7078 . . . . 5 (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ((𝐹‘∅) ∈ 𝑋𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}))
10 opeq2 4829 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹‘∅) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩)
1110sneqd 4596 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹‘∅) → {⟨∅, 𝑥⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
1211rspceeqv 3593 . . . . 5 (((𝐹‘∅) ∈ 𝑋𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}) → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
139, 12sylbi 216 . . . 4 (𝐹:{∅}⟶𝑋 → ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
148a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥𝑋 → ∅ ∈ V)
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝑥𝑋)
1614, 15fsnd 6824 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋)
17 feq1 6646 . . . . . 6 (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋))
1816, 17syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝑥𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋))
1918rexlimiv 3143 . . . 4 (∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋)
2013, 19impbii 208 . . 3 (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
2120a1i 11 . 2 (𝑋𝑉 → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
225, 7, 213bitrd 304 1 (𝑋𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  Vcvv 3443  c0 4280  {csn 4584  cop 4590  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  m cmap 8761  0cc0 11047  0cn0 12409  ..^cfzo 13559  -aryF cnaryf 46644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-naryf 46645
This theorem is referenced by:  0aryfvalelfv  46653
  Copyright terms: Public domain W3C validator