Theorem 0aryfvalel 48674

Description: A nullary (endo)function on a set 𝑋 is a singleton of an ordered pair with the empty set as first component. A nullary function represents a constant: (𝐹‘∅) = 𝐶 with 𝐶 ∈ 𝑋, see also 0aryfvalelfv 48675. Instead of (𝐹‘∅), nullary functions are usually written as 𝐹() in literature. (Contributed by AV, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0aryfvalel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12396	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		fzo0 13583	. . . . 5 ⊢ (0..^0) = ∅
3	2	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ∅ = (0..^0)
4	3	naryfvalel 48670	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
5	1, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
6		mapdm0 8766	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ↑m ∅) = {∅})
7	6	feq2d 6635	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋 ↔ 𝐹:{∅}⟶𝑋))
8		0ex 5243	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	fsn2 7069	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}))
10		opeq2 4823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩)
11	10	sneqd 4585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → {⟨∅, 𝑥⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
12	11	rspceeqv 3595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
13	9, 12	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
14	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ V)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	14, 15	fsnd 6806	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋)
17		feq1 6629	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋))
18	16, 17	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋))
19	18	rexlimiv 3126	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋)
20	13, 19	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
22	5, 7, 21	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ∅c0 4280  {csn 4573  ⟨cop 4579  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  ..^cfzo 13554  -aryF cnaryf 48666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-naryf 48667

This theorem is referenced by:  0aryfvalelfv  48675