Theorem 0aryfvalel 48596

Description: A nullary (endo)function on a set 𝑋 is a singleton of an ordered pair with the empty set as first component. A nullary function represents a constant: (𝐹‘∅) = 𝐶 with 𝐶 ∈ 𝑋, see also 0aryfvalelfv 48597. Instead of (𝐹‘∅), nullary functions are usually written as 𝐹() in literature. (Contributed by AV, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0aryfvalel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12433	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		fzo0 13620	. . . . 5 ⊢ (0..^0) = ∅
3	2	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ ∅ = (0..^0)
4	3	naryfvalel 48592	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
5	1, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
6		mapdm0 8792	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ↑m ∅) = {∅})
7	6	feq2d 6654	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋 ↔ 𝐹:{∅}⟶𝑋))
8		0ex 5257	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	fsn2 7090	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}))
10		opeq2 4834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩)
11	10	sneqd 4597	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → {⟨∅, 𝑥⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
12	11	rspceeqv 3608	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
13	9, 12	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
14	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ V)
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	14, 15	fsnd 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋)
17		feq1 6648	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋))
18	16, 17	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋))
19	18	rexlimiv 3127	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋)
20	13, 19	impbii 209	. . 3 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
22	5, 7, 21	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {csn 4585  ⟨cop 4591  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  0cc0 11044  ℕ₀cn0 12418  ..^cfzo 13591  -aryF cnaryf 48588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-naryf 48589

This theorem is referenced by:  0aryfvalelfv  48597