Theorem 0aryfvalel 49471

Description: A nullary (endo)function on a set 𝑋 is a singleton of an ordered pair with the empty set as first component. A nullary function represents a constant: (𝐹‘∅) = 𝐶 with 𝐶 ∈ 𝑋, see also 0aryfvalelfv 49472. Instead of (𝐹‘∅), nullary functions are usually written as 𝐹() in literature. (Contributed by AV, 15-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0aryfvalel	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12534	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		fzo0 13729	. . . . 5 ⊢ (0..^0) = ∅
3	2	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ ∅ = (0..^0)
4	3	naryfvalel 49467	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
5	1, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ 𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋))
6		mapdm0 8845	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ↑m ∅) = {∅})
7	6	feq2d 6693	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:(𝑋 ↑m ∅)⟶𝑋 ↔ 𝐹:{∅}⟶𝑋))
8		0ex 5272	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	fsn2 7136	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}))
10		opeq2 4841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, (𝐹‘∅)⟩)
11	10	sneqd 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘∅) → {⟨∅, 𝑥⟩} = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩})
12	11	rspceeqv 3606	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ 𝑋 ∧ 𝐹 = {⟨∅, (𝐹‘∅)⟩}) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
13	9, 12	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
14	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ V)
15		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ∈ 𝑋)
16	14, 15	fsnd 6869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋)
17		feq1 6687	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ {⟨∅, 𝑥⟩}:{∅}⟶𝑋))
18	16, 17	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋))
19	18	rexlimiv 3161	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → 𝐹:{∅}⟶𝑋)
20	13, 19	impbii 212	. . 3 ⊢ (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩})
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹:{∅}⟶𝑋 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
22	5, 7, 21	3bitrd 308	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  0cc0 11115  ℕ₀cn0 12519  ..^cfzo 13699  -aryF cnaryf 49463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-naryf 49464

This theorem is used by:  0aryfvalelfv  49472