MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfitg1 25283
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
nfitg1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 25132 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2 nfcv 2904 . . 3 𝑥(0...3)
3 nfcv 2904 . . . 4 𝑥(i↑𝑘)
4 nfcv 2904 . . . 4 𝑥 ·
5 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥2
6 nfmpt1 5256 . . . . 5 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
75, 6nffv 6899 . . . 4 𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
83, 4, 7nfov 7436 . . 3 𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
92, 8nfsum 15634 . 2 𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
101, 9nfcxfr 2902 1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wcel 2107  wnfc 2884  csb 3893  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6541  (class class class)co 7406  cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   · cmul 11112  cle 11246   / cdiv 11868  3c3 12265  ...cfz 13481  cexp 14024  cre 15041  Σcsu 15629  2citg2 25125  citg 25127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-seq 13964  df-sum 15630  df-itg 25132
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator