MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfitg1 24380
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
nfitg1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 24230 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2 nfcv 2958 . . 3 𝑥(0...3)
3 nfcv 2958 . . . 4 𝑥(i↑𝑘)
4 nfcv 2958 . . . 4 𝑥 ·
5 nfcv 2958 . . . . 5 𝑥2
6 nfmpt1 5131 . . . . 5 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
75, 6nffv 6659 . . . 4 𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
83, 4, 7nfov 7169 . . 3 𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
92, 8nfsum 15042 . 2 𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
101, 9nfcxfr 2956 1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  wcel 2112  wnfc 2939  csb 3831  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  ici 10532   · cmul 10535  cle 10669   / cdiv 11290  3c3 11685  ...cfz 12889  cexp 13429  cre 14451  Σcsu 15037  2citg2 24223  citg 24225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-seq 13369  df-sum 15038  df-itg 24230
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator