Theorem nfitg1 25751

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nfitg1	⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 25600	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2		nfcv 2899	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(0...3)
3		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
4		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
5		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∫2
6		nfmpt1 5185	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
7	5, 6	nffv 6844	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
8	3, 4, 7	nfov 7390	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
9	2, 8	nfsum 15644	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
10	1, 9	nfcxfr 2897	1 ⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ⦋csb 3838  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  ici 11031   · cmul 11034   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  3c3 12228  ...cfz 13452  ↑cexp 14014  ℜcre 15050  Σcsu 15639  ∫₂citg2 25593  ∫citg 25595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-seq 13955  df-sum 15640  df-itg 25600

This theorem is referenced by: (None)