Theorem nfitg1 25824

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nfitg1	⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 25672	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2		nfcv 2903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(0...3)
3		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
4		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
5		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∫2
6		nfmpt1 5256	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
7	5, 6	nffv 6917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
8	3, 4, 7	nfov 7461	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
9	2, 8	nfsum 15724	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
10	1, 9	nfcxfr 2901	1 ⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888  ⦋csb 3908  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158   ≤ cle 11294   / cdiv 11918  3c3 12320  ...cfz 13544  ↑cexp 14099  ℜcre 15133  Σcsu 15719  ∫₂citg2 25665  ∫citg 25667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seq 14040  df-sum 15720  df-itg 25672

This theorem is referenced by: (None)