Theorem nfitg1 25741

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nfitg1	⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 25590	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(0...3)
3		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
4		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
5		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∫2
6		nfmpt1 5184	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
7	5, 6	nffv 6850	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
8	3, 4, 7	nfov 7397	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
9	2, 8	nfsum 15653	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
10	1, 9	nfcxfr 2896	1 ⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883  ⦋csb 3837  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  ici 11040   · cmul 11043   ≤ cle 11180   / cdiv 11807  3c3 12237  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  ℜcre 15059  Σcsu 15648  ∫₂citg2 25583  ∫citg 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-seq 13964  df-sum 15649  df-itg 25590

This theorem is referenced by: (None)