MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfitg1 23760
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
nfitg1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 23611 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2 nfcv 2913 . . 3 𝑥(0...3)
3 nfcv 2913 . . . 4 𝑥(i↑𝑘)
4 nfcv 2913 . . . 4 𝑥 ·
5 nfcv 2913 . . . . 5 𝑥2
6 nfmpt1 4882 . . . . 5 𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
75, 6nffv 6341 . . . 4 𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
83, 4, 7nfov 6825 . . 3 𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
92, 8nfsum 14629 . 2 𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
101, 9nfcxfr 2911 1 𝑥𝐴𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  wcel 2145  wnfc 2900  csb 3682  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  ici 10144   · cmul 10147  cle 10281   / cdiv 10890  3c3 11277  ...cfz 12533  cexp 13067  cre 14045  Σcsu 14624  2citg2 23604  citg 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-seq 13009  df-sum 14625  df-itg 23611
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator