Theorem nfitg1 25933

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nfitg1	⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Proof of Theorem nfitg1

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 25782	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
2		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(0...3)
3		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(i↑𝑘)
4		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
5		nfcv 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∫2
6		nfmpt1 5210	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))
7	5, 6	nffv 6891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0)))
8	3, 4, 7	nfov 7440	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
9	2, 8	nfsum 15738	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑧⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑧), 𝑧, 0))))
10	1, 9	nfcxfr 2923	1 ⊢ Ⅎ𝑥∫𝐴𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910  ⦋csb 3853  ifcif 4487   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  ici 11097   · cmul 11100   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  3c3 12291  ...cfz 13530  ↑cexp 14093  ℜcre 15144  Σcsu 15733  ∫₂citg2 25775  ∫citg 25777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-seq 14034  df-sum 15734  df-itg 25782

This theorem is referenced by: (None)