Theorem nffv 6895

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nffv.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
nffv.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
nffv	⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐴)

Proof of Theorem nffv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 6548	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
2		nffv.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		nffv.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
5	2, 3, 4	nfbr 5160	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴𝐹𝑦
6	5	nfiotaw 6500	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥(℩𝑦𝐴𝐹𝑦)
7	1, 6	nfcxfr 2925	1 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  Ⅎwnfc 2912   class class class wbr 5111  ℩cio 6494  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-iota 6496  df-fv 6548

This theorem is used by:  nffvmpt1  6896  nffvd  6897  fvelimad  6952  dffn5f  6956  fvmptss  7006  fvmptex  7008  fvmptf  7015  fvmptnf  7016  eqfnfv2f  7033  ralrnmptw  7093  ralrnmpt  7095  dffo3f  7105  ffnfvf  7119  funiunfvf  7252  dff13f  7258  nfiso  7329  nfrdg  8407  rdgsucmptf  8421  rdgsucmptnf  8422  frsucmpt  8431  frsucmptn  8432  ttrclselem1  9701  ttrclselem2  9702  rankidb  9779  rankval4  9846  dfac8clem  10032  cardaleph  10089  hsmexlem2  10426  axcc2  10436  uniimadomf  10544  nfseq  14065  seqof2  14114  rlim2  15571  nfsum1  15765  nfsum  15766  sumeq2ii  15768  fsumrelem  15882  o1fsum  15888  nfcprod1  15985  nfcprod  15986  fprodefsum  16171  prdsbas3  17556  prdsdsval2  17559  yonedalem4b  18354  gsum2d2lem  20087  coe1fzgsumdlem  22513  evl1gsumdlem  22566  ptcldmpt  23822  ptcnp  23830  cnmpt11  23871  cnmpt21  23879  cnmptk2  23894  prdsdsf  24575  prdsxmet  24577  ovolfiniun  25711  ovoliunlem3  25714  ovoliun  25715  ovoliun2  25716  ovoliunnul  25717  volfiniun  25757  voliun  25764  mbfsup  25874  mbflim  25878  itg2splitlem  25958  itg2split  25959  itg2cnlem1  25971  isibl2  25976  nfitg1  25984  nfitg  25985  cbvitg  25986  itgabs  26045  dvlipcn  26204  lhop2  26225  dvfsumabs  26233  dvfsumrlim  26241  itgparts  26257  itgsubstlem  26258  ulmss  26611  itgulm2  26623  lgamgulmlem2  27245  lgamgulmlem6  27249  lgamgulm2  27251  lgseisenlem2  27591  dchrisumlem3  27706  ltsval2  27871  nfseqs  28531  cnlnadjlem5  32494  dfimafnf  33052  2ndresdju  33065  deg1prod  33937  esumfzf  34523  voliune  34684  volfiniune  34685  bnj1534  35306  bnj1542  35310  bnj958  35393  bnj1000  35394  bnj1446  35498  bnj1447  35499  bnj1448  35500  bnj1466  35506  bnj1467  35507  bnj1519  35518  bnj1520  35519  bnj1529  35523  rankval4b  35551  onvf1odlem2  35645  vonf1oonfo  35656  cvmcov  35792  rdgssun  38081  exrecfnlem  38082  finxpreclem2  38093  finxpreclem6  38099  poimirlem23  38351  poimirlem27  38355  itgabsnc  38397  riotaocN  40041  cdleme32d  41276  cdleme32f  41278  ltrniotaval  41413  cdlemksv2  41679  cdlemkuv2  41699  cdlemk36  41745  cdlemk38  41747  cdlemk19x  41775  cdlemk11t  41778  evl1gprodd  42942  mzpsubst  43537  aomclem8  43846  mnringmulrcld  45010  binomcxplemdvbinom  45121  binomcxplemdvsum  45123  binomcxplemnotnn0  45124  nfrelp  45716  permaxrep  45773  permaxsep  45774  evth2f  45793  fvelrnbf  45796  evthf  45805  rfcnpre3  45811  rfcnpre4  45812  rfcnnnub  45814  refsum2cnlem1  45815  allbutfiinf  46192  monoordxr  46254  monoord2xr  46256  caucvgbf  46261  cvgcaule  46263  fmul01  46354  fmuldfeqlem1  46356  fmuldfeq  46357  fmul01lt1lem1  46358  fmul01lt1lem2  46359  fmul01lt1  46360  cncfmptss  46361  mulc1cncfg  46363  expcnfg  46365  fprodabs2  46369  climmulf  46378  climexp  46379  climsuse  46382  climrecf  46383  climinff  46385  climaddf  46389  mullimc  46390  idlimc  46400  limcperiod  46402  neglimc  46419  addlimc  46420  0ellimcdiv  46421  fnlimfv  46435  climreclf  46436  fnlimcnv  46439  fnlimfvre  46446  fnlimfvre2  46449  fnlimf  46450  fnlimabslt  46451  climfveqf  46452  climmptf  46453  climeldmeqf  46455  limsupref  46457  limsupbnd1f  46458  climbddf  46459  climeqf  46460  limsuppnfd  46474  climinf2  46479  limsuppnf  46483  limsupubuz  46485  climinfmpt  46487  limsupmnf  46493  limsupequz  46495  limsupre2  46497  limsupmnfuz  46499  limsupre3  46505  limsupre3uz  46508  limsupreuz  46509  climuz  46516  lmbr3  46519  limsupgt  46550  liminfvalxr  46555  liminfreuz  46575  liminflt  46577  xlimpnfxnegmnf  46586  liminfpnfuz  46588  xlimmnf  46613  xlimpnf  46614  dfxlim2  46620  xlimpnfxnegmnf2  46630  cncfshift  46646  icccncfext  46659  cncficcgt0  46660  cncfiooicclem1  46665  dvnmul  46715  dvnprodlem1  46718  itgsubsticclem  46747  stoweidlem3  46775  stoweidlem23  46795  stoweidlem26  46798  stoweidlem28  46800  stoweidlem29  46801  stoweidlem31  46803  stoweidlem34  46806  stoweidlem36  46808  stoweidlem42  46814  stoweidlem48  46820  stoweidlem51  46823  stoweidlem52  46824  stoweidlem59  46831  wallispilem5  46841  stirlinglem4  46849  stirlinglem11  46856  stirlinglem12  46857  stirlinglem13  46858  stirlinglem14  46859  stirlinglem15  46860  fourierdlem20  46899  fourierdlem31  46910  fourierdlem79  46957  fourierdlem89  46967  fourierdlem91  46969  fourierdlem112  46990  fourierdlem115  46993  fourierd  46994  fourierclimd  46995  etransclem2  47008  etransclem48  47054  sge0revalmpt  47150  sge0fsummpt  47162  sge0iunmptlemfi  47185  sge0iunmptlemre  47187  sge0iunmpt  47190  sge0xadd  47207  sge0fsummptf  47208  sge0gtfsumgt  47215  iundjiun  47232  meadjiun  47238  voliunsge0lem  47244  meaiunincf  47255  meaiuninc3  47257  omeiunle  47289  omeiunltfirp  47291  ovncvrrp  47336  vonioo  47454  vonicc  47457  vonn0ioo2  47462  vonn0icc2  47464  pimltmnf2f  47469  pimgtpnf2f  47477  pimltpnf2f  47484  pimgtmnf2  47486  pimdecfgtioc  47487  issmff  47506  smfpimltxrmptf  47530  smfpreimagtf  47540  smflim  47549  smfpimgtxr  47552  smfpimgtxrmptf  47556  smfmullem4  47566  smflim2  47578  smfpimcclem  47579  smfpimcc  47580  smfsup  47586  smfsupmpt  47587  smfsupxr  47588  smfinflem  47589  smfinf  47590  smflimsuplem2  47593  smflimsuplem5  47596  smflimsuplem7  47598  smflimsup  47600  smfliminf  47603  fsupdm  47614  smfsupdmmbllem  47616  finfdm  47618  smfinfdmmbllem  47620  nfafv  47931  nfsetrecs  50521  setrec2fun  50527