Theorem nfitg 25703

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if 𝑦 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in ∫𝐴𝐵 d𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfitg.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴
nfitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfitg	⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nfitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 25697	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3		nfcv 2894	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(0...3)
4		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
5		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 ·
6		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∫2
7		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
8		nfitg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9	8	nfcri 2886	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
10		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0
11		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
12		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
13		nfitg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
14		nfcv 2894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 /
15	13, 14, 4	nfov 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
16	12, 15	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
17	10, 11, 16	nfbr 5136	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
18	9, 17	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
19	18, 16, 10	nfif 4503	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
20	7, 19	nfmpt 5187	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
21	6, 20	nffv 6832	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
22	4, 5, 21	nfov 7376	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
23	3, 22	nfsum 15598	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
24	2, 23	nfcxfr 2892	1 ⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  ifcif 4472   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  ici 11008   · cmul 11011   ≤ cle 11147   / cdiv 11774  3c3 12181  ...cfz 13407  ↑cexp 13968  ℜcre 15004  Σcsu 15593  ∫₂citg2 25544  ∫citg 25546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-sum 15594  df-itg 25551

This theorem is referenced by:  itgfsum  25755  itgulm2  26345  fourierdlem112  46326