MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfitg 25825
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if 𝑦 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in 𝐴𝐵 d𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1 𝑦𝐴
nfitg.2 𝑦𝐵
Assertion
Ref Expression
nfitg 𝑦𝐴𝐵 d𝑥
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
21dfitg 25819 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3 nfcv 2903 . . 3 𝑦(0...3)
4 nfcv 2903 . . . 4 𝑦(i↑𝑘)
5 nfcv 2903 . . . 4 𝑦 ·
6 nfcv 2903 . . . . 5 𝑦2
7 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑦
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴
98nfcri 2895 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥𝐴
10 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑦0
11 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑦
12 nfcv 2903 . . . . . . . . . 10 𝑦
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝐵
14 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑦 /
1513, 14, 4nfov 7461 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
1612, 15nffv 6917 . . . . . . . . 9 𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
1710, 11, 16nfbr 5195 . . . . . . . 8 𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
189, 17nfan 1897 . . . . . . 7 𝑦(𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
1918, 16, 10nfif 4561 . . . . . 6 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
207, 19nfmpt 5255 . . . . 5 𝑦(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
216, 20nffv 6917 . . . 4 𝑦(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
224, 5, 21nfov 7461 . . 3 𝑦((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
233, 22nfsum 15724 . 2 𝑦Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
242, 23nfcxfr 2901 1 𝑦𝐴𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wcel 2106  wnfc 2888  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  ici 11155   · cmul 11158  cle 11294   / cdiv 11918  3c3 12320  ...cfz 13544  cexp 14099  cre 15133  Σcsu 15719  2citg2 25665  citg 25667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sum 15720  df-itg 25672
This theorem is referenced by:  itgfsum  25877  itgulm2  26467  fourierdlem112  46174
  Copyright terms: Public domain W3C validator