Theorem nfitg 25628

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if 𝑦 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in ∫𝐴𝐵 d𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfitg.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴
nfitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfitg	⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nfitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 25623	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3		nfcv 2895	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(0...3)
4		nfcv 2895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
5		nfcv 2895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 ·
6		nfcv 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∫2
7		nfcv 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
8		nfitg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9	8	nfcri 2882	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
10		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0
11		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
12		nfcv 2895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
13		nfitg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
14		nfcv 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 /
15	13, 14, 4	nfov 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
16	12, 15	nffv 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
17	10, 11, 16	nfbr 5186	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
18	9, 17	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
19	18, 16, 10	nfif 4551	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
20	7, 19	nfmpt 5246	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
21	6, 20	nffv 6892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
22	4, 5, 21	nfov 7432	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
23	3, 22	nfsum 15635	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
24	2, 23	nfcxfr 2893	1 ⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875  ifcif 4521   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107  ici 11109   · cmul 11112   ≤ cle 11247   / cdiv 11869  3c3 12266  ...cfz 13482  ↑cexp 14025  ℜcre 15042  Σcsu 15630  ∫₂citg2 25469  ∫citg 25471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-seq 13965  df-sum 15631  df-itg 25476

This theorem is referenced by:  itgfsum  25680  itgulm2  26264  fourierdlem112  45444