![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nfitg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if ๐ฆ is (effectively) not free in ๐ด and ๐ต, it is not free in โซ๐ด๐ต d๐ฅ. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
nfitg.1 | โข โฒ๐ฆ๐ด |
nfitg.2 | โข โฒ๐ฆ๐ต |
Ref | Expression |
---|---|
nfitg | โข โฒ๐ฆโซ๐ด๐ต d๐ฅ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2733 | . . 3 โข (โโ(๐ต / (iโ๐))) = (โโ(๐ต / (iโ๐))) | |
2 | 1 | dfitg 25157 | . 2 โข โซ๐ด๐ต d๐ฅ = ฮฃ๐ โ (0...3)((iโ๐) ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)))) |
3 | nfcv 2904 | . . 3 โข โฒ๐ฆ(0...3) | |
4 | nfcv 2904 | . . . 4 โข โฒ๐ฆ(iโ๐) | |
5 | nfcv 2904 | . . . 4 โข โฒ๐ฆ ยท | |
6 | nfcv 2904 | . . . . 5 โข โฒ๐ฆโซ2 | |
7 | nfcv 2904 | . . . . . 6 โข โฒ๐ฆโ | |
8 | nfitg.1 | . . . . . . . . 9 โข โฒ๐ฆ๐ด | |
9 | 8 | nfcri 2891 | . . . . . . . 8 โข โฒ๐ฆ ๐ฅ โ ๐ด |
10 | nfcv 2904 | . . . . . . . . 9 โข โฒ๐ฆ0 | |
11 | nfcv 2904 | . . . . . . . . 9 โข โฒ๐ฆ โค | |
12 | nfcv 2904 | . . . . . . . . . 10 โข โฒ๐ฆโ | |
13 | nfitg.2 | . . . . . . . . . . 11 โข โฒ๐ฆ๐ต | |
14 | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . 11 โข โฒ๐ฆ / | |
15 | 13, 14, 4 | nfov 7391 | . . . . . . . . . 10 โข โฒ๐ฆ(๐ต / (iโ๐)) |
16 | 12, 15 | nffv 6856 | . . . . . . . . 9 โข โฒ๐ฆ(โโ(๐ต / (iโ๐))) |
17 | 10, 11, 16 | nfbr 5156 | . . . . . . . 8 โข โฒ๐ฆ0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐))) |
18 | 9, 17 | nfan 1903 | . . . . . . 7 โข โฒ๐ฆ(๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))) |
19 | 18, 16, 10 | nfif 4520 | . . . . . 6 โข โฒ๐ฆif((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0) |
20 | 7, 19 | nfmpt 5216 | . . . . 5 โข โฒ๐ฆ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)) |
21 | 6, 20 | nffv 6856 | . . . 4 โข โฒ๐ฆ(โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0))) |
22 | 4, 5, 21 | nfov 7391 | . . 3 โข โฒ๐ฆ((iโ๐) ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)))) |
23 | 3, 22 | nfsum 15584 | . 2 โข โฒ๐ฆฮฃ๐ โ (0...3)((iโ๐) ยท (โซ2โ(๐ฅ โ โ โฆ if((๐ฅ โ ๐ด โง 0 โค (โโ(๐ต / (iโ๐)))), (โโ(๐ต / (iโ๐))), 0)))) |
24 | 2, 23 | nfcxfr 2902 | 1 โข โฒ๐ฆโซ๐ด๐ต d๐ฅ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 397 โ wcel 2107 โฒwnfc 2884 ifcif 4490 class class class wbr 5109 โฆ cmpt 5192 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โcr 11058 0cc0 11059 ici 11061 ยท cmul 11064 โค cle 11198 / cdiv 11820 3c3 12217 ...cfz 13433 โcexp 13976 โcre 14991 ฮฃcsu 15579 โซ2citg2 25003 โซcitg 25005 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-nn 12162 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-fz 13434 df-seq 13916 df-sum 15580 df-itg 25010 |
This theorem is referenced by: itgfsum 25214 itgulm2 25791 fourierdlem112 44549 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |