MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfitg 25810
Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if 𝑦 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in 𝐴𝐵 d𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nfitg.1 𝑦𝐴
nfitg.2 𝑦𝐵
Assertion
Ref Expression
nfitg 𝑦𝐴𝐵 d𝑥
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nfitg
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
21dfitg 25804 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3 nfcv 2905 . . 3 𝑦(0...3)
4 nfcv 2905 . . . 4 𝑦(i↑𝑘)
5 nfcv 2905 . . . 4 𝑦 ·
6 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦2
7 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦
8 nfitg.1 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴
98nfcri 2897 . . . . . . . 8 𝑦 𝑥𝐴
10 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑦0
11 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑦
12 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑦
13 nfitg.2 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝐵
14 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑦 /
1513, 14, 4nfov 7461 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
1612, 15nffv 6916 . . . . . . . . 9 𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
1710, 11, 16nfbr 5190 . . . . . . . 8 𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
189, 17nfan 1899 . . . . . . 7 𝑦(𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
1918, 16, 10nfif 4556 . . . . . 6 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
207, 19nfmpt 5249 . . . . 5 𝑦(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
216, 20nffv 6916 . . . 4 𝑦(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
224, 5, 21nfov 7461 . . 3 𝑦((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
233, 22nfsum 15727 . 2 𝑦Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
242, 23nfcxfr 2903 1 𝑦𝐴𝐵 d𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wcel 2108  wnfc 2890  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  ici 11157   · cmul 11160  cle 11296   / cdiv 11920  3c3 12322  ...cfz 13547  cexp 14102  cre 15136  Σcsu 15722  2citg2 25651  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sum 15723  df-itg 25658
This theorem is referenced by:  itgfsum  25862  itgulm2  26452  fourierdlem112  46233
  Copyright terms: Public domain W3C validator