Theorem nfitg 26122

Description: Bound-variable hypothesis builder for an integral: if 𝑦 is (effectively) not free in 𝐴 and 𝐵, it is not free in ∫𝐴𝐵 d𝑥. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfitg.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴
nfitg.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfitg	⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem nfitg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 26117	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
3		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦(0...3)
4		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(i↑𝑘)
5		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 ·
6		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦∫2
7		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦ℝ
8		nfitg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9	8	nfcri 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
10		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦0
11		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
12		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦ℜ
13		nfitg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
14		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 /
15	13, 14, 4	nfov 7470	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐵 / (i↑𝑘))
16	12, 15	nffv 6915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
17	10, 11, 16	nfbr 5155	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
18	9, 17	nfan 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
19	18, 16, 10	nfif 4516	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)
20	7, 19	nfmpt 5206	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
21	6, 20	nffv 6915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
22	4, 5, 21	nfov 7470	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
23	3, 22	nfsum 15884	. 2 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))))
24	2, 23	nfcxfr 2924	1 ⊢ Ⅎ𝑦∫𝐴𝐵 d𝑥

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224  ici 11226   · cmul 11229   ≤ cle 11368   / cdiv 11997  3c3 12422  ...cfz 13663  ↑cexp 14228  ℜcre 15290  Σcsu 15879  ∫₂citg2 25964  ∫citg 25966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-seq 14169  df-sum 15880  df-itg 25971

This theorem is used by:  itgfsum  26174  itgulm2  26763  fourierdlem112  47431