Theorem nfop 4817

Description: Bound-variable hypothesis builder for ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfop.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfop.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfop	⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem nfop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopif 4797	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
2		nfop.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	nfel1 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
4		nfop.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	4	nfel1 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ V
6	3, 5	nfan 1903	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
7	2	nfsn 4640	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
8	2, 4	nfpr 4623	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴, 𝐵}
9	7, 8	nfpr 4623	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
10		nfcv 2906	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
11	6, 9, 10	nfif 4486	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
12	1, 11	nfcxfr 2904	1 ⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ifcif 4456  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565

This theorem is referenced by:  nfopd  4818  moop2  5410  iunopeqop  5429  fliftfuns  7165  dfmpo  7913  qliftfuns  8551  xpf1o  8875  nfseq  13659  txcnp  22679  cnmpt1t  22724  cnmpt2t  22732  flfcnp2  23066  bnj958  32820  bnj1000  32821  bnj1446  32925  bnj1447  32926  bnj1448  32927  bnj1466  32933  bnj1467  32934  bnj1519  32945  bnj1520  32946  bnj1529  32950  nosupbnd2  33846  noinfbnd2  33861  poimirlem26  35730  nfopdALT  36912  nfaov  44558