Theorem nfop 4853

Description: Bound-variable hypothesis builder for ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfop.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfop.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfop	⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem nfop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopif 4834	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
2		nfop.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	nfel1 2940	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
4		nfop.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	4	nfel1 2940	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ V
6	3, 5	nfan 1928	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
7	2	nfsn 4672	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
8	2, 4	nfpr 4657	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴, 𝐵}
9	7, 8	nfpr 4657	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
10		nfcv 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
11	6, 9, 10	nfif 4517	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
12	1, 11	nfcxfr 2922	1 ⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ifcif 4486  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4594

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595

This theorem is used by:  nfopd  4854  moop2  5484  iunopeqop  5503  iunopeqopOLD  5504  fliftfuns  7312  dfmpo  8095  qliftfuns  8800  xpf1o  9125  nfseq  14054  txcnp  23788  cnmpt1t  23833  cnmpt2t  23841  flfcnp2  24175  nosupbnd2  27891  noinfbnd2  27906  nfseqs  28491  bnj958  35337  bnj1000  35338  bnj1446  35442  bnj1447  35443  bnj1448  35444  bnj1466  35450  bnj1467  35451  bnj1519  35462  bnj1520  35463  bnj1529  35467  poimirlem26  38325  nfopdALT  39773  nfaov  47944