Theorem nfop 4889

Description: Bound-variable hypothesis builder for ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfop.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfop.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfop	⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem nfop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopif 4870	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
2		nfop.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	nfel1 2918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
4		nfop.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	4	nfel1 2918	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ V
6	3, 5	nfan 1901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
7	2	nfsn 4711	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
8	2, 4	nfpr 4694	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴, 𝐵}
9	7, 8	nfpr 4694	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
10		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
11	6, 9, 10	nfif 4558	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
12	1, 11	nfcxfr 2900	1 ⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  Ⅎwnfc 2882  Vcvv 3473  ∅c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  ⟨cop 4634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635

This theorem is referenced by:  nfopd  4890  moop2  5502  iunopeqop  5521  fliftfuns  7314  dfmpo  8093  qliftfuns  8804  xpf1o  9145  nfseq  13983  txcnp  23444  cnmpt1t  23489  cnmpt2t  23497  flfcnp2  23831  nosupbnd2  27562  noinfbnd2  27577  bnj958  34415  bnj1000  34416  bnj1446  34520  bnj1447  34521  bnj1448  34522  bnj1466  34528  bnj1467  34529  bnj1519  34540  bnj1520  34541  bnj1529  34545  poimirlem26  36978  nfopdALT  38305  nfaov  46346