MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssbn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cssbn 24883
Description: A complete subspace of a normed vector space with a complete scalar field is a Banach space. Remark: In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition Cβ„‹ (df-ch 30461) of closed subspaces of a Hilbert space. It may be superseded by cmslssbn 24880. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
cssbn.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
cssbn (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Proof of Theorem cssbn
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
2 simpl2 1192 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
3 nvcnlm 24204 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
4 nlmngp 24185 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
6 nvclmod 24206 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 cssbn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87lsssubg 20560 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
96, 8sylan 580 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10 cssbn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
1110subgngp 24135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
125, 9, 11syl2an2r 683 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
13123adant2 1131 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
1413adantr 481 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
15 ngpms 24100 . . . 4 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
1614, 15syl 17 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
17 cssbn.d . . . . . . 7 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
18 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
1910, 18ressds 17351 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
20193ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
2193adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2210subgbas 19004 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2423sqxpeqd 5707 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) = ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
2520, 24reseq12d 5980 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2617, 25eqtrid 2784 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2726eqcomd 2738 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
2827adantr 481 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
29 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
30 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
3129, 30ngpmet 24103 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3213, 31syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3326, 32eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3433adantr 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
35 simpr 485 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
36 eqid 2732 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3736iscmet2 24802 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))))
3834, 35, 37sylanbrc 583 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3928, 38eqeltrd 2833 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
4029, 30iscms 24853 . . 3 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹))))
4116, 39, 40sylanbrc 583 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ CMetSp)
42 simpl3 1193 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4310, 7cmslssbn 24880 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
441, 2, 41, 42, 43syl22anc 837 1 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  Scalarcsca 17196  distcds 17202  SubGrpcsubg 18994  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  Metcmet 20922  MetOpencmopn 20926  β‡π‘‘clm 22721  MetSpcms 23815  NrmGrpcngp 24077  NrmModcnlm 24080  NrmVeccnvc 24081  Cauccau 24761  CMetccmet 24762  CMetSpccms 24840  Bancbn 24841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lvec 20706  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-lm 22724  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086  df-nvc 24087  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-cms 24843  df-bn 24844
This theorem is referenced by:  csschl  24884
  Copyright terms: Public domain W3C validator