MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssbn 25430
Description: A complete subspace of a normed vector space with a complete scalar field is a Banach space. Remark: In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C (df-ch 31255) of closed subspaces of a Hilbert space. It may be superseded by cmslssbn 25427. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
Assertion
Ref Expression
cssbn (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cssbn
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
2 simpl2 1192 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
3 nvcnlm 24740 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
4 nlmngp 24721 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
6 nvclmod 24742 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
7 cssbn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
87lsssubg 20980 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
96, 8sylan 579 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 cssbn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
1110subgngp 24671 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
125, 9, 11syl2an2r 684 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
13123adant2 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
1413adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
15 ngpms 24636 . . . 4 (𝑋 ∈ NrmGrp → 𝑋 ∈ MetSp)
1614, 15syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ MetSp)
17 cssbn.d . . . . . . 7 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
18 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
1910, 18ressds 17471 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
20193ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
2193adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2210subgbas 19172 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2423sqxpeqd 5732 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 × 𝑈) = ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
2520, 24reseq12d 6012 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
2617, 25eqtrid 2792 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝐷 = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
2726eqcomd 2746 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = 𝐷)
2827adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = 𝐷)
29 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
30 eqid 2740 . . . . . . . . 9 ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
3129, 30ngpmet 24639 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
3213, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
3326, 32eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
3433adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
35 simpr 484 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
36 eqid 2740 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3736iscmet2 25349 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))))
3834, 35, 37sylanbrc 582 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
3928, 38eqeltrd 2844 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
4029, 30iscms 25400 . . 3 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
4116, 39, 40sylanbrc 582 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ CMetSp)
42 simpl3 1193 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈𝑆)
4310, 7cmslssbn 25427 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)
441, 2, 41, 42, 43syl22anc 838 1 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wss 3976   × cxp 5698  dom cdm 5700  cres 5702  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  s cress 17289  Scalarcsca 17316  distcds 17322  SubGrpcsubg 19162  LModclmod 20882  LSubSpclss 20954  Metcmet 21375  MetOpencmopn 21379  𝑡clm 23257  MetSpcms 24351  NrmGrpcngp 24613  NrmModcnlm 24616  NrmVeccnvc 24617  Cauccau 25308  CMetccmet 25309  CMetSpccms 25387  Bancbn 25388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cc 10506  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-omul 8529  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fi 9482  df-sup 9513  df-inf 9514  df-oi 9581  df-card 10010  df-acn 10013  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ico 13415  df-fz 13570  df-fl 13845  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536  df-rlim 15537  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-tset 17332  df-ds 17335  df-rest 17484  df-topn 17485  df-0g 17503  df-topgen 17505  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-mgp 20164  df-ur 20211  df-ring 20264  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-lvec 21127  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-fbas 21386  df-fg 21387  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22976  df-ntr 23051  df-nei 23129  df-lm 23260  df-fil 23877  df-fm 23969  df-flim 23970  df-flf 23971  df-xms 24353  df-ms 24354  df-nm 24618  df-ngp 24619  df-nlm 24622  df-nvc 24623  df-cfil 25310  df-cau 25311  df-cmet 25312  df-cms 25390  df-bn 25391
This theorem is referenced by:  csschl  25431
  Copyright terms: Public domain W3C validator