MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssbn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cssbn 25247
Description: A complete subspace of a normed vector space with a complete scalar field is a Banach space. Remark: In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition Cβ„‹ (df-ch 30969) of closed subspaces of a Hilbert space. It may be superseded by cmslssbn 25244. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
cssbn.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
cssbn (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Proof of Theorem cssbn
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
2 simpl2 1189 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
3 nvcnlm 24557 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
4 nlmngp 24538 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
6 nvclmod 24559 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 cssbn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87lsssubg 20800 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
96, 8sylan 579 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10 cssbn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
1110subgngp 24488 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
125, 9, 11syl2an2r 682 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
13123adant2 1128 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
1413adantr 480 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
15 ngpms 24453 . . . 4 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
1614, 15syl 17 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
17 cssbn.d . . . . . . 7 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
18 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
1910, 18ressds 17360 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
20193ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
2193adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2210subgbas 19053 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2423sqxpeqd 5699 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) = ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
2520, 24reseq12d 5973 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2617, 25eqtrid 2776 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2726eqcomd 2730 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
2827adantr 480 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
29 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
30 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
3129, 30ngpmet 24456 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3213, 31syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3326, 32eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3433adantr 480 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
35 simpr 484 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
36 eqid 2724 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3736iscmet2 25166 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))))
3834, 35, 37sylanbrc 582 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3928, 38eqeltrd 2825 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
4029, 30iscms 25217 . . 3 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹))))
4116, 39, 40sylanbrc 582 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ CMetSp)
42 simpl3 1190 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4310, 7cmslssbn 25244 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
441, 2, 41, 42, 43syl22anc 836 1 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667   β†Ύ cres 5669  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  Scalarcsca 17205  distcds 17211  SubGrpcsubg 19043  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  Metcmet 21220  MetOpencmopn 21224  β‡π‘‘clm 23074  MetSpcms 24168  NrmGrpcngp 24430  NrmModcnlm 24433  NrmVeccnvc 24434  Cauccau 25125  CMetccmet 25126  CMetSpccms 25204  Bancbn 25205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-fz 13486  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-tset 17221  df-ds 17224  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lvec 20947  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-ntr 22868  df-nei 22946  df-lm 23077  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-nlm 24439  df-nvc 24440  df-cfil 25127  df-cau 25128  df-cmet 25129  df-cms 25207  df-bn 25208
This theorem is referenced by:  csschl  25248
  Copyright terms: Public domain W3C validator