Theorem cssbn 25534

Description: A complete subspace of a normed vector space with a complete scalar field is a Banach space. Remark: In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C_ℋ (df-ch 31573) of closed subspaces of a Hilbert space. It may be superseded by cmslssbn 25531. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cssbn.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
cssbn	⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cssbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
2		simpl2 1211	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
3		nvcnlm 24853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
4		nlmngp 24834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
6		nvclmod 24855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
7		cssbn.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssubg 21078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		cssbn.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
11	10	subgngp 24792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
12	5, 9, 11	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
13	12	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
14	13	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
15		ngpms 24757	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ NrmGrp → 𝑋 ∈ MetSp)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ MetSp)
17		cssbn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
18		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
19	10, 18	ressds 17458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
20	19	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
21	9	3adant2 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
22	10	subgbas 19191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
24	23	sqxpeqd 5693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 × 𝑈) = ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
25	20, 24	reseq12d 5979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
26	17, 25	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝐷 = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
27	26	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = 𝐷)
28	27	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = 𝐷)
29		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
30		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
31	29, 30	ngpmet 24760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
32	13, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
33	26, 32	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
35		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
36		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
37	36	iscmet2 25453	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))))
38	34, 35, 37	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
39	28, 38	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
40	29, 30	iscms 25504	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
41	16, 39, 40	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ CMetSp)
42		simpl3 1212	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
43	10, 7	cmslssbn 25531	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)
44	1, 2, 41, 42, 43	syl22anc 851	1 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5659  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  Scalarcsca 17308  distcds 17314  SubGrpcsubg 19181  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  Metcmet 21508  MetOpencmopn 21512  ⇝_𝑡clm 23383  MetSpcms 24475  NrmGrpcngp 24734  NrmModcnlm 24737  NrmVeccnvc 24738  Cauccau 25412  CMetccmet 25413  CMetSpccms 25491  Bancbn 25492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-tset 17324  df-ds 17327  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-topgen 17491  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lvec 21224  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-ntr 23177  df-nei 23255  df-lm 23386  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-nlm 24743  df-nvc 24744  df-cfil 25414  df-cau 25415  df-cmet 25416  df-cms 25494  df-bn 25495

This theorem is referenced by:  csschl  25535