MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssbn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cssbn 25316
Description: A complete subspace of a normed vector space with a complete scalar field is a Banach space. Remark: In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition Cβ„‹ (df-ch 31044) of closed subspaces of a Hilbert space. It may be superseded by cmslssbn 25313. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
cssbn.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
cssbn (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Proof of Theorem cssbn
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
2 simpl2 1190 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
3 nvcnlm 24626 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
4 nlmngp 24607 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
6 nvclmod 24628 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 cssbn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87lsssubg 20841 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
96, 8sylan 579 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10 cssbn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
1110subgngp 24557 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
125, 9, 11syl2an2r 684 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
13123adant2 1129 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
1413adantr 480 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
15 ngpms 24522 . . . 4 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
1614, 15syl 17 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
17 cssbn.d . . . . . . 7 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
18 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
1910, 18ressds 17391 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
20193ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
2193adant2 1129 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2210subgbas 19085 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2423sqxpeqd 5710 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) = ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
2520, 24reseq12d 5986 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2617, 25eqtrid 2780 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2726eqcomd 2734 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
2827adantr 480 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
29 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
30 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
3129, 30ngpmet 24525 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3213, 31syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3326, 32eqeltrd 2829 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3433adantr 480 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
35 simpr 484 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
36 eqid 2728 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3736iscmet2 25235 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))))
3834, 35, 37sylanbrc 582 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3928, 38eqeltrd 2829 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
4029, 30iscms 25286 . . 3 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹))))
4116, 39, 40sylanbrc 582 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ CMetSp)
42 simpl3 1191 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4310, 7cmslssbn 25313 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
441, 2, 41, 42, 43syl22anc 838 1 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  Scalarcsca 17236  distcds 17242  SubGrpcsubg 19075  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  Metcmet 21265  MetOpencmopn 21269  β‡π‘‘clm 23143  MetSpcms 24237  NrmGrpcngp 24499  NrmModcnlm 24502  NrmVeccnvc 24503  Cauccau 25194  CMetccmet 25195  CMetSpccms 25273  Bancbn 25274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-ds 17255  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lvec 20988  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-ntr 22937  df-nei 23015  df-lm 23146  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nlm 24508  df-nvc 24509  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198  df-cms 25276  df-bn 25277
This theorem is referenced by:  csschl  25317
  Copyright terms: Public domain W3C validator