MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssbn 25421
Description: A complete subspace of a normed vector space with a complete scalar field is a Banach space. Remark: In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition C (df-ch 31244) of closed subspaces of a Hilbert space. It may be superseded by cmslssbn 25418. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
cssbn.d 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
Assertion
Ref Expression
cssbn (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cssbn
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑊 ∈ NrmVec)
2 simpl2 1192 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp)
3 nvcnlm 24731 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmMod)
4 nlmngp 24712 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ NrmGrp)
6 nvclmod 24733 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmVec → 𝑊 ∈ LMod)
7 cssbn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
87lsssubg 20973 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
96, 8sylan 579 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 cssbn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
1110subgngp 24662 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
125, 9, 11syl2an2r 684 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
13123adant2 1131 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
1413adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ NrmGrp)
15 ngpms 24627 . . . 4 (𝑋 ∈ NrmGrp → 𝑋 ∈ MetSp)
1614, 15syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ MetSp)
17 cssbn.d . . . . . . 7 𝐷 = ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈))
18 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
1910, 18ressds 17464 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
20193ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
2193adant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2210subgbas 19165 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
2423sqxpeqd 5731 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 × 𝑈) = ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
2520, 24reseq12d 6009 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑊) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
2617, 25eqtrid 2786 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝐷 = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
2726eqcomd 2740 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = 𝐷)
2827adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = 𝐷)
29 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
30 eqid 2734 . . . . . . . . 9 ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
3129, 30ngpmet 24630 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ NrmGrp → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
3213, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
3326, 32eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
3433adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)))
35 simpr 484 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
36 eqid 2734 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3736iscmet2 25340 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑋)) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))))
3834, 35, 37sylanbrc 582 . . . 4 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝐷 ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
3928, 38eqeltrd 2838 . . 3 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
4029, 30iscms 25391 . . 3 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
4116, 39, 40sylanbrc 582 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ CMetSp)
42 simpl3 1193 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑈𝑆)
4310, 7cmslssbn 25418 . 2 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆)) → 𝑋 ∈ Ban)
441, 2, 41, 42, 43syl22anc 838 1 (((𝑊 ∈ NrmVec ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑆) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))) → 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wss 3970   × cxp 5697  dom cdm 5699  cres 5701  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  s cress 17282  Scalarcsca 17309  distcds 17315  SubGrpcsubg 19155  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  Metcmet 21368  MetOpencmopn 21372  𝑡clm 23248  MetSpcms 24342  NrmGrpcngp 24604  NrmModcnlm 24607  NrmVeccnvc 24608  Cauccau 25299  CMetccmet 25300  CMetSpccms 25378  Bancbn 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cc 10500  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-oi 9575  df-card 10004  df-acn 10007  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ico 13409  df-fz 13564  df-fl 13839  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-tset 17325  df-ds 17328  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-topgen 17498  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lvec 21120  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-ntr 23042  df-nei 23120  df-lm 23251  df-fil 23868  df-fm 23960  df-flim 23961  df-flf 23962  df-xms 24344  df-ms 24345  df-nm 24609  df-ngp 24610  df-nlm 24613  df-nvc 24614  df-cfil 25301  df-cau 25302  df-cmet 25303  df-cms 25381  df-bn 25382
This theorem is referenced by:  csschl  25422
  Copyright terms: Public domain W3C validator