MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cssbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cssbn 24742
Description: A complete subspace of a normed vector space with a complete scalar field is a Banach space. Remark: In contrast to ClSubSp, a complete subspace is defined by "a linear subspace in which all Cauchy sequences converge to a point in the subspace". This is closer to the original, but deprecated definition Cβ„‹ (df-ch 30166) of closed subspaces of a Hilbert space. It may be superseded by cmslssbn 24739. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 6-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cssbn.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
cssbn.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
cssbn.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
cssbn (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)

Proof of Theorem cssbn
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
2 simpl2 1193 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp)
3 nvcnlm 24063 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
4 nlmngp 24044 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
6 nvclmod 24065 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 cssbn.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87lsssubg 20421 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
96, 8sylan 581 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
10 cssbn.x . . . . . . . 8 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
1110subgngp 23994 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
125, 9, 11syl2an2r 684 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
13123adant2 1132 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
1413adantr 482 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ NrmGrp)
15 ngpms 23959 . . . 4 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
1614, 15syl 17 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ MetSp)
17 cssbn.d . . . . . . 7 𝐷 = ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ))
18 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘Š)
1910, 18ressds 17292 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
20193ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π‘‹))
2193adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2210subgbas 18933 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
2423sqxpeqd 5666 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ) = ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
2520, 24reseq12d 5939 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ (π‘ˆ Γ— π‘ˆ)) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2617, 25eqtrid 2789 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))))
2726eqcomd 2743 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
2827adantr 482 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = 𝐷)
29 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
30 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) = ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹)))
3129, 30ngpmet 23962 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ NrmGrp β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3213, 31syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3326, 32eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3433adantr 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
35 simpr 486 . . . . 5 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
36 eqid 2737 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
3736iscmet2 24661 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))))
3834, 35, 37sylanbrc 584 . . . 4 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
3928, 38eqeltrd 2838 . . 3 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹)))
4029, 30iscms 24712 . . 3 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜π‘‹) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‹) Γ— (Baseβ€˜π‘‹))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜π‘‹))))
4116, 39, 40sylanbrc 584 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ CMetSp)
42 simpl3 1194 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4310, 7cmslssbn 24739 . 2 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp) ∧ (𝑋 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
441, 2, 41, 42, 43syl22anc 838 1 (((π‘Š ∈ NrmVec ∧ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (Cauβ€˜π·) βŠ† dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))) β†’ 𝑋 ∈ Ban)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  Scalarcsca 17137  distcds 17143  SubGrpcsubg 18923  LModclmod 20325  LSubSpclss 20395  Metcmet 20785  MetOpencmopn 20789  β‡π‘‘clm 22580  MetSpcms 23674  NrmGrpcngp 23936  NrmModcnlm 23939  NrmVeccnvc 23940  Cauccau 24620  CMetccmet 24621  CMetSpccms 24699  Bancbn 24700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cc 10372  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-acn 9879  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-fz 13426  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-rlim 15372  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-tset 17153  df-ds 17156  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-topgen 17326  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lvec 20567  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-ntr 22374  df-nei 22452  df-lm 22583  df-fil 23200  df-fm 23292  df-flim 23293  df-flf 23294  df-xms 23676  df-ms 23677  df-nm 23941  df-ngp 23942  df-nlm 23945  df-nvc 23946  df-cfil 24622  df-cau 24623  df-cmet 24624  df-cms 24702  df-bn 24703
This theorem is referenced by:  csschl  24743
  Copyright terms: Public domain W3C validator