MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem3b 25376
Description: Lemma for minvec 25384. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3b (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3b
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.f . . 3 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2 ssrab2 4077 . . . . . 6 {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌
3 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
5 elpw2g 5350 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
72, 6mpbiri 257 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌)
87fmpttd 7130 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}):ℝ+⟶𝒫 𝑌)
98frnd 6735 . . 3 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ⊆ 𝒫 𝑌)
101, 9eqsstrid 4030 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
11 1rp 13018 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1312, 7dmmptd 6705 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ℝ+)
1411, 13eleqtrrid 2836 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
1514ne0d 4339 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5931 . . . . . 6 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
171eqeq1i 2733 . . . . . 6 (𝐹 = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
1816, 17bitr4i 277 . . . . 5 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
1918necon3bii 2990 . . . 4 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅)
2015, 19sylib 217 . . 3 (𝜑𝐹 ≠ ∅)
21 minvec.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (Base‘𝑈)
22 minvec.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = (-g𝑈)
23 minvec.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (norm‘𝑈)
24 minvec.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
25 minvec.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
26 minvec.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
27 minvec.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
28 minvec.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
29 minvec.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3021, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 29minveclem4c 25373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3130resqcld 14129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
32 ltaddrp 13051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3331, 32sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3431adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
35 rpre 13022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ)
3734, 36readdcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
3837recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℂ)
3938sqsqrtd 15426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
4033, 39breqtrrd 5180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2))
4121, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28minveclem1 25372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4241simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
4342adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ⊆ ℝ)
4441simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ ∅)
46 0re 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
4741simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
48 breq1 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
4948ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5049rspcev 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5146, 47, 50sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
53 infrecl 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5443, 45, 52, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5529, 54eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
56 0red 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
5755sqge0d 14141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑆↑2))
5856, 34, 37, 57, 33lelttrd 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 < ((𝑆↑2) + 𝑟))
5956, 37, 58ltled 11400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
6037, 59resqrtcld 15404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
6147adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
62 infregelb 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6343, 45, 52, 56, 62syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6461, 63mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
6564, 29breqtrrdi 5194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
6637, 59sqrtge0d 15407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6755, 60, 65, 66lt2sqd 14258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2)))
6840, 67mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6955, 60ltnled 11399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆))
7068, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆)
7129breq2i 5160 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
72 infregelb 12236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7343, 45, 52, 60, 72syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7428raleqi 3321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤)
75 fvex 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
7675rgenw 3062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
77 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
78 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7977, 78ralrnmptw 7109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8076, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8174, 80bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8273, 81bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8371, 82bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8470, 83mtbid 323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
85 rexnal 3097 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8684, 85sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8760adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
88 cphngp 25121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
8924, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
90 ngpms 24529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
91 minvec.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
9221, 91msmet 24383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9389, 90, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9526ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
96 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9721, 96lssss 20827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
984, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌𝑋)
9998sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
100 metcl 24258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10194, 95, 99, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10266adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
103 metge0 24271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10494, 95, 99, 103syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10587, 101, 102, 104le2sqd 14259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
10691oveqi 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)
10795, 99ovresd 7594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
108106, 107eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
10989ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
110 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
11123, 21, 22, 110ngpds 24533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
112109, 95, 99, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
113108, 112eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
114113breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
11539adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
116115breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
117105, 114, 1163bitr3d 308 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
118117notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
11937adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
120101resqcld 14129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
121119, 120letrid 11404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∨ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
122121ord 862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
123118, 122sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
124123reximdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
12586, 124mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
126 rabn0 4389 . . . . . . . . 9 ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
127125, 126sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅)
128127necomd 2993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∅ ≠ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
129128neneqd 2942 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
130129nrexdv 3146 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1311eleq2i 2821 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
132 0ex 5311 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
13312elrnmpt 5962 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
135131, 134bitri 274 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
136130, 135sylnibr 328 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
137 df-nel 3044 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
138136, 137sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∅ ∉ 𝐹)
13955adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
140139resqcld 14129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14136adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑟 ∈ ℝ)
142120, 140, 141lesubadd2d 11851 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
143142rabbidva 3437 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
144143mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
145144rneqd 5944 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
1461, 145eqtr4id 2787 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
147146eleq2d 2815 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑢𝐹𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
148 breq2 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑠 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠))
149148rabbidv 3438 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑠 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
150149cbvmptv 5265 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
151150elrnmpt 5962 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
152151elv 3479 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
153147, 152bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑢𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
154146eleq2d 2815 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣𝐹𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
155 breq2 5156 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡))
156155rabbidv 3438 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑡 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
157156cbvmptv 5265 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑡 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
158157elrnmpt 5962 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
159158elv 3479 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
160154, 159bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
161153, 160anbi12d 630 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})))
162 reeanv 3224 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
16393ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
16426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
1653, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝑋)
166165adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌𝑋)
167166sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
168163, 164, 167, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
169168resqcld 14129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
17031ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
171169, 170resubcld 11680 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
172 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ+)
173172rpred 13056 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ)
174 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ+)
175174rpred 13056 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
176 lemin 13211 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
177171, 173, 175, 176syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
178177rabbidva 3437 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
179 ifcl 4577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+) → if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+)
1803adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
181 rabexg 5337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
183 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})
184 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)))
185184rabbidv 3438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)})
186183, 185elrnmpt1s 5963 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
187179, 182, 186syl2an2 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
188146adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
189187, 188eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ 𝐹)
190178, 189eqeltrrd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹)
191 ineq12 4209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
192 inrab 4309 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)}
193191, 192eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
194193eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹))
195190, 194syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) ∈ 𝐹))
196 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑢 ∈ V
197196inex1 5321 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑣) ∈ V
198197pwid 4628 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)
199 inelcm 4468 . . . . . . . . 9 (((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
200198, 199mpan2 689 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
201195, 200syl6 35 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
202201rexlimdvva 3209 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
203162, 202biimtrrid 242 . . . . 5 (𝜑 → ((∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
204161, 203sylbid 239 . . . 4 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
205204ralrimivv 3196 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
20620, 138, 2053jca 1125 . 2 (𝜑 → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
207 isfbas 23753 . . 3 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
2083, 207syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
20910, 206, 208mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wnel 3043  wral 3058  wrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473  cin 3948  wss 3949  c0 4326  ifcif 4532  𝒫 cpw 4606   class class class wbr 5152  cmpt 5235   × cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683  cres 5684  cfv 6553  (class class class)co 7426  infcinf 9472  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  2c2 12305  +crp 13014  cexp 14066  csqrt 15220  Basecbs 17187  s cress 17216  distcds 17249  TopOpenctopn 17410  -gcsg 18899  LSubSpclss 20822  Metcmet 21272  fBascfbas 21274  MetSpcms 24244  normcnm 24505  NrmGrpcngp 24506  ℂPreHilccph 25114  CMetSpccms 25280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-0g 17430  df-topgen 17432  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-xms 24246  df-ms 24247  df-nm 24511  df-ngp 24512  df-nlm 24515  df-cph 25116
This theorem is referenced by:  minveclem3  25377  minveclem4a  25378  minveclem4  25380
  Copyright terms: Public domain W3C validator