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Theorem minveclem3b 23488
Description: Lemma for minvec 23496. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3b (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3b
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.f . . 3 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2 ssrab2 3847 . . . . . 6 {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌
3 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
5 elpw2g 4985 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
72, 6mpbiri 249 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌)
87fmpttd 6575 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}):ℝ+⟶𝒫 𝑌)
98frnd 6230 . . 3 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ⊆ 𝒫 𝑌)
101, 9syl5eqss 3809 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
11 1rp 12032 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1312, 7dmmptd 6202 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ℝ+)
1411, 13syl5eleqr 2851 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
1514ne0d 4086 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5510 . . . . . 6 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
171eqeq1i 2770 . . . . . 6 (𝐹 = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
1816, 17bitr4i 269 . . . . 5 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
1918necon3bii 2989 . . . 4 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅)
2015, 19sylib 209 . . 3 (𝜑𝐹 ≠ ∅)
21 minvec.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (Base‘𝑈)
22 minvec.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = (-g𝑈)
23 minvec.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (norm‘𝑈)
24 minvec.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
25 minvec.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
26 minvec.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
27 minvec.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
28 minvec.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
29 minvec.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3021, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 29minveclem4c 23485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3130resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
32 ltaddrp 12065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3331, 32sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3431adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
35 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
3635adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ)
3734, 36readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
3837recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℂ)
3938sqsqrtd 14465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
4033, 39breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2))
4121, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28minveclem1 23484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4241simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ⊆ ℝ)
4441simp2d 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ ∅)
46 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
4741simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
48 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
4948ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5049rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5146, 47, 50sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
53 infrecl 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5443, 45, 52, 53syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5529, 54syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
56 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
5755sqge0d 13243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑆↑2))
5856, 34, 37, 57, 33lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 < ((𝑆↑2) + 𝑟))
5956, 37, 58ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
6037, 59resqrtcld 14443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
6147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
62 infregelb 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6343, 45, 52, 56, 62syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6461, 63mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
6564, 29syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
6637, 59sqrtge0d 14446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6755, 60, 65, 66lt2sqd 13250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2)))
6840, 67mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6955, 60ltnled 10438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆))
7068, 69mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆)
7129breq2i 4817 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
72 infregelb 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7343, 45, 52, 60, 72syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7428raleqi 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤)
75 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
7675rgenw 3071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
77 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
78 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7977, 78ralrnmpt 6558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8076, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8174, 80bitri 266 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8273, 81syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8371, 82syl5bb 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8470, 83mtbid 315 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
85 rexnal 3141 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8684, 85sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8760adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
88 cphngp 23251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
8924, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
90 ngpms 22683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
91 minvec.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
9221, 91msmet 22541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9389, 90, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9493ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9526ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
96 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9721, 96lssss 19206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
984, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌𝑋)
9998sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
100 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10194, 95, 99, 100syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10266adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
103 metge0 22429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10494, 95, 99, 103syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10587, 101, 102, 104le2sqd 13251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
10691oveqi 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)
10795, 99ovresd 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
108106, 107syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
10989ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
110 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
11123, 21, 22, 110ngpds 22687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
112109, 95, 99, 111syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
113108, 112eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
114113breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
11539adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
116115breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
117105, 114, 1163bitr3d 300 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
118117notbid 309 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
11937adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
120101resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
121119, 120letrid 10443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∨ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
122121ord 890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
123118, 122sylbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
124123reximdva 3163 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
12586, 124mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
126 rabn0 4122 . . . . . . . . 9 ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
127125, 126sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅)
128127necomd 2992 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∅ ≠ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
129128neneqd 2942 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
130129nrexdv 3147 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1311eleq2i 2836 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
132 0ex 4950 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
13312elrnmpt 5541 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
135131, 134bitri 266 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
136130, 135sylnibr 320 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
137 df-nel 3041 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
138136, 137sylibr 225 . . 3 (𝜑 → ∅ ∉ 𝐹)
13955adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
140139resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14136adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑟 ∈ ℝ)
142120, 140, 141lesubadd2d 10880 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
143142rabbidva 3337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
144143mpteq2dva 4903 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
145144rneqd 5521 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
146145, 1syl6reqr 2818 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
147146eleq2d 2830 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑢𝐹𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
148 vex 3353 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
149 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑠 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠))
150149rabbidv 3338 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑠 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
151150cbvmptv 4909 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
152151elrnmpt 5541 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
153148, 152ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
154147, 153syl6bb 278 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑢𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
155146eleq2d 2830 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣𝐹𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
156 vex 3353 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
157 breq2 4813 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡))
158157rabbidv 3338 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑡 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
159158cbvmptv 4909 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑡 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
160159elrnmpt 5541 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
161156, 160ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
162155, 161syl6bb 278 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
163154, 162anbi12d 624 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})))
164 reeanv 3254 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
16593ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
16626ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
1673, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝑋)
168167adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌𝑋)
169168sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
170165, 166, 169, 100syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
171170resqcld 13242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
17231ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
173171, 172resubcld 10712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
174 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ+)
175174rpred 12070 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ)
176 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ+)
177176rpred 12070 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
178 lemin 12225 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
179173, 175, 177, 178syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
180179rabbidva 3337 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
181 ifcl 4287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+) → if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+)
182181adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+)
1833adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
184 rabexg 4972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
185183, 184syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
186 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})
187 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)))
188187rabbidv 3338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)})
189186, 188elrnmpt1s 5542 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
190182, 185, 189syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
191146adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
192190, 191eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ 𝐹)
193180, 192eqeltrrd 2845 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹)
194 ineq12 3971 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
195 inrab 4063 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)}
196194, 195syl6eq 2815 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
197196eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹))
198193, 197syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) ∈ 𝐹))
199148inex1 4960 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑣) ∈ V
200199pwid 4331 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)
201 inelcm 4193 . . . . . . . . 9 (((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
202200, 201mpan2 682 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
203198, 202syl6 35 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
204203rexlimdvva 3185 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
205164, 204syl5bir 234 . . . . 5 (𝜑 → ((∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
206163, 205sylbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
207206ralrimivv 3117 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
20820, 138, 2073jca 1158 . 2 (𝜑 → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
209 isfbas 21912 . . 3 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
2103, 209syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
21110, 208, 210mpbir2and 704 1 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wnel 3040  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  𝒫 cpw 4315   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cfv 6068  (class class class)co 6842  infcinf 8554  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  2c2 11327  +crp 12028  cexp 13067  csqrt 14260  Basecbs 16132  s cress 16133  distcds 16225  TopOpenctopn 16350  -gcsg 17693  LSubSpclss 19201  Metcmet 20005  fBascfbas 20007  MetSpcms 22402  normcnm 22660  NrmGrpcngp 22661  ℂPreHilccph 23244  CMetSpccms 23409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-0g 16370  df-topgen 16372  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-xms 22404  df-ms 22405  df-nm 22666  df-ngp 22667  df-nlm 22670  df-cph 23246
This theorem is referenced by:  minveclem3  23489  minveclem4a  23490  minveclem4  23492
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