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Theorem minveclem3b 24808
Description: Lemma for minvec 24816. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,π‘Ÿ,𝐴   𝐽,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   πœ‘,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝐷,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   βˆ’ (π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)

Proof of Theorem minveclem3b
Dummy variables 𝑀 𝑠 𝑑 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.f . . 3 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
2 ssrab2 4042 . . . . . 6 {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} βŠ† π‘Œ
3 minvec.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
43adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
5 elpw2g 5306 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ ({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} ∈ 𝒫 π‘Œ ↔ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} βŠ† π‘Œ))
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} ∈ 𝒫 π‘Œ ↔ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} βŠ† π‘Œ))
72, 6mpbiri 258 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} ∈ 𝒫 π‘Œ)
87fmpttd 7068 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}):ℝ+βŸΆπ’« π‘Œ)
98frnd 6681 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) βŠ† 𝒫 π‘Œ)
101, 9eqsstrid 3997 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝒫 π‘Œ)
11 1rp 12926 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
1312, 7dmmptd 6651 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = ℝ+)
1411, 13eleqtrrid 2845 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ dom (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
1514ne0d 4300 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) β‰  βˆ…)
16 dm0rn0 5885 . . . . . 6 (dom (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = βˆ… ↔ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = βˆ…)
171eqeq1i 2742 . . . . . 6 (𝐹 = βˆ… ↔ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = βˆ…)
1816, 17bitr4i 278 . . . . 5 (dom (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = βˆ… ↔ 𝐹 = βˆ…)
1918necon3bii 2997 . . . 4 (dom (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) β‰  βˆ… ↔ 𝐹 β‰  βˆ…)
2015, 19sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  βˆ…)
21 minvec.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
22 minvec.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
23 minvec.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
24 minvec.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
25 minvec.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
26 minvec.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
27 minvec.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
28 minvec.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
29 minvec.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3021, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 29minveclem4c 24805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
3130resqcld 14037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
32 ltaddrp 12959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
3331, 32sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
3431adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
35 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3635adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3734, 36readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
3837recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ∈ β„‚)
3938sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ))↑2) = ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
4033, 39breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ))↑2))
4121, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28minveclem1 24804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
4241simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
4441simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
46 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
4741simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
48 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 β†’ (𝑦 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
4948ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
5049rspcev 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀)
5146, 47, 50sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀)
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀)
53 infrecl 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5443, 45, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5529, 54eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
56 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
5755sqge0d 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝑆↑2))
5856, 34, 37, 57, 33lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 < ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
5956, 37, 58ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
6037, 59resqrtcld 15309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
6147adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
62 infregelb 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
6343, 45, 52, 56, 62syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
6461, 63mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
6564, 29breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝑆)
6637, 59sqrtge0d 15312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
6755, 60, 65, 66lt2sqd 14166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ↔ (𝑆↑2) < ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ))↑2)))
6840, 67mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
6955, 60ltnled 11309 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 < (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ↔ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑆))
7068, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑆)
7129breq2i 5118 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑆 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
72 infregelb 12146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 𝑦 ≀ 𝑀) ∧ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ∈ ℝ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀))
7343, 45, 52, 60, 72syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀))
7428raleqi 3314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀)
75 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
7675rgenw 3069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
77 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
78 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
7977, 78ralrnmptw 7049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
8076, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))(βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
8174, 80bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
8273, 81bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
8371, 82bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
8470, 83mtbid 324 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
85 rexnal 3104 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ↔ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
8684, 85sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
8760adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ∈ ℝ)
88 cphngp 24553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
8924, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
90 ngpms 23972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
91 minvec.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
9221, 91msmet 23826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9389, 90, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
9526ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
96 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
9721, 96lssss 20413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
984, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
9998sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
100 metcl 23701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10194, 95, 99, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10266adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
103 metge0 23714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑦))
10494, 95, 99, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (𝐴𝐷𝑦))
10587, 101, 102, 104le2sqd 14167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (𝐴𝐷𝑦) ↔ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ))↑2) ≀ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
10691oveqi 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦)
10795, 99ovresd 7526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝑦) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝑦))
108106, 107eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝑦))
10989ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
110 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜π‘ˆ)
11123, 21, 22, 110ngpds 23976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
112109, 95, 99, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
113108, 112eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
114113breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (𝐴𝐷𝑦) ↔ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
11539adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ))↑2) = ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
116115breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ))↑2) ≀ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ↔ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ≀ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
117105, 114, 1163bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ≀ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
118117notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ↔ Β¬ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ≀ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
11937adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
120101resqcld 14037 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
121119, 120letrid 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ≀ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∨ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
122121ord 863 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ≀ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
123118, 122sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
124123reximdva 3166 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ Β¬ (βˆšβ€˜((𝑆↑2) + π‘Ÿ)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
12586, 124mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
126 rabn0 4350 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ))
127125, 126sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} β‰  βˆ…)
128127necomd 3000 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ… β‰  {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
129128neneqd 2949 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ Β¬ βˆ… = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
130129nrexdv 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ… = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
1311eleq2i 2830 . . . . . 6 (βˆ… ∈ 𝐹 ↔ βˆ… ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
132 0ex 5269 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
13312elrnmpt 5916 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ V β†’ (βˆ… ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ… = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ… ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ… = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
135131, 134bitri 275 . . . . 5 (βˆ… ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ… = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
136130, 135sylnibr 329 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ… ∈ 𝐹)
137 df-nel 3051 . . . 4 (βˆ… βˆ‰ 𝐹 ↔ Β¬ βˆ… ∈ 𝐹)
138136, 137sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ… βˆ‰ 𝐹)
13955adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
140139resqcld 14037 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14136adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
142120, 140, 141lesubadd2d 11761 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)))
143142rabbidva 3417 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
144143mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
145144rneqd 5898 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
1461, 145eqtr4id 2796 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}))
147146eleq2d 2824 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝐹 ↔ 𝑒 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ})))
148 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠))
149148rabbidv 3418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠})
150149cbvmptv 5223 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) = (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠})
151150elrnmpt 5916 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ V β†’ (𝑒 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) ↔ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠}))
152151elv 3454 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) ↔ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠})
153147, 152bitrdi 287 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠}))
154146eleq2d 2824 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐹 ↔ 𝑣 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ})))
155 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑))
156155rabbidv 3418 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑑 β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑})
157156cbvmptv 5223 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) = (𝑑 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑})
158157elrnmpt 5916 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ V β†’ (𝑣 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}))
159158elv 3454 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑})
160154, 159bitrdi 287 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}))
161153, 160anbi12d 632 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝐹) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑})))
162 reeanv 3220 . . . . . 6 (βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}))
16393ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
16426ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1653, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
166165adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
167166sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
168163, 164, 167, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
169168resqcld 14037 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
17031ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
171169, 170resubcld 11590 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
172 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
173172rpred 12964 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
174 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
175174rpred 12964 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
176 lemin 13118 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑)))
177171, 173, 175, 176syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑)))
178177rabbidva 3417 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑)})
179 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑) ∈ ℝ+)
1803adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
181 rabexg 5293 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)} ∈ V)
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)} ∈ V)
183 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ})
184 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑) β†’ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)))
185184rabbidv 3418 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)})
186183, 185elrnmpt1s 5917 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)} ∈ V) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}))
187179, 182, 186syl2an2 685 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}))
188146adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ π‘Ÿ}))
189187, 188eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ if(𝑠 ≀ 𝑑, 𝑠, 𝑑)} ∈ 𝐹)
190178, 189eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑)} ∈ 𝐹)
191 ineq12 4172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) = ({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∩ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}))
192 inrab 4271 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∩ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑)}
193191, 192eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑)})
194193eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 ((𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) β†’ ((𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐹 ↔ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑)} ∈ 𝐹))
195190, 194syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) β†’ (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐹))
196 vex 3452 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ V
197196inex1 5279 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ V
198197pwid 4587 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)
199 inelcm 4429 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐹 ∧ (𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β†’ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…)
200198, 199mpan2 690 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∩ 𝑣) ∈ 𝐹 β†’ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…)
201195, 200syl6 35 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) β†’ ((𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) β†’ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…))
202201rexlimdvva 3206 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) β†’ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…))
203162, 202biimtrrid 242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ 𝑒 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑠} ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) βˆ’ (𝑆↑2)) ≀ 𝑑}) β†’ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…))
204161, 203sylbid 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…))
205204ralrimivv 3196 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐹 βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…)
20620, 138, 2053jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐹 βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…))
207 isfbas 23196 . . 3 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐹 βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐹 βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…))))
2083, 207syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ↔ (𝐹 βŠ† 𝒫 π‘Œ ∧ (𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ… βˆ‰ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐹 βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑒 ∩ 𝑣)) β‰  βˆ…))))
20910, 206, 208mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ‰ wnel 3050  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  β„+crp 12922  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  distcds 17149  TopOpenctopn 17310  -gcsg 18757  LSubSpclss 20408  Metcmet 20798  fBascfbas 20800  MetSpcms 23687  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949  β„‚PreHilccph 24546  CMetSpccms 24712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nlm 23958  df-cph 24548
This theorem is referenced by:  minveclem3  24809  minveclem4a  24810  minveclem4  24812
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