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Theorem minveclem3b 25463
Description: Lemma for minvec 25471. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3b (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3b
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.f . . 3 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2 ssrab2 4079 . . . . . 6 {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌
3 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
5 elpw2g 5332 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
72, 6mpbiri 258 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌)
87fmpttd 7134 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}):ℝ+⟶𝒫 𝑌)
98frnd 6743 . . 3 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ⊆ 𝒫 𝑌)
101, 9eqsstrid 4021 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
11 1rp 13039 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1312, 7dmmptd 6712 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ℝ+)
1411, 13eleqtrrid 2847 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
1514ne0d 4341 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5934 . . . . . 6 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
171eqeq1i 2741 . . . . . 6 (𝐹 = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
1816, 17bitr4i 278 . . . . 5 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
1918necon3bii 2992 . . . 4 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅)
2015, 19sylib 218 . . 3 (𝜑𝐹 ≠ ∅)
21 minvec.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (Base‘𝑈)
22 minvec.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = (-g𝑈)
23 minvec.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (norm‘𝑈)
24 minvec.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
25 minvec.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
26 minvec.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
27 minvec.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
28 minvec.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
29 minvec.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3021, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 29minveclem4c 25460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3130resqcld 14166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
32 ltaddrp 13073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3431adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
35 rpre 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ)
3734, 36readdcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
3837recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℂ)
3938sqsqrtd 15479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
4033, 39breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2))
4121, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28minveclem1 25459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4241simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ⊆ ℝ)
4441simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ ∅)
46 0re 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
4741simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
48 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
4948ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5049rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5146, 47, 50sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
53 infrecl 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5443, 45, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5529, 54eqeltrid 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
56 0red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
5755sqge0d 14178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑆↑2))
5856, 34, 37, 57, 33lelttrd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 < ((𝑆↑2) + 𝑟))
5956, 37, 58ltled 11410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
6037, 59resqrtcld 15457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
6147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
62 infregelb 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6343, 45, 52, 56, 62syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6461, 63mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
6564, 29breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
6637, 59sqrtge0d 15460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6755, 60, 65, 66lt2sqd 14296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2)))
6840, 67mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6955, 60ltnled 11409 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆))
7068, 69mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆)
7129breq2i 5150 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
72 infregelb 12253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7343, 45, 52, 60, 72syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7428raleqi 3323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤)
75 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
7675rgenw 3064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
78 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7977, 78ralrnmptw 7113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8076, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8174, 80bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8273, 81bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8371, 82bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8470, 83mtbid 324 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
85 rexnal 3099 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8684, 85sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8760adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
88 cphngp 25208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
8924, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
90 ngpms 24614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
91 minvec.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
9221, 91msmet 24468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9389, 90, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9493ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9526ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
96 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9721, 96lssss 20935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
984, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌𝑋)
9998sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
100 metcl 24343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10194, 95, 99, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10266adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
103 metge0 24356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10494, 95, 99, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10587, 101, 102, 104le2sqd 14297 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
10691oveqi 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)
10795, 99ovresd 7601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
108106, 107eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
10989ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
110 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
11123, 21, 22, 110ngpds 24618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
112109, 95, 99, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
113108, 112eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
114113breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
11539adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
116115breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
117105, 114, 1163bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
118117notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
11937adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
120101resqcld 14166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
121119, 120letrid 11414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∨ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
122121ord 864 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
123118, 122sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
124123reximdva 3167 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
12586, 124mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
126 rabn0 4388 . . . . . . . . 9 ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
127125, 126sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅)
128127necomd 2995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∅ ≠ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
129128neneqd 2944 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
130129nrexdv 3148 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1311eleq2i 2832 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
132 0ex 5306 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
13312elrnmpt 5968 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
135131, 134bitri 275 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
136130, 135sylnibr 329 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
137 df-nel 3046 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
138136, 137sylibr 234 . . 3 (𝜑 → ∅ ∉ 𝐹)
13955adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
140139resqcld 14166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14136adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑟 ∈ ℝ)
142120, 140, 141lesubadd2d 11863 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
143142rabbidva 3442 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
144143mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
145144rneqd 5948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
1461, 145eqtr4id 2795 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
147146eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑢𝐹𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
148 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑠 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠))
149148rabbidv 3443 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑠 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
150149cbvmptv 5254 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
151150elrnmpt 5968 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
152151elv 3484 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
153147, 152bitrdi 287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑢𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
154146eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣𝐹𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
155 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡))
156155rabbidv 3443 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑡 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
157156cbvmptv 5254 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑡 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
158157elrnmpt 5968 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
159158elv 3484 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
160154, 159bitrdi 287 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
161153, 160anbi12d 632 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})))
162 reeanv 3228 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
16393ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
16426ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
1653, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝑋)
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌𝑋)
167166sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
168163, 164, 167, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
169168resqcld 14166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
17031ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
171169, 170resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
172 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ+)
173172rpred 13078 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ)
174 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ+)
175174rpred 13078 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
176 lemin 13235 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
177171, 173, 175, 176syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
178177rabbidva 3442 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
179 ifcl 4570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+) → if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+)
1803adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
181 rabexg 5336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
183 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})
184 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)))
185184rabbidv 3443 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)})
186183, 185elrnmpt1s 5969 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
187179, 182, 186syl2an2 686 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
188146adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
189187, 188eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ 𝐹)
190178, 189eqeltrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹)
191 ineq12 4214 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
192 inrab 4315 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)}
193191, 192eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
194193eleq1d 2825 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹))
195190, 194syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) ∈ 𝐹))
196 vex 3483 . . . . . . . . . . 11 𝑢 ∈ V
197196inex1 5316 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑣) ∈ V
198197pwid 4621 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)
199 inelcm 4464 . . . . . . . . 9 (((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
200198, 199mpan2 691 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
201195, 200syl6 35 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
202201rexlimdvva 3212 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
203162, 202biimtrrid 243 . . . . 5 (𝜑 → ((∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
204161, 203sylbid 240 . . . 4 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
205204ralrimivv 3199 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
20620, 138, 2053jca 1128 . 2 (𝜑 → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
207 isfbas 23838 . . 3 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
2083, 207syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
20910, 206, 208mpbir2and 713 1 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wnel 3045  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142  cmpt 5224   × cxp 5682  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cfv 6560  (class class class)co 7432  infcinf 9482  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  2c2 12322  +crp 13035  cexp 14103  csqrt 15273  Basecbs 17248  s cress 17275  distcds 17307  TopOpenctopn 17467  -gcsg 18954  LSubSpclss 20930  Metcmet 21351  fBascfbas 21353  MetSpcms 24329  normcnm 24590  NrmGrpcngp 24591  ℂPreHilccph 25201  CMetSpccms 25367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-xms 24331  df-ms 24332  df-nm 24596  df-ngp 24597  df-nlm 24600  df-cph 25203
This theorem is referenced by:  minveclem3  25464  minveclem4a  25465  minveclem4  25467
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