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Theorem minveclem3b 24792
Description: Lemma for minvec 24800. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3b (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3b
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.f . . 3 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2 ssrab2 4037 . . . . . 6 {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌
3 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
5 elpw2g 5301 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ⊆ 𝑌))
72, 6mpbiri 257 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ∈ 𝒫 𝑌)
87fmpttd 7063 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}):ℝ+⟶𝒫 𝑌)
98frnd 6676 . . 3 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ⊆ 𝒫 𝑌)
101, 9eqsstrid 3992 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
11 1rp 12919 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
12 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1312, 7dmmptd 6646 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ℝ+)
1411, 13eleqtrrid 2845 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
1514ne0d 4295 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅)
16 dm0rn0 5880 . . . . . 6 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
171eqeq1i 2741 . . . . . 6 (𝐹 = ∅ ↔ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅)
1816, 17bitr4i 277 . . . . 5 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
1918necon3bii 2996 . . . 4 (dom (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ≠ ∅ ↔ 𝐹 ≠ ∅)
2015, 19sylib 217 . . 3 (𝜑𝐹 ≠ ∅)
21 minvec.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (Base‘𝑈)
22 minvec.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = (-g𝑈)
23 minvec.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (norm‘𝑈)
24 minvec.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
25 minvec.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
26 minvec.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
27 minvec.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
28 minvec.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
29 minvec.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
3021, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28, 29minveclem4c 24789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3130resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
32 ltaddrp 12952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3331, 32sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + 𝑟))
3431adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
35 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ)
3734, 36readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
3837recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℂ)
3938sqsqrtd 15324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
4033, 39breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2))
4121, 22, 23, 24, 3, 25, 26, 27, 28minveclem1 24788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4241simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ⊆ ℝ)
4441simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ ∅)
46 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
4741simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
48 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
4948ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑦𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5049rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5146, 47, 50sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤)
53 infrecl 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5443, 45, 52, 53syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5529, 54eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℝ)
56 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
5755sqge0d 14042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑆↑2))
5856, 34, 37, 57, 33lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 < ((𝑆↑2) + 𝑟))
5956, 37, 58ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
6037, 59resqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
6147adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
62 infregelb 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6343, 45, 52, 56, 62syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6461, 63mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
6564, 29breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑆)
6637, 59sqrtge0d 15305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6755, 60, 65, 66lt2sqd 14159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2)))
6840, 67mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
6955, 60ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆))
7068, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆)
7129breq2i 5113 . . . . . . . . . . . . 13 ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
72 infregelb 12139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑦𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7343, 45, 52, 60, 72syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤))
7428raleqi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤)
75 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
7675rgenw 3068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
78 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7977, 78ralrnmptw 7044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8076, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8174, 80bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8273, 81bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8371, 82bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
8470, 83mtbid 323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
85 rexnal 3103 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8684, 85sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8760adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ∈ ℝ)
88 cphngp 24537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
8924, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
90 ngpms 23956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
91 minvec.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
9221, 91msmet 23810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9389, 90, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9493ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9526ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
96 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
9721, 96lssss 20397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
984, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑌𝑋)
9998sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
100 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10194, 95, 99, 100syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
10266adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)))
103 metge0 23698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10494, 95, 99, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
10587, 101, 102, 104le2sqd 14160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
10691oveqi 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦)
10795, 99ovresd 7521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
108106, 107eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑦))
10989ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
110 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
11123, 21, 22, 110ngpds 23960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
112109, 95, 99, 111syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
113108, 112eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
114113breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝐴𝐷𝑦) ↔ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
11539adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) = ((𝑆↑2) + 𝑟))
116115breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + 𝑟))↑2) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
117105, 114, 1163bitr3d 308 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
118117notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2)))
11937adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑟) ∈ ℝ)
120101resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
121119, 120letrid 11307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∨ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
122121ord 862 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + 𝑟) ≤ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
123118, 122sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
124123reximdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + 𝑟)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
12586, 124mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
126 rabn0 4345 . . . . . . . . 9 ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟))
127125, 126sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} ≠ ∅)
128127necomd 2999 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∅ ≠ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
129128neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ¬ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
130129nrexdv 3146 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
1311eleq2i 2829 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
132 0ex 5264 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
13312elrnmpt 5911 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
135131, 134bitri 274 . . . . 5 (∅ ∈ 𝐹 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∅ = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
136130, 135sylnibr 328 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
137 df-nel 3050 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
138136, 137sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∅ ∉ 𝐹)
13955adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
140139resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14136adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑟 ∈ ℝ)
142120, 140, 141lesubadd2d 11754 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)))
143142rabbidva 3414 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
144143mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
145144rneqd 5893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
1461, 145eqtr4id 2795 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
147146eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑢𝐹𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
148 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑠 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠))
149148rabbidv 3415 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑠 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
150149cbvmptv 5218 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑠 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
151150elrnmpt 5911 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
152151elv 3451 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠})
153147, 152bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑢𝐹 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠}))
154146eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑣𝐹𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})))
155 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑡 → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡))
156155rabbidv 3415 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑡 → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
157156cbvmptv 5218 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑡 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
158157elrnmpt 5911 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ V → (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
159158elv 3451 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})
160154, 159bitrdi 286 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣𝐹 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
161153, 160anbi12d 631 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡})))
162 reeanv 3217 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) ↔ (∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
16393ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
16426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
1653, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌𝑋)
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌𝑋)
167166sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
168163, 164, 167, 100syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
169168resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ∈ ℝ)
17031ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
171169, 170resubcld 11583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
172 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ+)
173172rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑠 ∈ ℝ)
174 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ+)
175174rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
176 lemin 13111 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
177171, 173, 175, 176syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ↔ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)))
178177rabbidva 3414 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
179 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+) → if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+)
1803adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
181 rabexg 5288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
182180, 181syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V)
183 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟})
184 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟 ↔ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)))
185184rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟} = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)})
186183, 185elrnmpt1s 5912 . . . . . . . . . . . 12 ((if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
187179, 182, 186syl2an2 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
188146adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑟}))
189187, 188eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ if(𝑠𝑡, 𝑠, 𝑡)} ∈ 𝐹)
190178, 189eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹)
191 ineq12 4167 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}))
192 inrab 4266 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∩ {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)}
193191, 192eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) = {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)})
194193eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ↔ {𝑦𝑌 ∣ ((((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠 ∧ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡)} ∈ 𝐹))
195190, 194syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝑢𝑣) ∈ 𝐹))
196 vex 3449 . . . . . . . . . . 11 𝑢 ∈ V
197196inex1 5274 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑣) ∈ V
198197pwid 4582 . . . . . . . . 9 (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)
199 inelcm 4424 . . . . . . . . 9 (((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 ∧ (𝑢𝑣) ∈ 𝒫 (𝑢𝑣)) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
200198, 199mpan2 689 . . . . . . . 8 ((𝑢𝑣) ∈ 𝐹 → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
201195, 200syl6 35 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+)) → ((𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
202201rexlimdvva 3205 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+ (𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
203162, 202biimtrrid 242 . . . . 5 (𝜑 → ((∃𝑠 ∈ ℝ+ 𝑢 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑠} ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ+ 𝑣 = {𝑦𝑌 ∣ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) − (𝑆↑2)) ≤ 𝑡}) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
204161, 203sylbid 239 . . . 4 (𝜑 → ((𝑢𝐹𝑣𝐹) → (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
205204ralrimivv 3195 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅)
20620, 138, 2053jca 1128 . 2 (𝜑 → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))
207 isfbas 23180 . . 3 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
2083, 207syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑢𝐹𝑣𝐹 (𝐹 ∩ 𝒫 (𝑢𝑣)) ≠ ∅))))
20910, 206, 208mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wnel 3049  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  2c2 12208  +crp 12915  cexp 13967  csqrt 15118  Basecbs 17083  s cress 17112  distcds 17142  TopOpenctopn 17303  -gcsg 18750  LSubSpclss 20392  Metcmet 20782  fBascfbas 20784  MetSpcms 23671  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  ℂPreHilccph 24530  CMetSpccms 24696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-cph 24532
This theorem is referenced by:  minveclem3  24793  minveclem4a  24794  minveclem4  24796
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