Theorem ngpgrp 24973

Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpgrp	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ngpgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24970	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
5	4	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∘ ccom 5662  ‘cfv 6566  distcds 17481  Grpcgrp 19194  -_gcsg 19196  MetSpcms 24692  normcnm 24950  NrmGrpcngp 24951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-co 5667  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ngp 24957

This theorem is used by:  ngpds  24978  ngpds2  24980  ngpds3  24982  ngprcan  24984  isngp4  24986  ngpinvds  24987  ngpsubcan  24988  nmf  24989  nmge0  24991  nmeq0  24992  nminv  24995  nmmtri  24996  nmsub  24997  nmrtri  24998  nm2dif  24999  nmtri  25000  nmtri2  25001  ngpi  25002  nm0  25003  ngptgp  25010  tngngp2  25026  tnggrpr  25029  nrmtngnrm  25032  nlmdsdi  25055  nlmdsdir  25056  nrginvrcnlem  25065  ngpocelbl  25078  nmo0  25109  nmotri  25113  0nghm  25115  nmoid  25116  idnghm  25117  nmods  25118  nmcn  25219  nmoleub2lem2  25492  nmhmcn  25496  cphpyth  25592  cphipval2  25617  4cphipval2  25618  cphipval  25619  ipcnlem2  25620  nglmle  25678  qqhcn  34734