Theorem ngpgrp 24918

Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpgrp	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ngpgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24915	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
5	4	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  distcds 17437  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  MetSpcms 24637  normcnm 24895  NrmGrpcngp 24896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-co 5660  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ngp 24902

This theorem is used by:  ngpds  24923  ngpds2  24925  ngpds3  24927  ngprcan  24929  isngp4  24931  ngpinvds  24932  ngpsubcan  24933  nmf  24934  nmge0  24936  nmeq0  24937  nminv  24940  nmmtri  24941  nmsub  24942  nmrtri  24943  nm2dif  24944  nmtri  24945  nmtri2  24946  ngpi  24947  nm0  24948  ngptgp  24955  tngngp2  24971  tnggrpr  24974  nrmtngnrm  24977  nlmdsdi  25000  nlmdsdir  25001  nrginvrcnlem  25010  ngpocelbl  25023  nmo0  25054  nmotri  25058  0nghm  25060  nmoid  25061  idnghm  25062  nmods  25063  nmcn  25164  nmoleub2lem2  25437  nmhmcn  25441  cphpyth  25537  cphipval2  25562  4cphipval2  25563  cphipval  25564  ipcnlem2  25565  nglmle  25623  qqhcn  34623