Theorem ngpgrp 24807

Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpgrp	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ngpgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24804	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
5	4	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  distcds 17341  Grpcgrp 19044  -_gcsg 19046  MetSpcms 24526  normcnm 24784  NrmGrpcngp 24785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-co 5672  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ngp 24791

This theorem is used by:  ngpds  24812  ngpds2  24814  ngpds3  24816  ngprcan  24818  isngp4  24820  ngpinvds  24821  ngpsubcan  24822  nmf  24823  nmge0  24825  nmeq0  24826  nminv  24829  nmmtri  24830  nmsub  24831  nmrtri  24832  nm2dif  24833  nmtri  24834  nmtri2  24835  ngpi  24836  nm0  24837  ngptgp  24844  tngngp2  24860  tnggrpr  24863  nrmtngnrm  24866  nlmdsdi  24889  nlmdsdir  24890  nrginvrcnlem  24899  ngpocelbl  24912  nmo0  24943  nmotri  24947  0nghm  24949  nmoid  24950  idnghm  24951  nmods  24952  nmcn  25053  nmoleub2lem2  25326  nmhmcn  25330  cphpyth  25426  cphipval2  25451  4cphipval2  25452  cphipval  25453  ipcnlem2  25454  nglmle  25512  qqhcn  34445