Theorem ngpgrp 24727

Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpgrp	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ngpgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24724	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
5	4	simp1bi 1161	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   ∘ ccom 5668  ‘cfv 6539  distcds 17321  Grpcgrp 19002  -_gcsg 19004  MetSpcms 24446  normcnm 24704  NrmGrpcngp 24705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-co 5673  df-iota 6495  df-fv 6547  df-ngp 24711

This theorem is referenced by:  ngpds  24732  ngpds2  24734  ngpds3  24736  ngprcan  24738  isngp4  24740  ngpinvds  24741  ngpsubcan  24742  nmf  24743  nmge0  24745  nmeq0  24746  nminv  24749  nmmtri  24750  nmsub  24751  nmrtri  24752  nm2dif  24753  nmtri  24754  nmtri2  24755  ngpi  24756  nm0  24757  ngptgp  24764  tngngp2  24780  tnggrpr  24783  nrmtngnrm  24786  nlmdsdi  24809  nlmdsdir  24810  nrginvrcnlem  24819  ngpocelbl  24832  nmo0  24863  nmotri  24867  0nghm  24869  nmoid  24870  idnghm  24871  nmods  24872  nmcn  24973  nmoleub2lem2  25246  nmhmcn  25250  cphpyth  25346  cphipval2  25371  4cphipval2  25372  cphipval  25373  ipcnlem2  25374  nglmle  25432  qqhcn  34328