Theorem ngpgrp 24724

Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpgrp	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ngpgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24721	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
5	4	simp1bi 1161	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  distcds 17318  Grpcgrp 18999  -_gcsg 19001  MetSpcms 24443  normcnm 24701  NrmGrpcngp 24702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-co 5671  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ngp 24708

This theorem is referenced by:  ngpds  24729  ngpds2  24731  ngpds3  24733  ngprcan  24735  isngp4  24737  ngpinvds  24738  ngpsubcan  24739  nmf  24740  nmge0  24742  nmeq0  24743  nminv  24746  nmmtri  24747  nmsub  24748  nmrtri  24749  nm2dif  24750  nmtri  24751  nmtri2  24752  ngpi  24753  nm0  24754  ngptgp  24761  tngngp2  24777  tnggrpr  24780  nrmtngnrm  24783  nlmdsdi  24806  nlmdsdir  24807  nrginvrcnlem  24816  ngpocelbl  24829  nmo0  24860  nmotri  24864  0nghm  24866  nmoid  24867  idnghm  24868  nmods  24869  nmcn  24970  nmoleub2lem2  25243  nmhmcn  25247  cphpyth  25343  cphipval2  25368  4cphipval2  25369  cphipval  25370  ipcnlem2  25371  nglmle  25429  qqhcn  34325