Theorem ngpgrp 23205

Description: A normed group is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ngpgrp	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem ngpgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 23202	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
5	4	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   ∘ ccom 5523  ‘cfv 6324  distcds 16566  Grpcgrp 18095  -_gcsg 18097  MetSpcms 22925  normcnm 23183  NrmGrpcngp 23184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-co 5528  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ngp 23190

This theorem is referenced by:  ngpds  23210  ngpds2  23212  ngpds3  23214  ngprcan  23216  isngp4  23218  ngpinvds  23219  ngpsubcan  23220  nmf  23221  nmge0  23223  nmeq0  23224  nminv  23227  nmmtri  23228  nmsub  23229  nmrtri  23230  nm2dif  23231  nmtri  23232  nmtri2  23233  ngpi  23234  nm0  23235  ngptgp  23242  tngngp2  23258  tnggrpr  23261  nrmtngnrm  23264  nlmdsdi  23287  nlmdsdir  23288  nrginvrcnlem  23297  ngpocelbl  23310  nmo0  23341  nmotri  23345  0nghm  23347  nmoid  23348  idnghm  23349  nmods  23350  nmcn  23449  nmoleub2lem2  23721  nmhmcn  23725  cphipval2  23845  4cphipval2  23846  cphipval  23847  ipcnlem2  23848  nglmle  23906  qqhcn  31342