MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscnlem1 23440
Description: Lemma for nlmvscn 23441. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
nlmvscn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (𝜑𝐵𝐾)
nlmvscn.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
2 nlmvscn.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12527 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
65nlmngp2 23434 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ NrmGrp)
8 nlmvscn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐾)
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (norm‘𝐹)
119, 10nmcl 23370 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
127, 8, 11syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
139, 10nmge0 23371 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → 0 ≤ (𝐴𝐵))
147, 8, 13syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐵))
1512, 14ge0p1rpd 12545 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
163, 15rpdivcld 12532 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
171, 16eqeltrid 2837 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
18 nlmvscn.u . . . 4 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
19 nlmngp 23431 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (norm‘𝑊)
2422, 23nmcl 23370 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
2520, 21, 24syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
2617rpred 12515 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 10749 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28 0red 10723 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2922, 23nmge0 23371 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝑋))
3020, 21, 29syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑋))
3125, 17ltaddrpd 12548 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
3228, 25, 27, 30, 31lelttrd 10877 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
3327, 32elrpd 12512 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
343, 33rpdivcld 12532 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3518, 34eqeltrid 2837 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3617, 35ifcld 4461 . 2 (𝜑 → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37 nlmvscn.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
38 nlmvscn.e . . . . 5 𝐸 = (dist‘𝐹)
39 nlmvscn.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
404adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
412adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
428adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵𝐾)
4321adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋𝑉)
44 simprll 779 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥𝐾)
45 simprlr 780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦𝑉)
467adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47 ngpms 23354 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
499, 38mscl 23215 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝐾𝑥𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
5048, 42, 44, 49syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
5136adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
5251rpred 12515 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
5335rpred 12515 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5453adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55 simprrl 781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
5626adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57 min2 12667 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5856, 54, 57syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5950, 52, 54, 55, 58ltletrd 10879 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60 ngpms 23354 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
6120, 60syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
6261adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
6322, 37mscl 23215 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑦𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6462, 43, 45, 63syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65 simprrr 782 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
66 min1 12666 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6756, 54, 66syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6864, 52, 56, 65, 67ltletrd 10879 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
695, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68nlmvscnlem2 23439 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
7069expr 460 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
7170ralrimivva 3103 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72 breq2 5035 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73 breq2 5035 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
7472, 73anbi12d 634 . . . . 5 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))))
7574imbi1d 345 . . . 4 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76752ralbidv 3111 . . 3 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
7776rspcev 3527 . 2 ((if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
7836, 71, 77syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  ifcif 4415   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7171  cr 10615  0cc0 10616  1c1 10617   + caddc 10619   < clt 10754  cle 10755   / cdiv 11376  2c2 11772  +crp 12473  Basecbs 16587  Scalarcsca 16672   ·𝑠 cvsca 16673  distcds 16678  MetSpcms 23072  normcnm 23330  NrmGrpcngp 23331  NrmModcnlm 23334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-sup 8980  df-inf 8981  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-xneg 12591  df-xadd 12592  df-xmul 12593  df-fz 12983  df-seq 13462  df-exp 13523  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-0g 16819  df-topgen 16821  df-xrs 16879  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-sbg 18225  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-lmod 19756  df-psmet 20210  df-xmet 20211  df-met 20212  df-bl 20213  df-mopn 20214  df-top 21646  df-topon 21663  df-topsp 21685  df-bases 21698  df-xms 23074  df-ms 23075  df-nm 23336  df-ngp 23337  df-nrg 23339  df-nlm 23340
This theorem is referenced by:  nlmvscn  23441
  Copyright terms: Public domain W3C validator