Theorem nlmvscnlem1 24854

Description: Lemma for nlmvscn 24855. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑟)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑟)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
2		nlmvscn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 13078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		nlmvscn.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
5		nlmvscn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6	5	nlmngp2 24848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
7	4, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
8		nlmvscn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		nlmvscn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
11	9, 10	nmcl 24784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
12	7, 8, 11	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
13	9, 10	nmge0 24785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
14	7, 8, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
15	12, 14	ge0p1rpd 13096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
16	3, 15	rpdivcld 13083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
17	1, 16	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		nlmvscn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
19		nlmngp 24845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
20	4, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21		nlmvscn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		nlmvscn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		nlmvscn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
24	22, 23	nmcl 24784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
25	20, 21, 24	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
26	17	rpred 13066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	25, 26	readdcld 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28		0red 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29	22, 23	nmge0 24785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
30	20, 21, 29	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
31	25, 17	ltaddrpd 13099	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
32	28, 25, 27, 30, 31	lelttrd 11374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
33	27, 32	elrpd 13063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
34	3, 33	rpdivcld 13083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
35	18, 34	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
36	17, 35	ifcld 4533	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37		nlmvscn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
38		nlmvscn.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
39		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
40	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
41	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
42	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
43	21	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
44		simprll 790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝐾)
45		simprlr 791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
46	7	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47		ngpms 24768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
49	9, 38	mscl 24629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
50	48, 42, 44, 49	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
51	36	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 13066	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
53	35	rpred 13066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55		simprrl 792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
56	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57		min2 13222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
58	56, 54, 57	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
59	50, 52, 54, 55, 58	ltletrd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60		ngpms 24768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
61	20, 60	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
62	61	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
63	22, 37	mscl 24629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
64	62, 43, 45, 63	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65		simprrr 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
66		min1 13221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
67	56, 54, 66	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
68	64, 52, 56, 65, 67	ltletrd 11376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
69	5, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68	nlmvscnlem2 24853	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
70	69	expr 461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
71	70	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
74	72, 73	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
75	74	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76	75	2ralbidv 3228	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
77	76	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
78	36, 71, 77	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  ifcif 4486   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  2c2 12301  ℝ⁺crp 13022  Basecbs 17275  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  distcds 17325  MetSpcms 24486  normcnm 24744  NrmGrpcngp 24745  NrmModcnlm 24748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-fz 13542  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-0g 17500  df-topgen 17502  df-xrs 17562  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-lmod 20994  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-xms 24488  df-ms 24489  df-nm 24750  df-ngp 24751  df-nrg 24753  df-nlm 24754

This theorem is used by:  nlmvscn  24855