Theorem nlmvscnlem1 24667

Description: Lemma for nlmvscn 24668. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
2		nlmvscn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 12995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		nlmvscn.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
5		nlmvscn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6	5	nlmngp2 24661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
8		nlmvscn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		nlmvscn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
11	9, 10	nmcl 24597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
12	7, 8, 11	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
13	9, 10	nmge0 24598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
14	7, 8, 13	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
15	12, 14	ge0p1rpd 13013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
16	3, 15	rpdivcld 13000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
17	1, 16	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		nlmvscn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
19		nlmngp 24658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
20	4, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21		nlmvscn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		nlmvscn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		nlmvscn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
24	22, 23	nmcl 24597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
25	20, 21, 24	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
26	17	rpred 12983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	25, 26	readdcld 11171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28		0red 11144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29	22, 23	nmge0 24598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
30	20, 21, 29	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
31	25, 17	ltaddrpd 13016	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
32	28, 25, 27, 30, 31	lelttrd 11301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
33	27, 32	elrpd 12980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
34	3, 33	rpdivcld 13000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
35	18, 34	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
36	17, 35	ifcld 4514	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37		nlmvscn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
38		nlmvscn.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
39		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
40	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
41	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
42	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
43	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
44		simprll 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝐾)
45		simprlr 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
46	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47		ngpms 24581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
49	9, 38	mscl 24442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
50	48, 42, 44, 49	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
51	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 12983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
53	35	rpred 12983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55		simprrl 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
56	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57		min2 13139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
58	56, 54, 57	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
59	50, 52, 54, 55, 58	ltletrd 11303	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60		ngpms 24581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
61	20, 60	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
62	61	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
63	22, 37	mscl 24442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
64	62, 43, 45, 63	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65		simprrr 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
66		min1 13138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
67	56, 54, 66	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
68	64, 52, 56, 65, 67	ltletrd 11303	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
69	5, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68	nlmvscnlem2 24666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
70	69	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
71	70	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
74	72, 73	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
75	74	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76	75	2ralbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
77	76	rspcev 3565	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
78	36, 71, 77	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  ℝcr 11034  0cc0 11035  1c1 11036   + caddc 11038   < clt 11176   ≤ cle 11177   / cdiv 11804  2c2 12233  ℝ⁺crp 12939  Basecbs 17176  Scalarcsca 17220   ·_𝑠 cvsca 17221  distcds 17226  MetSpcms 24299  normcnm 24557  NrmGrpcngp 24558  NrmModcnlm 24561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-fz 13459  df-seq 13961  df-exp 14021  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-0g 17401  df-topgen 17403  df-xrs 17463  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-lmod 20854  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-top 22875  df-topon 22892  df-topsp 22914  df-bases 22927  df-xms 24301  df-ms 24302  df-nm 24563  df-ngp 24564  df-nrg 24566  df-nlm 24567

This theorem is referenced by:  nlmvscn  24668