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Theorem nlmvscnlem1 24616
Description: Lemma for nlmvscn 24617. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmvscn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmvscn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmvscn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmvscn.e 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
nlmvscn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nlmvscn.a 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
nlmvscn.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
nlmvscn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
nlmvscn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ÿ   𝐷,π‘Ÿ   𝐸,π‘Ÿ   π‘₯,𝑦,πœ‘   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝑇   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐾,π‘Ÿ,𝑦   𝑅,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   Β· ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝑉(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
2 nlmvscn.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13055 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
65nlmngp2 24610 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
8 nlmvscn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
119, 10nmcl 24538 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
127, 8, 11syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
139, 10nmge0 24539 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
147, 8, 13syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
1512, 14ge0p1rpd 13073 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π΅) + 1) ∈ ℝ+)
163, 15rpdivcld 13060 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1)) ∈ ℝ+)
171, 16eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
18 nlmvscn.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
19 nlmngp 24607 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
2422, 23nmcl 24538 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2520, 21, 24syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2617rpred 13043 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 11268 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ)
28 0red 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2922, 23nmge0 24539 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
3020, 21, 29syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
3125, 17ltaddrpd 13076 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
3228, 25, 27, 30, 31lelttrd 11397 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
3327, 32elrpd 13040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ+)
343, 33rpdivcld 13060 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3518, 34eqeltrid 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
3617, 35ifcld 4571 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
37 nlmvscn.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
38 nlmvscn.e . . . . 5 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
39 nlmvscn.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
404adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
412adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
428adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
4321adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
44 simprll 777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
45 simprlr 778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
467adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
47 ngpms 24522 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ NrmGrp β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
499, 38mscl 24380 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) ∈ ℝ)
5048, 42, 44, 49syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) ∈ ℝ)
5136adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5251rpred 13043 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ)
5335rpred 13043 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5453adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
55 simprrl 779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
5626adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
57 min2 13196 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5856, 54, 57syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5950, 52, 54, 55, 58ltletrd 11399 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) < π‘ˆ)
60 ngpms 24522 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6120, 60syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6261adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6322, 37mscl 24380 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6462, 43, 45, 63syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65 simprrr 780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
66 min1 13195 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6756, 54, 66syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6864, 52, 56, 65, 67ltletrd 11399 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
695, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68nlmvscnlem2 24615 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)
7069expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
7170ralrimivva 3191 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
72 breq2 5148 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ↔ (𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
73 breq2 5148 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
7472, 73anbi12d 630 . . . . 5 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) ↔ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))))
7574imbi1d 340 . . . 4 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)))
76752ralbidv 3209 . . 3 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)))
7776rspcev 3603 . 2 ((if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
7836, 71, 77syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  ifcif 4525   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273   ≀ cle 11274   / cdiv 11896  2c2 12292  β„+crp 13001  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  distcds 17236  MetSpcms 24237  normcnm 24498  NrmGrpcngp 24499  NrmModcnlm 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-fz 13512  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17417  df-topgen 17419  df-xrs 17478  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508
This theorem is referenced by:  nlmvscn  24617
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