Theorem nlmvscnlem1 24581

Description: Lemma for nlmvscn 24582. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
2		nlmvscn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 13014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		nlmvscn.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
5		nlmvscn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6	5	nlmngp2 24575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
7	4, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
8		nlmvscn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		nlmvscn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
11	9, 10	nmcl 24511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
13	9, 10	nmge0 24512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
14	7, 8, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
15	12, 14	ge0p1rpd 13032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
16	3, 15	rpdivcld 13019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
17	1, 16	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		nlmvscn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
19		nlmngp 24572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
20	4, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21		nlmvscn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		nlmvscn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		nlmvscn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
24	22, 23	nmcl 24511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
25	20, 21, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
26	17	rpred 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	25, 26	readdcld 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28		0red 11184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29	22, 23	nmge0 24512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
30	20, 21, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
31	25, 17	ltaddrpd 13035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
32	28, 25, 27, 30, 31	lelttrd 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
33	27, 32	elrpd 12999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
34	3, 33	rpdivcld 13019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
35	18, 34	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
36	17, 35	ifcld 4538	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37		nlmvscn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
38		nlmvscn.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
39		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
40	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
41	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
42	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
43	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
44		simprll 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝐾)
45		simprlr 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
46	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47		ngpms 24495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
49	9, 38	mscl 24356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
50	48, 42, 44, 49	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
51	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 13002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
53	35	rpred 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
56	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57		min2 13157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
58	56, 54, 57	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
59	50, 52, 54, 55, 58	ltletrd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60		ngpms 24495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
61	20, 60	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
62	61	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
63	22, 37	mscl 24356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
64	62, 43, 45, 63	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
66		min1 13156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
67	56, 54, 66	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
68	64, 52, 56, 65, 67	ltletrd 11341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
69	5, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68	nlmvscnlem2 24580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
70	69	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
71	70	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
74	72, 73	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
75	74	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76	75	2ralbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
77	76	rspcev 3591	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
78	36, 71, 77	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  distcds 17236  MetSpcms 24213  normcnm 24471  NrmGrpcngp 24472  NrmModcnlm 24475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17411  df-topgen 17413  df-xrs 17472  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-ms 24216  df-nm 24477  df-ngp 24478  df-nrg 24480  df-nlm 24481

This theorem is referenced by:  nlmvscn  24582