MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlmvscnlem1 24194
Description: Lemma for nlmvscn 24195. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmvscn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmvscn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmvscn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmvscn.e 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
nlmvscn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nlmvscn.a 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
nlmvscn.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
nlmvscn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
nlmvscn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ÿ   𝐷,π‘Ÿ   𝐸,π‘Ÿ   π‘₯,𝑦,πœ‘   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝑇   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐾,π‘Ÿ,𝑦   𝑅,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   Β· ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝑉(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
2 nlmvscn.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13024 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
65nlmngp2 24188 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
8 nlmvscn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
119, 10nmcl 24116 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
127, 8, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
139, 10nmge0 24117 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
147, 8, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
1512, 14ge0p1rpd 13042 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π΅) + 1) ∈ ℝ+)
163, 15rpdivcld 13029 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1)) ∈ ℝ+)
171, 16eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
18 nlmvscn.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
19 nlmngp 24185 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
2422, 23nmcl 24116 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2520, 21, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2617rpred 13012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 11239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ)
28 0red 11213 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2922, 23nmge0 24117 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
3020, 21, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
3125, 17ltaddrpd 13045 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
3228, 25, 27, 30, 31lelttrd 11368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
3327, 32elrpd 13009 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ+)
343, 33rpdivcld 13029 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3518, 34eqeltrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
3617, 35ifcld 4573 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
37 nlmvscn.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
38 nlmvscn.e . . . . 5 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
39 nlmvscn.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
404adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
412adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
428adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
4321adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
44 simprll 777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
45 simprlr 778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
467adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
47 ngpms 24100 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ NrmGrp β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
499, 38mscl 23958 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) ∈ ℝ)
5048, 42, 44, 49syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) ∈ ℝ)
5136adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5251rpred 13012 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ)
5335rpred 13012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
55 simprrl 779 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
5626adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
57 min2 13165 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5856, 54, 57syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5950, 52, 54, 55, 58ltletrd 11370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) < π‘ˆ)
60 ngpms 24100 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6120, 60syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6261adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6322, 37mscl 23958 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6462, 43, 45, 63syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65 simprrr 780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
66 min1 13164 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6756, 54, 66syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6864, 52, 56, 65, 67ltletrd 11370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
695, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68nlmvscnlem2 24193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)
7069expr 457 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
7170ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
72 breq2 5151 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ↔ (𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
73 breq2 5151 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
7472, 73anbi12d 631 . . . . 5 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) ↔ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))))
7574imbi1d 341 . . . 4 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)))
76752ralbidv 3218 . . 3 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)))
7776rspcev 3612 . 2 ((if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
7836, 71, 77syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  2c2 12263  β„+crp 12970  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  distcds 17202  MetSpcms 23815  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  NrmModcnlm 24080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-xrs 17444  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nrg 24085  df-nlm 24086
This theorem is referenced by:  nlmvscn  24195
  Copyright terms: Public domain W3C validator