MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nlmvscnlem1 24577
Description: Lemma for nlmvscn 24578. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nlmvscn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nlmvscn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nlmvscn.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
nlmvscn.e 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
nlmvscn.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nlmvscn.a 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
nlmvscn.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
nlmvscn.u π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
nlmvscn.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ÿ   𝐷,π‘Ÿ   𝐸,π‘Ÿ   π‘₯,𝑦,πœ‘   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝑇   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐾,π‘Ÿ,𝑦   𝑅,π‘Ÿ   𝑉,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   Β· ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝑉(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1))
2 nlmvscn.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 13046 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
65nlmngp2 24571 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
8 nlmvscn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (normβ€˜πΉ)
119, 10nmcl 24499 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
127, 8, 11syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π΅) ∈ ℝ)
139, 10nmge0 24500 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
147, 8, 13syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π΄β€˜π΅))
1512, 14ge0p1rpd 13064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π΅) + 1) ∈ ℝ+)
163, 15rpdivcld 13051 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π΄β€˜π΅) + 1)) ∈ ℝ+)
171, 16eqeltrid 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
18 nlmvscn.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
19 nlmngp 24568 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmMod β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
2422, 23nmcl 24499 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2520, 21, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2617rpred 13034 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 11259 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ)
28 0red 11233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2922, 23nmge0 24500 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
3020, 21, 29syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘‹))
3125, 17ltaddrpd 13067 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
3228, 25, 27, 30, 31lelttrd 11388 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇))
3327, 32elrpd 13031 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇) ∈ ℝ+)
343, 33rpdivcld 13051 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑅 / 2) / ((π‘β€˜π‘‹) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3518, 34eqeltrid 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
3617, 35ifcld 4570 . 2 (πœ‘ β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
37 nlmvscn.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜π‘Š)
38 nlmvscn.e . . . . 5 𝐸 = (distβ€˜πΉ)
39 nlmvscn.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
404adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ NrmMod)
412adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
428adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
4321adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
44 simprll 778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐾)
45 simprlr 779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
467adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐹 ∈ NrmGrp)
47 ngpms 24483 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ NrmGrp β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
499, 38mscl 24341 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) ∈ ℝ)
5048, 42, 44, 49syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) ∈ ℝ)
5136adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+)
5251rpred 13034 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ)
5335rpred 13034 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
5453adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
55 simprrl 780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
5626adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
57 min2 13187 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5856, 54, 57syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ π‘ˆ)
5950, 52, 54, 55, 58ltletrd 11390 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝐡𝐸π‘₯) < π‘ˆ)
60 ngpms 24483 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6120, 60syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6261adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ π‘Š ∈ MetSp)
6322, 37mscl 24341 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6462, 43, 45, 63syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65 simprrr 781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))
66 min1 13186 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ π‘ˆ ∈ ℝ) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6756, 54, 66syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ≀ 𝑇)
6864, 52, 56, 65, 67ltletrd 11390 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
695, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68nlmvscnlem2 24576 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)
7069expr 456 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
7170ralrimivva 3195 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
72 breq2 5146 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ↔ (𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
73 breq2 5146 . . . . . 6 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)))
7472, 73anbi12d 630 . . . . 5 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) ↔ ((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ))))
7574imbi1d 341 . . . 4 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ ((((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)))
76752ralbidv 3213 . . 3 (π‘Ÿ = if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)))
7776rspcev 3607 . 2 ((if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≀ π‘ˆ, 𝑇, π‘ˆ)) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
7836, 71, 77syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (((𝐡𝐸π‘₯) < π‘Ÿ ∧ (𝑋𝐷𝑦) < π‘Ÿ) β†’ ((𝐡 Β· 𝑋)𝐷(π‘₯ Β· 𝑦)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  ifcif 4524   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264   ≀ cle 11265   / cdiv 11887  2c2 12283  β„+crp 12992  Basecbs 17165  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222  distcds 17227  MetSpcms 24198  normcnm 24459  NrmGrpcngp 24460  NrmModcnlm 24463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-fz 13503  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-0g 17408  df-topgen 17410  df-xrs 17469  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-lmod 20727  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-xms 24200  df-ms 24201  df-nm 24465  df-ngp 24466  df-nrg 24468  df-nlm 24469
This theorem is referenced by:  nlmvscn  24578
  Copyright terms: Public domain W3C validator