Theorem nlmvscnlem1 25032

Description: Lemma for nlmvscn 25033. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlmvscn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a	⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
nlmvscn.t	⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
nlmvscn.u	⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
nlmvscn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nlmvscnlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑟)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑟)   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmvscn.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1))
2		nlmvscn.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
3	2	rphalfcld 13200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4		nlmvscn.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmMod)
5		nlmvscn.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6	5	nlmngp2 25026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
7	4, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ NrmGrp)
8		nlmvscn.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		nlmvscn.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		nlmvscn.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (norm‘𝐹)
11	9, 10	nmcl 24962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
12	7, 8, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐵) ∈ ℝ)
13	9, 10	nmge0 24963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
14	7, 8, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴‘𝐵))
15	12, 14	ge0p1rpd 13218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
16	3, 15	rpdivcld 13205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴‘𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
17	1, 16	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		nlmvscn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
19		nlmngp 25023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
20	4, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ NrmGrp)
21		nlmvscn.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		nlmvscn.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
23		nlmvscn.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
24	22, 23	nmcl 24962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
25	20, 21, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ ℝ)
26	17	rpred 13188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
27	25, 26	readdcld 11362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28		0red 11335	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29	22, 23	nmge0 24963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
30	20, 21, 29	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘𝑋))
31	25, 17	ltaddrpd 13221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
32	28, 25, 27, 30, 31	lelttrd 11492	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑁‘𝑋) + 𝑇))
33	27, 32	elrpd 13185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
34	3, 33	rpdivcld 13205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁‘𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
35	18, 34	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
36	17, 35	ifcld 4532	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37		nlmvscn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
38		nlmvscn.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐹)
39		nlmvscn.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
40	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
41	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
42	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵 ∈ 𝐾)
43	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
44		simprll 791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥 ∈ 𝐾)
45		simprlr 792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦 ∈ 𝑉)
46	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47		ngpms 24946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
49	9, 38	mscl 24807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
50	48, 42, 44, 49	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
51	36	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
52	51	rpred 13188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
53	35	rpred 13188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55		simprrl 793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
56	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57		min2 13344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
58	56, 54, 57	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
59	50, 52, 54, 55, 58	ltletrd 11494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60		ngpms 24946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
61	20, 60	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ MetSp)
62	61	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
63	22, 37	mscl 24807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
64	62, 43, 45, 63	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))
66		min1 13343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
67	56, 54, 66	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
68	64, 52, 56, 65, 67	ltletrd 11494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
69	5, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68	nlmvscnlem2 25031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
70	69	expr 462	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
71	70	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72		breq2 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73		breq2 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)))
74	72, 73	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈))))
75	74	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76	75	2ralbidv 3230	. . 3 ⊢ (𝑟 = if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
77	76	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇 ≤ 𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
78	36, 71, 77	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368   / cdiv 11997  2c2 12421  ℝ⁺crp 13144  Basecbs 17413  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  distcds 17463  MetSpcms 24664  normcnm 24922  NrmGrpcngp 24923  NrmModcnlm 24926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-0g 17638  df-topgen 17640  df-xrs 17700  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-lmod 21164  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-xms 24666  df-ms 24667  df-nm 24928  df-ngp 24929  df-nrg 24931  df-nlm 24932

This theorem is used by:  nlmvscn  25033