MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscnlem1 23222
Description: Lemma for nlmvscn 23223. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
nlmvscn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (𝜑𝐵𝐾)
nlmvscn.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑟   𝐷,𝑟   𝐸,𝑟   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑟,𝑦,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐹,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑦   𝑅,𝑟   𝑉,𝑟   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦   · ,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
2 nlmvscn.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12431 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
65nlmngp2 23216 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ NrmGrp)
8 nlmvscn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐾)
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8 𝐴 = (norm‘𝐹)
119, 10nmcl 23152 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
127, 8, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
139, 10nmge0 23153 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → 0 ≤ (𝐴𝐵))
147, 8, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐵))
1512, 14ge0p1rpd 12449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
163, 15rpdivcld 12436 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
171, 16eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
18 nlmvscn.u . . . 4 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
19 nlmngp 23213 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (norm‘𝑊)
2422, 23nmcl 23152 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
2520, 21, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
2617rpred 12419 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 10658 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
28 0red 10632 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2922, 23nmge0 23153 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝑋))
3020, 21, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑋))
3125, 17ltaddrpd 12452 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
3228, 25, 27, 30, 31lelttrd 10786 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
3327, 32elrpd 12416 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ+)
343, 33rpdivcld 12436 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ+)
3518, 34eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
3617, 35ifcld 4508 . 2 (𝜑 → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
37 nlmvscn.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑊)
38 nlmvscn.e . . . . 5 𝐸 = (dist‘𝐹)
39 nlmvscn.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
404adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ NrmMod)
412adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
428adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐵𝐾)
4321adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑋𝑉)
44 simprll 775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑥𝐾)
45 simprlr 776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑦𝑉)
467adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ NrmGrp)
47 ngpms 23136 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝐹 ∈ MetSp)
499, 38mscl 22998 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝐾𝑥𝐾) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
5048, 42, 44, 49syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) ∈ ℝ)
5136adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+)
5251rpred 12419 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ)
5335rpred 12419 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
55 simprrl 777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
5626adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
57 min2 12571 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5856, 54, 57syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑈)
5950, 52, 54, 55, 58ltletrd 10788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝐵𝐸𝑥) < 𝑈)
60 ngpms 23136 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
6120, 60syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
6261adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → 𝑊 ∈ MetSp)
6322, 37mscl 22998 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑦𝑉) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
6462, 43, 45, 63syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) ∈ ℝ)
65 simprrr 778 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))
66 min1 12570 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6756, 54, 66syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ≤ 𝑇)
6864, 52, 56, 65, 67ltletrd 10788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝑇)
695, 22, 9, 37, 38, 23, 10, 39, 1, 18, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 59, 68nlmvscnlem2 23221 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐾𝑦𝑉) ∧ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)
7069expr 457 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝑉)) → (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
7170ralrimivva 3188 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
72 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ↔ (𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
73 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((𝑋𝐷𝑦) < 𝑟 ↔ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)))
7472, 73anbi12d 630 . . . . 5 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) ↔ ((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈))))
7574imbi1d 343 . . . 4 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → ((((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
76752ralbidv 3196 . . 3 (𝑟 = if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) → (∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)))
7776rspcev 3620 . 2 ((if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < if(𝑇𝑈, 𝑇, 𝑈)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
7836, 71, 77syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐾𝑦𝑉 (((𝐵𝐸𝑥) < 𝑟 ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝑟) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝑥 · 𝑦)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  2c2 11680  +crp 12377  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  distcds 16562  MetSpcms 22855  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114  NrmModcnlm 23117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-xrs 16763  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nrg 23122  df-nlm 23123
This theorem is referenced by:  nlmvscn  23223
  Copyright terms: Public domain W3C validator