Theorem isngp4 23674

Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngprcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngprcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isngp4	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isngp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 23661	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ngpms 23662	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
3		ngprcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ngprcan.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		ngprcan.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
6	3, 4, 5	ngprcan 23672	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
7	6	ralrimivvva 3115	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
8	1, 2, 7	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
9		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ MetSp)
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	3, 11	grpinvcl 18542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2rl 745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
14		eqcom 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
16		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
17	15, 16	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))))
18	17	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
19	14, 18	syl5bb 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
20	19	rspcv 3547	. . . . . . 7 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
21	13, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
23	3, 4, 11, 22	grpsubval 18540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑦))
26		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
27	3, 4, 26, 11	grprinv 18544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
28	27	ad2ant2rl 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
29	25, 28	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
30	3, 22	grpsubcl 18570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	30	3expb 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	31	adantlr 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
34	33, 3, 26, 5	nmval 23651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
36	29, 35	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
37	36	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
38	21, 37	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
39	38	ralimdvva 3104	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
40	39	3impia 1115	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
41	33, 22, 5, 3	isngp3 23660	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
42	9, 10, 40, 41	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
43	8, 42	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  distcds 16897  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494  MetSpcms 23379  normcnm 23638  NrmGrpcngp 23639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-0g 17069  df-topgen 17071  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-xms 23381  df-ms 23382  df-nm 23644  df-ngp 23645

This theorem is referenced by: (None)