MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp4 24625
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p + = (+g𝐺)
ngprcan.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isngp4 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 24612 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 ngpms 24613 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
3 ngprcan.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 ngprcan.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
5 ngprcan.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐺)
63, 4, 5ngprcan 24623 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
76ralrimivvva 3205 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
81, 2, 73jca 1129 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
9 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ Grp)
10 simp2 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ MetSp)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
123, 11grpinvcl 19005 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2rl 749 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
14 eqcom 2744 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
16 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
1715, 16oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))))
1817eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
1914, 18bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
2019rspcv 3618 . . . . . . 7 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
2113, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝐺) = (-g𝐺)
233, 4, 11, 22grpsubval 19003 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
2423adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
2524eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (𝑥(-g𝐺)𝑦))
26 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐺) = (0g𝐺)
273, 4, 26, 11grprinv 19008 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (0g𝐺))
2827ad2ant2rl 749 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (0g𝐺))
2925, 28oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
303, 22grpsubcl 19038 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31303expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
3231adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
3433, 3, 26, 5nmval 24602 . . . . . . . . 9 ((𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
3629, 35eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
3736eqeq2d 2748 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
3821, 37sylibd 239 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
3938ralimdvva 3206 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
40393impia 1118 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
4133, 22, 5, 3isngp3 24611 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
429, 10, 40, 41syl3anbrc 1344 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
438, 42impbii 209 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  distcds 17306  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator