MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp4 24121
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ngprcan.p + = (+gβ€˜πΊ)
ngprcan.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isngp4 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 24108 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 ngpms 24109 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
3 ngprcan.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 ngprcan.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
5 ngprcan.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
63, 4, 5ngprcan 24119 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦))
76ralrimivvva 3204 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦))
81, 2, 73jca 1129 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
9 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10 simp2 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
123, 11grpinvcl 18872 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2rl 748 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
14 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ + 𝑧) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
16 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
1715, 16oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))))
1817eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
1914, 18bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
2019rspcv 3609 . . . . . . 7 (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
2113, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
233, 4, 11, 22grpsubval 18870 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
2423adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
2524eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
273, 4, 26, 11grprinv 18875 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜πΊ))
2827ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜πΊ))
2925, 28oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
303, 22grpsubcl 18903 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
31303expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
3231adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
3433, 3, 26, 5nmval 24098 . . . . . . . . 9 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋 β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3629, 35eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3736eqeq2d 2744 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
3821, 37sylibd 238 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
3938ralimdvva 3205 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
40393impia 1118 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
4133, 22, 5, 3isngp3 24107 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
429, 10, 40, 41syl3anbrc 1344 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
438, 42impbii 208 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  distcds 17206  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  -gcsg 18821  MetSpcms 23824  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator