Theorem isngp4 24986

Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngprcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngprcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isngp4	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   + (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem isngp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24973	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ngpms 24974	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
3		ngprcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ngprcan.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		ngprcan.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
6	3, 4, 5	ngprcan 24984	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
7	6	ralrimivvva 3212	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
8	1, 2, 7	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
9		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ MetSp)
11		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	3, 11	grpinvcl 19248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2rl 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
14		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
16		oveq2 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
17	15, 16	oveq12d 7469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))))
18	17	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
19	14, 18	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
20	19	rspcv 3576	. . . . . . 7 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
21	13, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
23	3, 4, 11, 22	grpsubval 19246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑦))
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
27	3, 4, 26, 11	grprinv 19251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
28	27	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
29	25, 28	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
30	3, 22	grpsubcl 19280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	30	3expb 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	31	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
34	33, 3, 26, 5	nmval 24963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
35	32, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
36	29, 35	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
37	36	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
38	21, 37	sylibd 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
39	38	ralimdvva 3213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
40	39	3impia 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
41	33, 22, 5, 3	isngp3 24972	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
42	9, 10, 40, 41	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
43	8, 42	impbii 212	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  distcds 17481  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  inv_gcminusg 19195  -_gcsg 19196  MetSpcms 24692  normcnm 24950  NrmGrpcngp 24951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-0g 17662  df-topgen 17664  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-xms 24694  df-ms 24695  df-nm 24956  df-ngp 24957

This theorem is used by: (None)