MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp4 24050
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p + = (+g𝐺)
ngprcan.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isngp4 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 24037 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 ngpms 24038 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
3 ngprcan.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 ngprcan.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
5 ngprcan.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐺)
63, 4, 5ngprcan 24048 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
76ralrimivvva 3202 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
81, 2, 73jca 1128 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
9 simp1 1136 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ Grp)
10 simp2 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ MetSp)
11 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
123, 11grpinvcl 18847 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2rl 747 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
14 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15 oveq2 7401 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
16 oveq2 7401 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
1715, 16oveq12d 7411 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))))
1817eqeq2d 2742 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
1914, 18bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invg𝐺)‘𝑦) → (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
2019rspcv 3605 . . . . . . 7 (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
2113, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)))))
22 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝐺) = (-g𝐺)
233, 4, 11, 22grpsubval 18845 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)))
2524eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (𝑥(-g𝐺)𝑦))
26 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐺) = (0g𝐺)
273, 4, 26, 11grprinv 18850 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (0g𝐺))
2827ad2ant2rl 747 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦)) = (0g𝐺))
2925, 28oveq12d 7411 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
303, 22grpsubcl 18877 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31303expb 1120 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
3231adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
3433, 3, 26, 5nmval 24027 . . . . . . . . 9 ((𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g𝐺)𝑦)𝐷(0g𝐺)))
3629, 35eqtr4d 2774 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
3736eqeq2d 2742 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg𝐺)‘𝑦))) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
3821, 37sylibd 238 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
3938ralimdvva 3203 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
40393impia 1117 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
4133, 22, 5, 3isngp3 24036 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦))))
429, 10, 40, 41syl3anbrc 1343 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
438, 42impbii 208 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  distcds 17188  0gc0g 17367  Grpcgrp 18794  invgcminusg 18795  -gcsg 18796  MetSpcms 23753  normcnm 24014  NrmGrpcngp 24015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-0g 17369  df-topgen 17371  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-xms 23755  df-ms 23756  df-nm 24020  df-ngp 24021
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator