MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp4 23991
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ngprcan.p + = (+gβ€˜πΊ)
ngprcan.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isngp4 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 23978 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 ngpms 23979 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
3 ngprcan.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 ngprcan.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
5 ngprcan.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
63, 4, 5ngprcan 23989 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦))
76ralrimivvva 3197 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦))
81, 2, 73jca 1129 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
9 simp1 1137 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10 simp2 1138 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
123, 11grpinvcl 18806 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2rl 748 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
14 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ + 𝑧) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
16 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
1715, 16oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))))
1817eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
1914, 18bitrid 283 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
2019rspcv 3579 . . . . . . 7 (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
2113, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
233, 4, 11, 22grpsubval 18804 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
2423adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
2524eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
273, 4, 26, 11grprinv 18809 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜πΊ))
2827ad2ant2rl 748 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜πΊ))
2925, 28oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
303, 22grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
31303expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
3231adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
3433, 3, 26, 5nmval 23968 . . . . . . . . 9 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋 β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3629, 35eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3736eqeq2d 2744 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
3821, 37sylibd 238 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
3938ralimdvva 3198 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
40393impia 1118 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
4133, 22, 5, 3isngp3 23977 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
429, 10, 40, 41syl3anbrc 1344 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
438, 42impbii 208 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  distcds 17150  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  MetSpcms 23694  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator