MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isngp4 24341
Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
ngprcan.p + = (+gβ€˜πΊ)
ngprcan.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isngp4 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   + (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 24328 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2 ngpms 24329 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
3 ngprcan.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
4 ngprcan.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
5 ngprcan.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
63, 4, 5ngprcan 24339 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦))
76ralrimivvva 3201 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦))
81, 2, 73jca 1126 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
9 simp1 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10 simp2 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
11 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
123, 11grpinvcl 18908 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
1312ad2ant2rl 745 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
14 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ + 𝑧) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
16 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
1715, 16oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))))
1817eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
1914, 18bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) β†’ (((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
2019rspcv 3607 . . . . . . 7 (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
2113, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))))
22 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
233, 4, 11, 22grpsubval 18906 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
2423adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)))
2524eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))
26 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
273, 4, 26, 11grprinv 18911 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜πΊ))
2827ad2ant2rl 745 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜πΊ))
2925, 28oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
303, 22grpsubcl 18939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
31303expb 1118 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
3231adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋)
33 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
3433, 3, 26, 5nmval 24318 . . . . . . . . 9 ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑋 β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3532, 34syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3629, 35eqtr4d 2773 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3736eqeq2d 2741 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) = ((π‘₯ + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))𝐷(𝑦 + ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘¦))) ↔ (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
3821, 37sylibd 238 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
3938ralimdvva 3202 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
40393impia 1115 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
4133, 22, 5, 3isngp3 24327 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦))))
429, 10, 40, 41syl3anbrc 1341 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
438, 42impbii 208 1 (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘₯ + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (π‘₯𝐷𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  distcds 17210  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  -gcsg 18857  MetSpcms 24044  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator