Theorem isngp4 24120

Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngprcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngprcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isngp4	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isngp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24107	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ngpms 24108	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
3		ngprcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ngprcan.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		ngprcan.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
6	3, 4, 5	ngprcan 24118	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
7	6	ralrimivvva 3203	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
8	1, 2, 7	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
9		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ MetSp)
11		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	3, 11	grpinvcl 18871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2rl 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
14		eqcom 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
16		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
17	15, 16	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))))
18	17	eqeq2d 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
19	14, 18	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
20	19	rspcv 3608	. . . . . . 7 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
21	13, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
22		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
23	3, 4, 11, 22	grpsubval 18869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑦))
26		eqid 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
27	3, 4, 26, 11	grprinv 18874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
28	27	ad2ant2rl 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
29	25, 28	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
30	3, 22	grpsubcl 18902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	30	3expb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	31	adantlr 713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
34	33, 3, 26, 5	nmval 24097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
36	29, 35	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
37	36	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
38	21, 37	sylibd 238	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
39	38	ralimdvva 3204	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
40	39	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
41	33, 22, 5, 3	isngp3 24106	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
42	9, 10, 40, 41	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
43	8, 42	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  distcds 17205  0_gc0g 17384  Grpcgrp 18818  inv_gcminusg 18819  -_gcsg 18820  MetSpcms 23823  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091

This theorem is referenced by: (None)