Theorem isngp4 24590

Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngprcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngprcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isngp4	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑧, +   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isngp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24577	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ngpms 24578	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
3		ngprcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		ngprcan.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		ngprcan.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
6	3, 4, 5	ngprcan 24588	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
7	6	ralrimivvva 3184	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦))
8	1, 2, 7	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))
9		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ MetSp)
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12	3, 11	grpinvcl 18957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
13	12	ad2ant2rl 750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋)
14		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)))
15		oveq2 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
16		oveq2 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
17	15, 16	oveq12d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))))
18	17	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
19	14, 18	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
20	19	rspcv 3561	. . . . . . 7 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
21	13, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
23	3, 4, 11, 22	grpsubval 18955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑦))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
27	3, 4, 26, 11	grprinv 18960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
28	27	ad2ant2rl 750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (0g‘𝐺))
29	25, 28	oveq12d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
30	3, 22	grpsubcl 18990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
31	30	3expb 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
32	31	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
34	33, 3, 26, 5	nmval 24567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑋 → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((𝑥(-g‘𝐺)𝑦)𝐷(0g‘𝐺)))
36	29, 35	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
37	36	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐷𝑦) = ((𝑥 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))𝐷(𝑦 + ((invg‘𝐺)‘𝑦))) ↔ (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
38	21, 37	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
39	38	ralimdvva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
40	39	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
41	33, 22, 5, 3	isngp3 24576	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦))))
42	9, 10, 40, 41	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
43	8, 42	impbii 209	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑧)𝐷(𝑦 + 𝑧)) = (𝑥𝐷𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  distcds 17223  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  -_gcsg 18905  MetSpcms 24296  normcnm 24554  NrmGrpcngp 24555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-0g 17398  df-topgen 17400  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-xms 24298  df-ms 24299  df-nm 24560  df-ngp 24561

This theorem is referenced by: (None)