Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmrtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmrtri 23228
 Description: Reverse triangle inequality for the norm of a subtraction. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmrtri ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem nmrtri
StepHypRef Expression
1 ngpms 23204 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
3 simp2 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
4 simp3 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
5 ngpgrp 23203 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
653ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
7 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2822 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
97, 8grpidcl 18122 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
106, 9syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
11 eqid 2822 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
127, 11msrtri 23077 . . 3 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
132, 3, 4, 10, 12syl13anc 1369 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
14 nmf.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
1514, 7, 8, 11nmval 23194 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
16153ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1714, 7, 8, 11nmval 23194 . . . . 5 (𝐵𝑋 → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
18173ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1916, 18oveq12d 7158 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
2019fveq2d 6656 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) = (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))))
21 nmmtri.m . . . 4 = (-g𝐺)
2214, 7, 21, 11ngpds 23208 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
2322eqcomd 2828 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
2413, 20, 233brtr4d 5074 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ≤ cle 10665   − cmin 10859  abscabs 14584  Basecbs 16474  distcds 16565  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  -gcsg 18096  MetSpcms 22923  normcnm 23181  NrmGrpcngp 23182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-0g 16706  df-topgen 16708  df-xrs 16766  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-xms 22925  df-ms 22926  df-nm 23187  df-ngp 23188 This theorem is referenced by:  nm2dif  23229
 Copyright terms: Public domain W3C validator