Theorem nmrtri 24510

Description: Reverse triangle inequality for the norm of a subtraction. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmrtri	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem nmrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24486	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		ngpgrp 24485	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
7		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	7, 8	grpidcl 18844	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	7, 11	msrtri 24358	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
13	2, 3, 4, 10, 12	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
14		nmf.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
15	14, 7, 8, 11	nmval 24475	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
16	15	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
17	14, 7, 8, 11	nmval 24475	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18	17	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	16, 18	oveq12d 7367	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
20	19	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) = (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))))
21		nmmtri.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	14, 7, 21, 11	ngpds 24490	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))
23	22	eqcomd 2735	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
24	13, 20, 23	3brtr4d 5124	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ≤ cle 11150   − cmin 11347  abscabs 15141  Basecbs 17120  distcds 17170  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  MetSpcms 24204  normcnm 24462  NrmGrpcngp 24463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-topgen 17347  df-xrs 17406  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-xms 24206  df-ms 24207  df-nm 24468  df-ngp 24469

This theorem is referenced by:  nm2dif  24511