Theorem nmrtri 24589

Description: Reverse triangle inequality for the norm of a subtraction. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmrtri	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem nmrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24565	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		ngpgrp 24564	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
7		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	7, 8	grpidcl 18941	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	7, 11	msrtri 24437	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
13	2, 3, 4, 10, 12	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
14		nmf.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
15	14, 7, 8, 11	nmval 24554	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
16	15	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
17	14, 7, 8, 11	nmval 24554	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18	17	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	16, 18	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
20	19	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) = (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))))
21		nmmtri.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	14, 7, 21, 11	ngpds 24569	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))
23	22	eqcomd 2742	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
24	13, 20, 23	3brtr4d 5117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ≤ cle 11180   − cmin 11377  abscabs 15196  Basecbs 17179  distcds 17229  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  MetSpcms 24283  normcnm 24541  NrmGrpcngp 24542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-xrs 17466  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-xms 24285  df-ms 24286  df-nm 24547  df-ngp 24548

This theorem is referenced by:  nm2dif  24590