MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmrtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmrtri 22798
Description: Reverse triangle inequality for the norm of a subtraction. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmrtri ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem nmrtri
StepHypRef Expression
1 ngpms 22774 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
213ad2ant1 1169 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
3 simp2 1173 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
4 simp3 1174 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
5 ngpgrp 22773 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
653ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
7 nmf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2825 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
97, 8grpidcl 17804 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
106, 9syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
11 eqid 2825 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
127, 11msrtri 22647 . . 3 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
132, 3, 4, 10, 12syl13anc 1497 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
14 nmf.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
1514, 7, 8, 11nmval 22764 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
16153ad2ant2 1170 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1714, 7, 8, 11nmval 22764 . . . . 5 (𝐵𝑋 → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
18173ad2ant3 1171 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
1916, 18oveq12d 6923 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
2019fveq2d 6437 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) = (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))))
21 nmmtri.m . . . 4 = (-g𝐺)
2214, 7, 21, 11ngpds 22778 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
2322eqcomd 2831 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) = (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
2413, 20, 233brtr4d 4905 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (abs‘((𝑁𝐴) − (𝑁𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  cle 10392  cmin 10585  abscabs 14351  Basecbs 16222  distcds 16314  0gc0g 16453  Grpcgrp 17776  -gcsg 17778  MetSpcms 22493  normcnm 22751  NrmGrpcngp 22752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-0g 16455  df-topgen 16457  df-xrs 16515  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-xms 22495  df-ms 22496  df-nm 22757  df-ngp 22758
This theorem is referenced by:  nm2dif  22799
  Copyright terms: Public domain W3C validator