Theorem nmrtri 24602

Description: Reverse triangle inequality for the norm of a subtraction. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmrtri	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem nmrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24578	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		ngpgrp 24577	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
6	5	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
7		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	7, 8	grpidcl 18935	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	7, 11	msrtri 24450	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
13	2, 3, 4, 10, 12	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))) ≤ (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
14		nmf.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
15	14, 7, 8, 11	nmval 24567	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
16	15	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
17	14, 7, 8, 11	nmval 24567	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18	17	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	16, 18	oveq12d 7379	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
20	19	fveq2d 6839	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) = (abs‘((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) − (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))))
21		nmmtri.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	14, 7, 21, 11	ngpds 24582	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))
23	22	eqcomd 2743	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴(dist‘𝐺)𝐵))
24	13, 20, 23	3brtr4d 5118	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝑁‘𝐴) − (𝑁‘𝐵))) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ≤ cle 11174   − cmin 11371  abscabs 15190  Basecbs 17173  distcds 17223  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  -_gcsg 18905  MetSpcms 24296  normcnm 24554  NrmGrpcngp 24555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-0g 17398  df-topgen 17400  df-xrs 17460  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-xms 24298  df-ms 24299  df-nm 24560  df-ngp 24561

This theorem is referenced by:  nm2dif  24603