MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgngp 24014
Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgngp.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subgngp ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgngp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
21subggrp 18939 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
32adantl 483 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
4 ngpms 23979 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
5 ressms 23905 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
64, 5sylan 581 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
71, 6eqeltrid 2838 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ MetSp)
8 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»))
101subgbas 18940 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
1110ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
129, 11eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
13 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))
1413, 11eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (-gβ€˜π») = (-gβ€˜π»)
1715, 1, 16subgsub 18948 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))
188, 12, 14, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))
1918fveq2d 6850 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
211, 20ressds 17299 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
2221ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
2322oveqd 7378 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦))
24 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2625subgss 18937 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2726ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2827, 12sseldd 3949 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2927, 14sseldd 3949 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
30 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
3130, 25, 15, 20ngpds 23983 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3224, 28, 29, 31syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3323, 32eqtr3d 2775 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
3534, 16grpsubcl 18835 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
36353expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
373, 36sylan 581 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
3837, 11eleqtrrd 2837 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ 𝐴)
39 eqid 2733 . . . . . 6 (normβ€˜π») = (normβ€˜π»)
401, 30, 39subgnm2 24013 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ 𝐴) β†’ ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
418, 38, 40syl2anc 585 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
4219, 33, 413eqtr4d 2783 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
4342ralrimivva 3194 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
44 eqid 2733 . . 3 (distβ€˜π») = (distβ€˜π»)
4539, 16, 44, 34isngp3 23977 . 2 (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))))
463, 7, 43, 45syl3anbrc 1344 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  distcds 17150  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  SubGrpcsubg 18930  MetSpcms 23694  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-ds 17163  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962
This theorem is referenced by:  subrgnrg  24060  lssnlm  24088  cssbn  24762
  Copyright terms: Public domain W3C validator