Theorem subgngp 24499

Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subgngp	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgngp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2	1	subggrp 19037	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4		ngpms 24464	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5		ressms 24390	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)
6	4, 5	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)
7	1, 6	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ MetSp)
8		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
10	1	subgbas 19038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	9, 11	eleqtrrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
14	13, 11	eleqtrrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
17	15, 1, 16	subgsub 19046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐻)𝑦))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐻)𝑦))
19	18	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
20		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	1, 20	ressds 17349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
23	22	oveqd 7386	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑥(dist‘𝐻)𝑦))
24		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
25		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
26	25	subgss 19035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
28	27, 12	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
29	27, 14	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
30		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
31	30, 25, 15, 20	ngpds 24468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
32	24, 28, 29, 31	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
33	23, 32	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
35	34, 16	grpsubcl 18928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	35	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
37	3, 36	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
38	37, 11	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ 𝐴)
39		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
40	1, 30, 39	subgnm2 24498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ 𝐴) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
41	8, 38, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
42	19, 33, 41	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
43	42	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
44		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
45	39, 16, 44, 34	isngp3 24462	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦))))
46	3, 7, 43, 45	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  distcds 17205  Grpcgrp 18841  -_gcsg 18843  SubGrpcsubg 19028  MetSpcms 24182  normcnm 24440  NrmGrpcngp 24441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-ds 17218  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-topgen 17382  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-xms 24184  df-ms 24185  df-nm 24446  df-ngp 24447

This theorem is referenced by:  subrgnrg  24537  lssnlm  24565  cssbn  25251