Theorem subgngp 24364

Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subgngp	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgngp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2	1	subggrp 19045	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4		ngpms 24329	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5		ressms 24255	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)
6	4, 5	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)
7	1, 6	eqeltrid 2835	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ MetSp)
8		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
10	1	subgbas 19046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	10	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	9, 11	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		simprr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
14	13, 11	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
15		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
17	15, 1, 16	subgsub 19054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐻)𝑦))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐻)𝑦))
19	18	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
20		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	1, 20	ressds 17359	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
22	21	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
23	22	oveqd 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑥(dist‘𝐻)𝑦))
24		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
25		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
26	25	subgss 19043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	ad2antlr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
28	27, 12	sseldd 3982	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
29	27, 14	sseldd 3982	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
30		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
31	30, 25, 15, 20	ngpds 24333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
32	24, 28, 29, 31	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
33	23, 32	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
34		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
35	34, 16	grpsubcl 18939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	35	3expb 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
37	3, 36	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
38	37, 11	eleqtrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ 𝐴)
39		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
40	1, 30, 39	subgnm2 24363	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ 𝐴) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
41	8, 38, 40	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
42	19, 33, 41	3eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
43	42	ralrimivva 3198	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
44		eqid 2730	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
45	39, 16, 44, 34	isngp3 24327	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦))))
46	3, 7, 43, 45	syl3anbrc 1341	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  distcds 17210  Grpcgrp 18855  -_gcsg 18857  SubGrpcsubg 19036  MetSpcms 24044  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-ds 17223  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312

This theorem is referenced by:  subrgnrg  24410  lssnlm  24438  cssbn  25123