MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgngp 24143
Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgngp.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subgngp ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgngp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
21subggrp 19008 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
32adantl 482 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
4 ngpms 24108 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
5 ressms 24034 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
64, 5sylan 580 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
71, 6eqeltrid 2837 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ MetSp)
8 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»))
101subgbas 19009 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
1110ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
129, 11eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
13 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))
1413, 11eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
16 eqid 2732 . . . . . . 7 (-gβ€˜π») = (-gβ€˜π»)
1715, 1, 16subgsub 19017 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))
188, 12, 14, 17syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))
1918fveq2d 6895 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
211, 20ressds 17354 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
2221ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
2322oveqd 7425 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦))
24 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
25 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2625subgss 19006 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2726ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2827, 12sseldd 3983 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2927, 14sseldd 3983 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
30 eqid 2732 . . . . . . 7 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
3130, 25, 15, 20ngpds 24112 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3224, 28, 29, 31syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3323, 32eqtr3d 2774 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
34 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
3534, 16grpsubcl 18902 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
36353expb 1120 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
373, 36sylan 580 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
3837, 11eleqtrrd 2836 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ 𝐴)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (normβ€˜π») = (normβ€˜π»)
401, 30, 39subgnm2 24142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ 𝐴) β†’ ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
418, 38, 40syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
4219, 33, 413eqtr4d 2782 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
4342ralrimivva 3200 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
44 eqid 2732 . . 3 (distβ€˜π») = (distβ€˜π»)
4539, 16, 44, 34isngp3 24106 . 2 (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))))
463, 7, 43, 45syl3anbrc 1343 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  distcds 17205  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  SubGrpcsubg 18999  MetSpcms 23823  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091
This theorem is referenced by:  subrgnrg  24189  lssnlm  24217  cssbn  24891
  Copyright terms: Public domain W3C validator