Theorem subgngp 24648

Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subgngp	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgngp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
2	1	subggrp 19147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4		ngpms 24613	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5		ressms 24539	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)
6	4, 5	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)
7	1, 6	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ MetSp)
8		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
10	1	subgbas 19148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
12	9, 11	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
14	13, 11	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
17	15, 1, 16	subgsub 19156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐻)𝑦))
18	8, 12, 14, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(-g‘𝐻)𝑦))
19	18	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	1, 20	ressds 17454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
22	21	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
23	22	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑥(dist‘𝐻)𝑦))
24		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
25		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
26	25	subgss 19145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
28	27, 12	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
29	27, 14	sseldd 3984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
31	30, 25, 15, 20	ngpds 24617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
32	24, 28, 29, 31	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
33	23, 32	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐺)𝑦)))
34		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
35	34, 16	grpsubcl 19038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36	35	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
37	3, 36	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
38	37, 11	eleqtrrd 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ 𝐴)
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
40	1, 30, 39	subgnm2 24647	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥(-g‘𝐻)𝑦) ∈ 𝐴) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
41	8, 38, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
42	19, 33, 41	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
43	42	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦)))
44		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
45	39, 16, 44, 34	isngp3 24611	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g‘𝐻)𝑦))))
46	3, 7, 43, 45	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  distcds 17306  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  SubGrpcsubg 19138  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596

This theorem is referenced by:  subrgnrg  24694  lssnlm  24722  cssbn  25409