MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgngp 24144
Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgngp.h 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subgngp ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgngp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺 β†Ύs 𝐴)
21subggrp 19009 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
32adantl 483 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
4 ngpms 24109 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
5 ressms 24035 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
64, 5sylan 581 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
71, 6eqeltrid 2838 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ MetSp)
8 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
9 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»))
101subgbas 19010 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
1110ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π»))
129, 11eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
13 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))
1413, 11eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (-gβ€˜π») = (-gβ€˜π»)
1715, 1, 16subgsub 19018 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))
188, 12, 14, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))
1918fveq2d 6896 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
211, 20ressds 17355 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
2221ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜π»))
2322oveqd 7426 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦))
24 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
2625subgss 19007 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2726ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2827, 12sseldd 3984 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2927, 14sseldd 3984 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
30 eqid 2733 . . . . . . 7 (normβ€˜πΊ) = (normβ€˜πΊ)
3130, 25, 15, 20ngpds 24113 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3224, 28, 29, 31syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
3323, 32eqtr3d 2775 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜πΊ)𝑦)))
34 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
3534, 16grpsubcl 18903 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»)) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
36353expb 1121 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
373, 36sylan 581 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π»))
3837, 11eleqtrrd 2837 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ 𝐴)
39 eqid 2733 . . . . . 6 (normβ€˜π») = (normβ€˜π»)
401, 30, 39subgnm2 24143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦) ∈ 𝐴) β†’ ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
418, 38, 40syl2anc 585 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)) = ((normβ€˜πΊ)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
4219, 33, 413eqtr4d 2783 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π») ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π»))) β†’ (π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
4342ralrimivva 3201 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦)))
44 eqid 2733 . . 3 (distβ€˜π») = (distβ€˜π»)
4539, 16, 44, 34isngp3 24107 . 2 (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π»)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π»)(π‘₯(distβ€˜π»)𝑦) = ((normβ€˜π»)β€˜(π‘₯(-gβ€˜π»)𝑦))))
463, 7, 43, 45syl3anbrc 1344 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)) β†’ 𝐻 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  distcds 17206  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubGrpcsubg 19000  MetSpcms 23824  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092
This theorem is referenced by:  subrgnrg  24190  lssnlm  24218  cssbn  24892
  Copyright terms: Public domain W3C validator