MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgngp 22764
Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgngp.h 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subgngp ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgngp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
21subggrp 17907 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
32adantl 474 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4 ngpms 22729 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5 ressms 22656 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺s 𝐴) ∈ MetSp)
64, 5sylan 576 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺s 𝐴) ∈ MetSp)
71, 6syl5eqel 2880 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ MetSp)
8 simplr 786 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 simprl 788 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
101subgbas 17908 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
1110ad2antlr 719 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
129, 11eleqtrrd 2879 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥𝐴)
13 simprr 790 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
1413, 11eleqtrrd 2879 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦𝐴)
15 eqid 2797 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
16 eqid 2797 . . . . . . 7 (-g𝐻) = (-g𝐻)
1715, 1, 16subgsub 17916 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥(-g𝐻)𝑦))
188, 12, 14, 17syl3anc 1491 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥(-g𝐻)𝑦))
1918fveq2d 6413 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
20 eqid 2797 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
211, 20ressds 16385 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
2221ad2antlr 719 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
2322oveqd 6893 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑥(dist‘𝐻)𝑦))
24 simpll 784 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
25 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2625subgss 17905 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
2726ad2antlr 719 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
2827, 12sseldd 3797 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2927, 14sseldd 3797 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
30 eqid 2797 . . . . . . 7 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
3130, 25, 15, 20ngpds 22733 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
3224, 28, 29, 31syl3anc 1491 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
3323, 32eqtr3d 2833 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
34 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3534, 16grpsubcl 17808 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36353expb 1150 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
373, 36sylan 576 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3837, 11eleqtrrd 2879 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ 𝐴)
39 eqid 2797 . . . . . 6 (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
401, 30, 39subgnm2 22763 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ 𝐴) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
418, 38, 40syl2anc 580 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
4219, 33, 413eqtr4d 2841 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
4342ralrimivva 3150 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
44 eqid 2797 . . 3 (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
4539, 16, 44, 34isngp3 22727 . 2 (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦))))
463, 7, 43, 45syl3anbrc 1444 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  wss 3767  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  s cress 16182  distcds 16273  Grpcgrp 17735  -gcsg 17737  SubGrpcsubg 17898  MetSpcms 22448  normcnm 22706  NrmGrpcngp 22707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-tset 16283  df-ds 16286  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-topgen 16416  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-xms 22450  df-ms 22451  df-nm 22712  df-ngp 22713
This theorem is referenced by:  subrgnrg  22802  lssnlm  22830  cssbn  23498
  Copyright terms: Public domain W3C validator