MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tngngp2 24389
Description: A norm turns a group into a normed group iff the generated metric is in fact a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp2.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp2.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
tngngp2.d 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
tngngp2 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))))
Proof of Theorem tngngp2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 24328 . . . . 5 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝑇 ∈ Grp)
2 tngngp2.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
32fvexi 6904 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
4 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
5 fex2 7926 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) β†’ 𝑁 ∈ V)
63, 4, 5mp3an23 1451 . . . . . 6 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ 𝑁 ∈ V)
72a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ))
8 tngngp2.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
98, 2tngbas 24371 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
10 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
118, 10tngplusg 24373 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜π‘‡))
1211oveqdr 7439 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ V ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‡)𝑦))
137, 9, 12grppropd 18873 . . . . . 6 (𝑁 ∈ V β†’ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑇 ∈ Grp))
146, 13syl 17 . . . . 5 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑇 ∈ Grp))
151, 14imbitrrid 245 . . . 4 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp))
1615imp 405 . . 3 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
17 ngpms 24329 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝑇 ∈ MetSp)
1817adantl 480 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑇 ∈ MetSp)
19 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
20 tngngp2.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜π‘‡)
2119, 20msmet2 24186 . . . . 5 (𝑇 ∈ MetSp β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
2218, 21syl 17 . . . 4 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
23 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
242, 23grpsubf 18938 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
2516, 24syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
26 fco 6740 . . . . . . . 8 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (-gβ€˜πΊ):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2725, 26syldan 589 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
286adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑁 ∈ V)
298, 23tngds 24384 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
3120, 30eqtr4id 2789 . . . . . . . 8 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝐷 = (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)))
3231feq1d 6701 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ ↔ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)):(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
3327, 32mpbird 256 . . . . . 6 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
34 ffn 6716 . . . . . 6 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
35 fnresdm 6668 . . . . . 6 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
3633, 34, 353syl 18 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
3728, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
3837sqxpeqd 5707 . . . . . 6 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) = ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))
3938reseq2d 5980 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))
4036, 39eqtr3d 2772 . . . 4 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝐷 = (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))
4137fveq2d 6894 . . . 4 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (Metβ€˜π‘‹) = (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
4222, 40, 413eltr4d 2846 . . 3 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4316, 42jca 510 . 2 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)))
4414biimpa 475 . . . 4 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝐺 ∈ Grp) β†’ 𝑇 ∈ Grp)
4544adantrr 713 . . 3 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑇 ∈ Grp)
46 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
476adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑁 ∈ V)
4847, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘‡))
4948fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (Metβ€˜π‘‹) = (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
5046, 49eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
51 metf 24056 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)) β†’ 𝐷:((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))βŸΆβ„)
5250, 51syl 17 . . . . . 6 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐷:((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))βŸΆβ„)
53 ffn 6716 . . . . . 6 (𝐷:((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))βŸΆβ„ β†’ 𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))
54 fnresdm 6668 . . . . . 6 (𝐷 Fn ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) = 𝐷)
5552, 53, 543syl 18 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) = 𝐷)
5655, 50eqeltrd 2831 . . . 4 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
5755fveq2d 6894 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))) = (MetOpenβ€˜π·))
58 simprl 767 . . . . . 6 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
59 eqid 2730 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
608, 20, 59tngtopn 24387 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ V) β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
6158, 47, 60syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜π‘‡))
6257, 61eqtr2d 2771 . . . 4 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (TopOpenβ€˜π‘‡) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))))
63 eqid 2730 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘‡) = (TopOpenβ€˜π‘‡)
6420reseq1i 5976 . . . . 5 (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) = ((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))
6563, 19, 64isms2 24176 . . . 4 (𝑇 ∈ MetSp ↔ ((𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)) ∧ (TopOpenβ€˜π‘‡) = (MetOpenβ€˜(𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))))
6656, 62, 65sylanbrc 581 . . 3 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑇 ∈ MetSp)
67 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„)
688, 2, 4tngnm 24388 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:π‘‹βŸΆβ„) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))
6958, 67, 68syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑁 = (normβ€˜π‘‡))
707, 9eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‡))
7170, 11grpsubpropd 18964 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ V β†’ (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜π‘‡))
7247, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜π‘‡))
7369, 72coeq12d 5863 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = ((normβ€˜π‘‡) ∘ (-gβ€˜π‘‡)))
7447, 29syl 17 . . . . 5 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ (𝑁 ∘ (-gβ€˜πΊ)) = (distβ€˜π‘‡))
7573, 74eqtr3d 2772 . . . 4 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‡) ∘ (-gβ€˜π‘‡)) = (distβ€˜π‘‡))
76 eqimss 4039 . . . 4 (((normβ€˜π‘‡) ∘ (-gβ€˜π‘‡)) = (distβ€˜π‘‡) β†’ ((normβ€˜π‘‡) ∘ (-gβ€˜π‘‡)) βŠ† (distβ€˜π‘‡))
7775, 76syl 17 . . 3 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ ((normβ€˜π‘‡) ∘ (-gβ€˜π‘‡)) βŠ† (distβ€˜π‘‡))
78 eqid 2730 . . . 4 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
79 eqid 2730 . . . 4 (-gβ€˜π‘‡) = (-gβ€˜π‘‡)
80 eqid 2730 . . . 4 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
8178, 79, 80isngp 24325 . . 3 (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ MetSp ∧ ((normβ€˜π‘‡) ∘ (-gβ€˜π‘‡)) βŠ† (distβ€˜π‘‡)))
8245, 66, 77, 81syl3anbrc 1341 . 2 ((𝑁:π‘‹βŸΆβ„ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
8343, 82impbida 797 1 (𝑁:π‘‹βŸΆβ„ β†’ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  distcds 17210  TopOpenctopn 17371  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Metcmet 21130  MetOpencmopn 21134  MetSpcms 24044  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306   toNrmGrp ctng 24307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-ds 17223  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-tng 24313
This theorem is referenced by:  tngngpd  24390  tngngp  24391  nrmtngnrm  24395  tngngpim  24396  tngnrg  24411
  Copyright terms: Public domain W3C validator