Theorem tngngp2 24589

Description: A norm turns a group into a normed group iff the generated metric is in fact a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp2.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tngngp2	⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))

Proof of Theorem tngngp2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24536	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
2		tngngp2.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	fvexi 6889	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
4		reex 11218	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
5		fex2 7930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
6	3, 4, 5	mp3an23 1455	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
7	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝐺))
8		tngngp2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9	8, 2	tngbas 24578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
10		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	8, 10	tngplusg 24579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
12	11	oveqdr 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
13	7, 9, 12	grppropd 18932	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑇 ∈ Grp))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑇 ∈ Grp))
15	1, 14	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp))
16	15	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
17		ngpms 24537	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ MetSp)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑇 ∈ MetSp)
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
20		tngngp2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
21	19, 20	msmet2 24397	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
22	18, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
23		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
24	2, 23	grpsubf 19000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
25	16, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
26		fco 6729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
28	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 ∈ V)
29	8, 23	tngds 24585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
31	20, 30	eqtr4id 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
32	31	feq1d 6689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
33	27, 32	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
34		ffn 6705	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
35		fnresdm 6656	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
36	33, 34, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
37	28, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
38	37	sqxpeqd 5686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))
39	38	reseq2d 5966	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))))
40	36, 39	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷 = (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))))
41	37	fveq2d 6879	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝑇)))
42	22, 40, 41	3eltr4d 2849	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43	16, 42	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
44	14	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
45	44	adantrr 717	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑇 ∈ Grp)
46		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
47	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑁 ∈ V)
48	47, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
49	48	fveq2d 6879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝑇)))
50	46, 49	eleqtrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
51		metf 24267	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑇)) → 𝐷:((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))⟶ℝ)
52		ffn 6705	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))⟶ℝ → 𝐷 Fn ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))
53		fnresdm 6656	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Fn ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) = 𝐷)
54	50, 51, 52, 53	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) = 𝐷)
55	54, 50	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
56	54	fveq2d 6879	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))) = (MetOpen‘𝐷))
57		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
58		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
59	8, 20, 58	tngtopn 24587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝑇))
60	57, 47, 59	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝑇))
61	56, 60	eqtr2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (TopOpen‘𝑇) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))))
62		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇)
63	20	reseq1i 5962	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) = ((dist‘𝑇) ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))
64	62, 19, 63	isms2 24387	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ MetSp ↔ ((𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)) ∧ (TopOpen‘𝑇) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))))))
65	55, 61, 64	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑇 ∈ MetSp)
66		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
67	8, 2, 4	tngnm 24588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ) → 𝑁 = (norm‘𝑇))
68	57, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑁 = (norm‘𝑇))
69	7, 9	eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
70	69, 11	grpsubpropd 19026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑇))
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑇))
72	68, 71	coeq12d 5844	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)))
73	47, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
74	72, 73	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) = (dist‘𝑇))
75		eqimss 4017	. . . 4 ⊢ (((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) = (dist‘𝑇) → ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) ⊆ (dist‘𝑇))
76	74, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) ⊆ (dist‘𝑇))
77		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
78		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑇) = (-g‘𝑇)
79		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
80	77, 78, 79	isngp 24533	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) ⊆ (dist‘𝑇)))
81	45, 65, 76, 80	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
82	43, 81	impbida 800	1 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   × cxp 5652   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  Basecbs 17226  +_gcplusg 17269  distcds 17278  TopOpenctopn 17433  Grpcgrp 18914  -_gcsg 18916  Metcmet 21299  MetOpencmopn 21303  MetSpcms 24255  normcnm 24513  NrmGrpcngp 24514   toNrmGrp ctng 24515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-tset 17288  df-ds 17291  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-topgen 17455  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-xms 24257  df-ms 24258  df-nm 24519  df-ngp 24520  df-tng 24521

This theorem is referenced by:  tngngpd  24590  tngngp  24591  nrmtngnrm  24595  tngngpim  24596  tngnrg  24611