Theorem tngngp2 24605

Description: A norm turns a group into a normed group iff the generated metric is in fact a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp2.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
tngngp2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
tngngp2	⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))

Proof of Theorem tngngp2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24552	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
2		tngngp2.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3	2	fvexi 6843	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
4		reex 11118	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
5		fex2 7876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → 𝑁 ∈ V)
6	3, 4, 5	mp3an23 1456	. . . . . 6 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → 𝑁 ∈ V)
7	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝐺))
8		tngngp2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
9	8, 2	tngbas 24594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → 𝑋 = (Base‘𝑇))
10		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11	8, 10	tngplusg 24595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑇))
12	11	oveqdr 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑇)𝑦))
13	7, 9, 12	grppropd 18916	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑇 ∈ Grp))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑇 ∈ Grp))
15	1, 14	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp))
16	15	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐺 ∈ Grp)
17		ngpms 24553	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ MetSp)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑇 ∈ MetSp)
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
20		tngngp2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑇)
21	19, 20	msmet2 24413	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
22	18, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
23		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
24	2, 23	grpsubf 18984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
25	16, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
26		fco 6681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (-g‘𝐺):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
27	25, 26	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
28	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑁 ∈ V)
29	8, 23	tngds 24601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
31	20, 30	eqtr4id 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷 = (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)))
32	31	feq1d 6639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
33	27, 32	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
34		ffn 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
35		fnresdm 6606	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
36	33, 34, 35	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
37	28, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
38	37	sqxpeqd 5652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))
39	38	reseq2d 5933	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))))
40	36, 39	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷 = (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))))
41	37	fveq2d 6833	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝑇)))
42	22, 40, 41	3eltr4d 2850	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43	16, 42	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
44	14	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
45	44	adantrr 718	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑇 ∈ Grp)
46		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
47	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑁 ∈ V)
48	47, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑋 = (Base‘𝑇))
49	48	fveq2d 6833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝑇)))
50	46, 49	eleqtrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
51		metf 24283	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘(Base‘𝑇)) → 𝐷:((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))⟶ℝ)
52		ffn 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝐷:((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))⟶ℝ → 𝐷 Fn ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))
53		fnresdm 6606	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 Fn ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) = 𝐷)
54	50, 51, 52, 53	4syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) = 𝐷)
55	54, 50	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)))
56	54	fveq2d 6833	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))) = (MetOpen‘𝐷))
57		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
58		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
59	8, 20, 58	tngtopn 24603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝑇))
60	57, 47, 59	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝑇))
61	56, 60	eqtr2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (TopOpen‘𝑇) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))))
62		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑇) = (TopOpen‘𝑇)
63	20	reseq1i 5929	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) = ((dist‘𝑇) ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇)))
64	62, 19, 63	isms2 24403	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ MetSp ↔ ((𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))) ∈ (Met‘(Base‘𝑇)) ∧ (TopOpen‘𝑇) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ ((Base‘𝑇) × (Base‘𝑇))))))
65	55, 61, 64	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑇 ∈ MetSp)
66		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
67	8, 2, 4	tngnm 24604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁:𝑋⟶ℝ) → 𝑁 = (norm‘𝑇))
68	57, 66, 67	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑁 = (norm‘𝑇))
69	7, 9	eqtr3d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑇))
70	69, 11	grpsubpropd 19010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ V → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑇))
71	47, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑇))
72	68, 71	coeq12d 5808	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)))
73	47, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → (𝑁 ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
74	72, 73	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) = (dist‘𝑇))
75		eqimss 3975	. . . 4 ⊢ (((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) = (dist‘𝑇) → ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) ⊆ (dist‘𝑇))
76	74, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) ⊆ (dist‘𝑇))
77		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
78		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑇) = (-g‘𝑇)
79		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
80	77, 78, 79	isngp 24549	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑇 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑇) ∘ (-g‘𝑇)) ⊆ (dist‘𝑇)))
81	45, 65, 76, 80	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
82	43, 81	impbida 801	1 ⊢ (𝑁:𝑋⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427   ⊆ wss 3885   × cxp 5618   ↾ cres 5622   ∘ ccom 5624   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  distcds 17218  TopOpenctopn 17373  Grpcgrp 18898  -_gcsg 18900  Metcmet 21327  MetOpencmopn 21331  MetSpcms 24271  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530   toNrmGrp ctng 24531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-tset 17228  df-ds 17231  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-topgen 17395  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-xms 24273  df-ms 24274  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-tng 24537

This theorem is referenced by:  tngngpd  24606  tngngp  24607  nrmtngnrm  24611  tngngpim  24612  tngnrg  24627