MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nghmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nghmcn 24680
Description: A normed group homomorphism is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nghmcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
nghmcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nghmcn (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nghmcn
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nghmghm 24669 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
42, 3ghmf 19179 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
51, 4syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
6 simprr 771 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
7 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (𝑆 normOp 𝑇) = (𝑆 normOp 𝑇)
87nghmcl 24662 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ ((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) ∈ ℝ)
9 nghmrcl1 24667 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
10 nghmrcl2 24668 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
117nmoge0 24656 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ 0 ≀ ((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ))
129, 10, 1, 11syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 0 ≀ ((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ))
138, 12ge0p1rpd 13084 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) ∈ ℝ+)
1413adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) ∈ ℝ+)
156, 14rpdivcld 13071 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) ∈ ℝ+)
16 ngpms 24527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ 𝑆 ∈ MetSp)
179, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ MetSp)
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ MetSp)
19 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
20 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
21 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (distβ€˜π‘†) = (distβ€˜π‘†)
222, 21mscl 24385 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ MetSp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦) ∈ ℝ)
2318, 19, 20, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦) ∈ ℝ)
246adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
2524rpred 13054 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
2613ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) ∈ ℝ+)
2723, 25, 26ltmuldiv2d 13102 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) < π‘Ÿ ↔ (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1))))
28 ngpms 24527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ 𝑇 ∈ MetSp)
2910, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ MetSp)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ MetSp)
315ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
3231, 19ffvelcdmd 7098 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
3331, 20ffvelcdmd 7098 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
34 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜π‘‡)
353, 34mscl 24385 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ MetSp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
3630, 32, 33, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
378ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) ∈ ℝ)
3837, 23remulcld 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) ∈ ℝ)
3926rpred 13054 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) ∈ ℝ)
4039, 23remulcld 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) ∈ ℝ)
417, 2, 21, 34nmods 24679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)))
42413expa 1115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)))
4342adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)))
44 msxms 24378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ MetSp β†’ 𝑆 ∈ ∞MetSp)
4518, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ ∞MetSp)
462, 21xmsge0 24387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ ∞MetSp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦))
4745, 19, 20, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 0 ≀ (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦))
4837lep1d 12181 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) ≀ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1))
4937, 39, 23, 47, 48lemul1ad 12189 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) ≀ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)))
5036, 38, 40, 43, 49letrd 11407 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)))
51 lelttr 11340 . . . . . . . . . 10 ((((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) ∧ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) < π‘Ÿ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5236, 40, 25, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) ∧ ((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) < π‘Ÿ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5350, 52mpand 693 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1) Β· (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦)) < π‘Ÿ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5427, 53sylbird 259 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5519, 20ovresd 7592 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) = (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦))
5655breq1d 5160 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) ↔ (π‘₯(distβ€˜π‘†)𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1))))
5732, 33ovresd 7592 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)))
5857breq1d 5160 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘‡)(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
5954, 56, 583imtr4d 293 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6059ralrimiva 3142 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
61 breq2 5154 . . . . . 6 (𝑠 = (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) β†’ ((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < 𝑠 ↔ (π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1))))
6261rspceaimv 3615 . . . . 5 (((π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < (π‘Ÿ / (((𝑆 normOp 𝑇)β€˜πΉ) + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6315, 60, 62syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
6463ralrimivva 3196 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))
65 eqid 2727 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†))) = ((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))
662, 65xmsxmet 24380 . . . . 5 (𝑆 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘†)))
6717, 44, 663syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ ((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘†)))
68 msxms 24378 . . . . 5 (𝑇 ∈ MetSp β†’ 𝑇 ∈ ∞MetSp)
69 eqid 2727 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) = ((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))
703, 69xmsxmet 24380 . . . . 5 (𝑇 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
7129, 68, 703syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ ((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡)))
72 eqid 2727 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†))))
73 eqid 2727 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))
7472, 73metcn 24470 . . . 4 ((((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘†)) ∧ ((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘‡))) β†’ (𝐹 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))) ↔ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
7567, 71, 74syl2anc 582 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (𝐹 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))) ↔ (𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘†)((π‘₯((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))𝑦) < 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))(πΉβ€˜π‘¦)) < π‘Ÿ))))
765, 64, 75mpbir2and 711 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))))
77 nghmcn.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
7877, 2, 65mstopn 24376 . . . 4 (𝑆 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))))
7917, 78syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))))
80 nghmcn.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpenβ€˜π‘‡)
8180, 3, 69mstopn 24376 . . . 4 (𝑇 ∈ MetSp β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))))
8229, 81syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡)))))
8379, 82oveq12d 7442 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘†) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘†) Γ— (Baseβ€˜π‘†)))) Cn (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘‡) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘‡) Γ— (Baseβ€˜π‘‡))))))
8476, 83eleqtrrd 2831 1 (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066   class class class wbr 5150   Γ— cxp 5678   β†Ύ cres 5682  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   Β· cmul 11149   < clt 11284   ≀ cle 11285   / cdiv 11907  β„+crp 13012  Basecbs 17185  distcds 17247  TopOpenctopn 17408   GrpHom cghm 19172  βˆžMetcxmet 21269  MetOpencmopn 21274   Cn ccn 23146  βˆžMetSpcxms 24241  MetSpcms 24242  NrmGrpcngp 24504   normOp cnmo 24640   NGHom cnghm 24641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ico 13368  df-0g 17428  df-topgen 17430  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-ghm 19173  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-xms 24244  df-ms 24245  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-nmo 24643  df-nghm 24644
This theorem is referenced by:  nmhmcn  25065
  Copyright terms: Public domain W3C validator