MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcn 23158
Description: The norm of a normed group is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcn.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
nmcn.k 𝐾 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcn (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcn.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 eqid 2778 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2778 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
51, 2, 3, 4nmfval 22904 . 2 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
6 nmcn.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7 nmcn.k . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8 ngpms 22915 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
9 ngptps 22917 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
102, 6istps 21249 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
119, 10sylib 210 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
1211cnmptid 21976 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
13 ngpgrp 22914 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
142, 3grpidcl 17922 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
1611, 11, 15cnmptc 21977 . . 3 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (0g𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
174, 6, 7, 8, 11, 12, 16cnmpt1ds 23156 . 2 (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g𝐺))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
185, 17syl5eqel 2870 1 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  cmpt 5009  ran crn 5409  cfv 6190  (class class class)co 6978  (,)cioo 12557  Basecbs 16342  distcds 16433  TopOpenctopn 16554  topGenctg 16570  0gc0g 16572  Grpcgrp 17894  TopOnctopon 21225  TopSpctps 21247   Cn ccn 21539  normcnm 22892  NrmGrpcngp 22893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-ec 8093  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ioc 12562  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-ordt 16633  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-ps 17671  df-tsr 17672  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-mulg 18015  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-nm 22898  df-ngp 22899
This theorem is referenced by:  ngnmcncn  23159  abscn  23160
  Copyright terms: Public domain W3C validator