MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcn 24753
Description: The norm of a normed group is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcn.n ๐‘ = (normโ€˜๐บ)
nmcn.j ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
nmcn.k ๐พ = (topGenโ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
nmcn (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))

Proof of Theorem nmcn
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcn.n . . 3 ๐‘ = (normโ€˜๐บ)
2 eqid 2728 . . 3 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
3 eqid 2728 . . 3 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
4 eqid 2728 . . 3 (distโ€˜๐บ) = (distโ€˜๐บ)
51, 2, 3, 4nmfval 24490 . 2 ๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)(0gโ€˜๐บ)))
6 nmcn.j . . 3 ๐ฝ = (TopOpenโ€˜๐บ)
7 nmcn.k . . 3 ๐พ = (topGenโ€˜ran (,))
8 ngpms 24502 . . 3 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐บ โˆˆ MetSp)
9 ngptps 24504 . . . 4 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
102, 6istps 22829 . . . 4 (๐บ โˆˆ TopSp โ†” ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
119, 10sylib 217 . . 3 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
1211cnmptid 23558 . . 3 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ๐‘ฅ) โˆˆ (๐ฝ Cn ๐ฝ))
13 ngpgrp 24501 . . . . 5 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
142, 3grpidcl 18915 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
1513, 14syl 17 . . . 4 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ (0gโ€˜๐บ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
1611, 11, 15cnmptc 23559 . . 3 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (0gโ€˜๐บ)) โˆˆ (๐ฝ Cn ๐ฝ))
174, 6, 7, 8, 11, 12, 16cnmpt1ds 24751 . 2 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)(0gโ€˜๐บ))) โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
185, 17eqeltrid 2833 1 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐ฝ Cn ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ†ฆ cmpt 5225  ran crn 5673  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  (,)cioo 13350  Basecbs 17173  distcds 17235  TopOpenctopn 17396  topGenctg 17412  0gc0g 17414  Grpcgrp 18883  TopOnctopon 22805  TopSpctps 22827   Cn ccn 23121  normcnm 24478  NrmGrpcngp 24479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-ordt 17476  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-ps 18551  df-tsr 18552  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-nm 24484  df-ngp 24485
This theorem is referenced by:  ngnmcncn  24754  abscn  24755
  Copyright terms: Public domain W3C validator