Theorem nmcn 24971

Description: The norm of a normed group is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
nmcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcn	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	nmfval 24714	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
6		nmcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7		nmcn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		ngpms 24726	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
9		ngptps 24728	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
10	2, 6	istps 23060	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
12	11	cnmptid 23787	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
13		ngpgrp 24725	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
14	2, 3	grpidcl 19032	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	11, 11, 15	cnmptc 23788	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
17	4, 6, 7, 8, 11, 12, 16	cnmpt1ds 24969	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
18	5, 17	eqeltrid 2873	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  (,)cioo 13372  Basecbs 17269  distcds 17319  TopOpenctopn 17474  topGenctg 17490  0_gc0g 17492  Grpcgrp 19000  TopOnctopon 23036  TopSpctps 23058   Cn ccn 23350  normcnm 24702  NrmGrpcngp 24703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-ordt 17555  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-nm 24708  df-ngp 24709

This theorem is referenced by:  ngnmcncn  24972  abscn  24973