Theorem nmcn 25072

Description: The norm of a normed group is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
nmcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcn	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	nmfval 24815	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
6		nmcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7		nmcn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		ngpms 24827	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
9		ngptps 24829	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
10	2, 6	istps 23160	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
12	11	cnmptid 23888	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
13		ngpgrp 24826	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
14	2, 3	grpidcl 19090	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	11, 11, 15	cnmptc 23889	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
17	4, 6, 7, 8, 11, 12, 16	cnmpt1ds 25070	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
18	5, 17	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  (,)cioo 13399  Basecbs 17302  distcds 17352  TopOpenctopn 17507  topGenctg 17523  0_gc0g 17525  Grpcgrp 19058  TopOnctopon 23136  TopSpctps 23158   Cn ccn 23450  normcnm 24803  NrmGrpcngp 24804

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-ec 8699  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-ordt 17588  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-ps 18655  df-tsr 18656  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-nm 24809  df-ngp 24810

This theorem is used by:  ngnmcncn  25073  abscn  25074