Theorem nmcn 23158

Description: The norm of a normed group is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
nmcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcn	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2778	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	nmfval 22904	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
6		nmcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7		nmcn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		ngpms 22915	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
9		ngptps 22917	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
10	2, 6	istps 21249	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	9, 10	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
12	11	cnmptid 21976	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
13		ngpgrp 22914	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
14	2, 3	grpidcl 17922	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	11, 11, 15	cnmptc 21977	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
17	4, 6, 7, 8, 11, 12, 16	cnmpt1ds 23156	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
18	5, 17	syl5eqel 2870	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ↦ cmpt 5009  ran crn 5409  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  (,)cioo 12557  Basecbs 16342  distcds 16433  TopOpenctopn 16554  topGenctg 16570  0_gc0g 16572  Grpcgrp 17894  TopOnctopon 21225  TopSpctps 21247   Cn ccn 21539  normcnm 22892  NrmGrpcngp 22893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-ec 8093  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-fi 8672  df-sup 8703  df-inf 8704  df-oi 8771  df-card 9164  df-cda 9390  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ioo 12561  df-ioc 12562  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-hom 16448  df-cco 16449  df-rest 16555  df-topn 16556  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-topgen 16576  df-pt 16577  df-prds 16580  df-ordt 16633  df-xrs 16634  df-qtop 16639  df-imas 16640  df-xps 16642  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-ps 17671  df-tsr 17672  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-mulg 18015  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-cn 21542  df-cnp 21543  df-tx 21877  df-hmeo 22070  df-xms 22636  df-ms 22637  df-tms 22638  df-nm 22898  df-ngp 22899

This theorem is referenced by:  ngnmcncn  23159  abscn  23160