Theorem nmcn 25002

Description: The norm of a normed group is a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcn.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
nmcn.k	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
nmcn	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	nmfval 24745	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
6		nmcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7		nmcn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8		ngpms 24757	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
9		ngptps 24759	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
10	2, 6	istps 23091	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
12	11	cnmptid 23818	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
13		ngpgrp 24756	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
14	2, 3	grpidcl 19027	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
16	11, 11, 15	cnmptc 23819	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
17	4, 6, 7, 8, 11, 12, 16	cnmpt1ds 25000	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
18	5, 17	eqeltrid 2867	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  (,)cioo 13367  Basecbs 17264  distcds 17314  TopOpenctopn 17469  topGenctg 17485  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  TopOnctopon 23067  TopSpctps 23089   Cn ccn 23381  normcnm 24733  NrmGrpcngp 24734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-ec 8692  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-ordt 17550  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-ps 18617  df-tsr 18618  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-nm 24739  df-ngp 24740

This theorem is referenced by:  ngnmcncn  25003  abscn  25004