Theorem minveclem3 25385

Description: Lemma for minvec 25392. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})

Assertion

Ref	Expression
minveclem3	⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   − (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3

Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2		2z 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		rpexpcl 14003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5	4	rphalfcld 12961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6		4nn 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		nnrp 12917	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 12932	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		rabexg 5282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
17	16	breq2d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
18	17	rabbidv 3406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
19	15, 18	elrnmpt1s 5908	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
20	10, 14, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21		minvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22	20, 21	eleqtrrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
24	23	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
25	24	breq1d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
26	25	elrab 3646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27		oveq2 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
28	27	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
29	28	breq1d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
30	29	elrab 3646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
31	26, 30	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑌)
33		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
34	32, 33	ovresd 7525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35		minvec.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
36		cphngp 25129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37		ngpms 24544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38		minvec.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
39		minvec.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
40	38, 39	msmet 24401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
41	35, 36, 37, 40	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44	38, 43	lssss 20887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
47	46, 32	sseldd 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
48	46, 33	sseldd 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
49		metcl 24276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
50	42, 47, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
51	50	resqcld 14048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
52	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 12949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
54	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
55	54	rpred 12949	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56		minvec.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑈)
57		minvec.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
58	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
59	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
62		minvec.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
63	62	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
64		minvec.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65		minvec.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
66		minvec.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
67	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
68	67	rpred 12949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
69	67	rpge0d 12953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71		simprrr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
72	38, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71	minveclem2 25382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
73	52	rpcnd 12951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74		4cn 12230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76		4ne0 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 0
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
78	73, 75, 77	divcan2d 11919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
79	72, 78	breqtrd 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80		rphalflt 12936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
81	54, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
82	51, 53, 55, 79, 81	lelttrd 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83		rpre 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 𝑠 ∈ ℝ)
84	83	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85		metge0 24289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
86	42, 47, 48, 85	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87		rpge0 12919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
88	87	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
89	50, 84, 86, 88	lt2sqd 14179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
90	82, 89	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
91	34, 90	eqbrtrd 5120	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
92	31, 91	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
93	92	ralrimivva 3179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94		raleq 3293	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
95	94	raleqbi1dv 3308	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
96	95	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
97	22, 93, 96	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
98	97	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
99	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39	minveclem3a 25383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100		cmetmet 25242	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101		metxmet 24278	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
102	99, 100, 101	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
103	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21	minveclem3b 25384	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104		fgcfil 25227	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105	102, 103, 104	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
106	98, 105	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  infcinf 9344  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  4c4 12202  ℤcz 12488  ℝ⁺crp 12905  ↑cexp 13984  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  distcds 17186  TopOpenctopn 17341  -_gcsg 18865  LSubSpclss 20882  ∞Metcxmet 21294  Metcmet 21295  fBascfbas 21297  filGencfg 21298  MetSpcms 24262  normcnm 24520  NrmGrpcngp 24521  ℂPreHilccph 25122  CauFilccfil 25208  CMetccmet 25210  CMetSpccms 25288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ico 13267  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-topgen 17363  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-staf 20772  df-srng 20773  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lmhm 20974  df-lvec 21055  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-phl 21581  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-fil 23790  df-xms 24264  df-ms 24265  df-nm 24526  df-ngp 24527  df-nlm 24530  df-clm 25019  df-cph 25124  df-cfil 25211  df-cmet 25213  df-cms 25291

This theorem is referenced by:  minveclem4a  25386