MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem3 24937
Description: Lemma for minvec 24944. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,π‘Ÿ,𝐴   𝐽,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   πœ‘,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝐷,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   βˆ’ (π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)
Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables 𝑀 𝑠 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
2 2z 12590 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
3 rpexpcl 14042 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
54rphalfcld 13024 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6 4nn 12291 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•
7 nnrp 12981 . . . . . . . 8 (4 ∈ β„• β†’ 4 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12995 . . . . . . 7 ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
105, 8, 9sylancl 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11 minvec.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 rabexg 5330 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
16 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
1716breq2d 5159 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
1817rabbidv 3440 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
1915, 18elrnmpt1s 5954 . . . . . 6 (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
2010, 14, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
21 minvec.f . . . . 5 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
2220, 21eleqtrrdi 2844 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑒 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑒))
2423oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑒)↑2))
2524breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑒 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
2625elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
2827oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
2928breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3029elrab 3682 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3126, 30anbi12i 627 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32 simprll 777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
33 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
3432, 33ovresd 7570 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
36 cphngp 24681 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
37 ngpms 24100 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
4038, 39msmet 23954 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4438, 43lssss 20539 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4746, 32sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
4846, 33sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
49 metcl 23829 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5042, 47, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5150resqcld 14086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
525adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
5352rpred 13012 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
544adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5554rpred 13012 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
5835ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
5911ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6710adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
6867rpred 13012 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
6967rpge0d 13016 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 24934 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7352rpcnd 13014 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ β„‚)
74 4cn 12293 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 ∈ β„‚)
76 4ne0 12316 . . . . . . . . . . . 12 4 β‰  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 β‰  0)
7873, 75, 77divcan2d 11988 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
7972, 78breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑠↑2) / 2))
80 rphalflt 12999 . . . . . . . . . 10 ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 11368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83 rpre 12978 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
85 metge0 23842 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
8642, 47, 48, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
87 rpge0 12983 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑠)
8887ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ 𝑠)
8950, 84, 86, 88lt2sqd 14215 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
9082, 89mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
9134, 90eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9231, 91sylan2b 594 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9392ralrimivva 3200 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
94 raleq 3322 . . . . . 6 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9594raleqbi1dv 3333 . . . . 5 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9695rspcev 3612 . . . 4 (({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9722, 93, 96syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9897ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 24935 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
100 cmetmet 24794 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
101 metxmet 23831 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 24936 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
104 fgcfil 24779 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
105102, 103, 104syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
10698, 105mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  infcinf 9432  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  4c4 12265  β„€cz 12554  β„+crp 12970  β†‘cexp 14023  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  distcds 17202  TopOpenctopn 17363  -gcsg 18817  LSubSpclss 20534  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  fBascfbas 20924  filGencfg 20925  MetSpcms 23815  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  β„‚PreHilccph 24674  CauFilccfil 24760  CMetccmet 24762  CMetSpccms 24840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-phl 21170  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-fil 23341  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086  df-clm 24570  df-cph 24676  df-cfil 24763  df-cmet 24765  df-cms 24843
This theorem is referenced by:  minveclem4a  24938
  Copyright terms: Public domain W3C validator