MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem3 24809
Description: Lemma for minvec 24816. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,π‘Ÿ,𝐴   𝐽,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   πœ‘,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝐷,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   βˆ’ (π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables 𝑀 𝑠 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
2 2z 12542 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
3 rpexpcl 13993 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3sylancl 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
54rphalfcld 12976 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6 4nn 12243 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•
7 nnrp 12933 . . . . . . . 8 (4 ∈ β„• β†’ 4 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12947 . . . . . . 7 ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
105, 8, 9sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11 minvec.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 rabexg 5293 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
16 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
1716breq2d 5122 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
1817rabbidv 3418 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
1915, 18elrnmpt1s 5917 . . . . . 6 (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
2010, 14, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
21 minvec.f . . . . 5 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
2220, 21eleqtrrdi 2849 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑒 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑒))
2423oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑒)↑2))
2524breq1d 5120 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑒 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
2625elrab 3650 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
2827oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
2928breq1d 5120 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3029elrab 3650 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3126, 30anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32 simprll 778 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
33 simprrl 780 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
3432, 33ovresd 7526 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
36 cphngp 24553 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
37 ngpms 23972 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
4038, 39msmet 23826 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4438, 43lssss 20413 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4746, 32sseldd 3950 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
4846, 33sseldd 3950 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
49 metcl 23701 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5042, 47, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5150resqcld 14037 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
525adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
5352rpred 12964 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
544adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5554rpred 12964 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
5835ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
5911ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6710adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
6867rpred 12964 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
6967rpge0d 12968 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 24806 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7352rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ β„‚)
74 4cn 12245 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 ∈ β„‚)
76 4ne0 12268 . . . . . . . . . . . 12 4 β‰  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 β‰  0)
7873, 75, 77divcan2d 11940 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
7972, 78breqtrd 5136 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑠↑2) / 2))
80 rphalflt 12951 . . . . . . . . . 10 ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 11320 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83 rpre 12930 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
8483ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
85 metge0 23714 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
8642, 47, 48, 85syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
87 rpge0 12935 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑠)
8887ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ 𝑠)
8950, 84, 86, 88lt2sqd 14166 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
9082, 89mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
9134, 90eqbrtrd 5132 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9231, 91sylan2b 595 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9392ralrimivva 3198 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
94 raleq 3312 . . . . . 6 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9594raleqbi1dv 3310 . . . . 5 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9695rspcev 3584 . . . 4 (({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9722, 93, 96syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9897ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 24807 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
100 cmetmet 24666 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
101 metxmet 23703 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 24808 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
104 fgcfil 24651 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
105102, 103, 104syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
10698, 105mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  β„€cz 12506  β„+crp 12922  β†‘cexp 13974  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  distcds 17149  TopOpenctopn 17310  -gcsg 18757  LSubSpclss 20408  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  MetSpcms 23687  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949  β„‚PreHilccph 24546  CauFilccfil 24632  CMetccmet 24634  CMetSpccms 24712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-staf 20320  df-srng 20321  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lmhm 20499  df-lvec 20580  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-phl 21046  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-fil 23213  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nlm 23958  df-clm 24442  df-cph 24548  df-cfil 24635  df-cmet 24637  df-cms 24715
This theorem is referenced by:  minveclem4a  24810
  Copyright terms: Public domain W3C validator