MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem3 25312
Description: Lemma for minvec 25319. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,π‘Ÿ,𝐴   𝐽,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   πœ‘,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝐷,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   βˆ’ (π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)
Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables 𝑀 𝑠 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
2 2z 12598 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
3 rpexpcl 14051 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3sylancl 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
54rphalfcld 13034 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6 4nn 12299 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•
7 nnrp 12991 . . . . . . . 8 (4 ∈ β„• β†’ 4 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 13005 . . . . . . 7 ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
105, 8, 9sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11 minvec.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 rabexg 5324 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
16 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
1716breq2d 5153 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
1817rabbidv 3434 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
1915, 18elrnmpt1s 5950 . . . . . 6 (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
2010, 14, 19syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
21 minvec.f . . . . 5 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
2220, 21eleqtrrdi 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑒 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑒))
2423oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑒)↑2))
2524breq1d 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑒 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
2625elrab 3678 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
2827oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
2928breq1d 5151 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3029elrab 3678 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3126, 30anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32 simprll 776 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
33 simprrl 778 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
3432, 33ovresd 7571 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
36 cphngp 25056 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
37 ngpms 24464 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
4038, 39msmet 24318 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4438, 43lssss 20783 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4746, 32sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
4846, 33sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
49 metcl 24193 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5042, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5150resqcld 14095 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
525adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
5352rpred 13022 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
544adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5554rpred 13022 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
5835ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
5911ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6362ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6710adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
6867rpred 13022 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
6967rpge0d 13026 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70 simprlr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71 simprrr 779 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 25309 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7352rpcnd 13024 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ β„‚)
74 4cn 12301 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 ∈ β„‚)
76 4ne0 12324 . . . . . . . . . . . 12 4 β‰  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 β‰  0)
7873, 75, 77divcan2d 11996 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
7972, 78breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑠↑2) / 2))
80 rphalflt 13009 . . . . . . . . . 10 ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 11376 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83 rpre 12988 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
8483ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
85 metge0 24206 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
8642, 47, 48, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
87 rpge0 12993 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑠)
8887ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ 𝑠)
8950, 84, 86, 88lt2sqd 14224 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
9082, 89mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
9134, 90eqbrtrd 5163 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9231, 91sylan2b 593 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9392ralrimivva 3194 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
94 raleq 3316 . . . . . 6 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9594raleqbi1dv 3327 . . . . 5 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9695rspcev 3606 . . . 4 (({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9722, 93, 96syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9897ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 25310 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
100 cmetmet 25169 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
101 metxmet 24195 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 25311 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
104 fgcfil 25154 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
105102, 103, 104syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
10698, 105mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  β„€cz 12562  β„+crp 12980  β†‘cexp 14032  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  distcds 17215  TopOpenctopn 17376  -gcsg 18865  LSubSpclss 20778  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  fBascfbas 21228  filGencfg 21229  MetSpcms 24179  normcnm 24440  NrmGrpcngp 24441  β„‚PreHilccph 25049  CauFilccfil 25135  CMetccmet 25137  CMetSpccms 25215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lmhm 20870  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-phl 21519  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-fil 23705  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nlm 24450  df-clm 24945  df-cph 25051  df-cfil 25138  df-cmet 25140  df-cms 25218
This theorem is referenced by:  minveclem4a  25313
  Copyright terms: Public domain W3C validator