Theorem minveclem3 25401

Description: Lemma for minvec 25408. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})

Assertion

Ref	Expression
minveclem3	⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   − (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3

Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2		2z 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		rpexpcl 14081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5	4	rphalfcld 13063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6		4nn 12328	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		nnrp 13020	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 13034	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	11	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		rabexg 5334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16		oveq2 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
17	16	breq2d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
18	17	rabbidv 3426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
19	15, 18	elrnmpt1s 5959	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
20	10, 14, 19	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21		minvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22	20, 21	eleqtrrdi 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
24	23	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
25	24	breq1d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
26	25	elrab 3679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
28	27	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
29	28	breq1d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
30	29	elrab 3679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
31	26, 30	anbi12i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑌)
33		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
34	32, 33	ovresd 7588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35		minvec.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
36		cphngp 25145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37		ngpms 24553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38		minvec.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
39		minvec.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
40	38, 39	msmet 24407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
41	35, 36, 37, 40	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43		eqid 2725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44	38, 43	lssss 20832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
47	46, 32	sseldd 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
48	46, 33	sseldd 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
49		metcl 24282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
50	42, 47, 48, 49	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
51	50	resqcld 14125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
52	5	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 13051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
54	4	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
55	54	rpred 13051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56		minvec.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑈)
57		minvec.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
58	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
59	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
61	60	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
62		minvec.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
63	62	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
64		minvec.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65		minvec.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
66		minvec.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
67	10	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
68	67	rpred 13051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
69	67	rpge0d 13055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70		simprlr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71		simprrr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
72	38, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71	minveclem2 25398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
73	52	rpcnd 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74		4cn 12330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76		4ne0 12353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 0
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
78	73, 75, 77	divcan2d 12025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
79	72, 78	breqtrd 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80		rphalflt 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
81	54, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
82	51, 53, 55, 79, 81	lelttrd 11404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83		rpre 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 𝑠 ∈ ℝ)
84	83	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85		metge0 24295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
86	42, 47, 48, 85	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87		rpge0 13022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
88	87	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
89	50, 84, 86, 88	lt2sqd 14254	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
90	82, 89	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
91	34, 90	eqbrtrd 5171	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
92	31, 91	sylan2b 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
93	92	ralrimivva 3190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94		raleq 3311	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
95	94	raleqbi1dv 3322	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
96	95	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
97	22, 93, 96	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
98	97	ralrimiva 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
99	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39	minveclem3a 25399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100		cmetmet 25258	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101		metxmet 24284	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
102	99, 100, 101	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
103	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21	minveclem3b 25400	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104		fgcfil 25243	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105	102, 103, 104	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
106	98, 105	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   × cxp 5676  ran crn 5679   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9466  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280   ≤ cle 11281   / cdiv 11903  ℕcn 12245  2c2 12300  4c4 12302  ℤcz 12591  ℝ⁺crp 13009  ↑cexp 14062  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  distcds 17245  TopOpenctopn 17406  -_gcsg 18900  LSubSpclss 20827  ∞Metcxmet 21281  Metcmet 21282  fBascfbas 21284  filGencfg 21285  MetSpcms 24268  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530  ℂPreHilccph 25138  CauFilccfil 25224  CMetccmet 25226  CMetSpccms 25304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ico 13365  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-topgen 17428  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-staf 20737  df-srng 20738  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lmhm 20919  df-lvec 21000  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-phl 21575  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-fil 23794  df-xms 24270  df-ms 24271  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nlm 24539  df-clm 25034  df-cph 25140  df-cfil 25227  df-cmet 25229  df-cms 25307

This theorem is referenced by:  minveclem4a  25402