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Theorem minveclem3 24793
Description: Lemma for minvec 24800. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2 2z 12535 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
3 rpexpcl 13986 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
54rphalfcld 12969 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6 4nn 12236 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
7 nnrp 12926 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12940 . . . . . . 7 ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
105, 8, 9sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 rabexg 5288 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
1716breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
1817rabbidv 3415 . . . . . . 7 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
1915, 18elrnmpt1s 5912 . . . . . 6 (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
2010, 14, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21 minvec.f . . . . 5 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2220, 21eleqtrrdi 2849 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
2423oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
2524breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
2625elrab 3645 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
2827oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
2928breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3029elrab 3645 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3126, 30anbi12i 627 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32 simprll 777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢𝑌)
33 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣𝑌)
3432, 33ovresd 7521 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
36 cphngp 24537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37 ngpms 23956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (Base‘𝑈)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4038, 39msmet 23810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4438, 43lssss 20397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝑋)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌𝑋)
4746, 32sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢𝑋)
4846, 33sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣𝑋)
49 metcl 23685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5042, 47, 48, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5150resqcld 14030 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
525adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
5352rpred 12957 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
544adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5554rpred 12957 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 = (-g𝑈)
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (norm‘𝑈)
5835ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
5911ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴𝑋)
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6710adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
6867rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
6967rpge0d 12961 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 24790 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7352rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74 4cn 12238 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76 4ne0 12261 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
7873, 75, 77divcan2d 11933 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
7972, 78breqtrd 5131 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80 rphalflt 12944 . . . . . . . . . 10 ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 11313 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83 rpre 12923 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85 metge0 23698 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
8642, 47, 48, 85syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87 rpge0 12928 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
8887ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
8950, 84, 86, 88lt2sqd 14159 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
9082, 89mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
9134, 90eqbrtrd 5127 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9231, 91sylan2b 594 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9392ralrimivva 3197 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94 raleq 3309 . . . . . 6 (𝑤 = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
9594raleqbi1dv 3307 . . . . 5 (𝑤 = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
9695rspcev 3581 . . . 4 (({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9722, 93, 96syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9897ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 24791 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100 cmetmet 24650 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101 metxmet 23687 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 24792 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104 fgcfil 24635 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105102, 103, 104syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
10698, 105mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  cz 12499  +crp 12915  cexp 13967  Basecbs 17083  s cress 17112  distcds 17142  TopOpenctopn 17303  -gcsg 18750  LSubSpclss 20392  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  fBascfbas 20784  filGencfg 20785  MetSpcms 23671  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  ℂPreHilccph 24530  CauFilccfil 24616  CMetccmet 24618  CMetSpccms 24696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-fil 23197  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-clm 24426  df-cph 24532  df-cfil 24619  df-cmet 24621  df-cms 24699
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