Theorem minveclem3 25545

Description: Lemma for minvec 25552. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})

Assertion

Ref	Expression
minveclem3	⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   − (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3

Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2		2z 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		rpexpcl 14104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5	4	rphalfcld 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6		4nn 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		nnrp 13016	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 13031	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	11	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		rabexg 5297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16		oveq2 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
17	16	breq2d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
18	17	rabbidv 3424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
19	15, 18	elrnmpt1s 5939	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
20	10, 14, 19	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21		minvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22	20, 21	eleqtrrdi 2876	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23		oveq2 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
24	23	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
25	24	breq1d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
26	25	elrab 3653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27		oveq2 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
28	27	oveq1d 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
29	28	breq1d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
30	29	elrab 3653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
31	26, 30	anbi12i 639	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32		simprll 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑌)
33		simprrl 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
34	32, 33	ovresd 7567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35		minvec.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
36		cphngp 25289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37		ngpms 24714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38		minvec.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
39		minvec.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
40	38, 39	msmet 24571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
41	35, 36, 37, 40	4syl 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42	41	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44	38, 43	lssss 21023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45	11, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
46	45	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
47	46, 32	sseldd 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
48	46, 33	sseldd 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
49		metcl 24446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
50	42, 47, 48, 49	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
51	50	resqcld 14149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
52	5	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
54	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
55	54	rpred 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56		minvec.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑈)
57		minvec.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
58	35	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
59	11	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
61	60	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
62		minvec.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
63	62	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
64		minvec.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65		minvec.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
66		minvec.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
67	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
68	67	rpred 13048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
69	67	rpge0d 13052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70		simprlr 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71		simprrr 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
72	38, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71	minveclem2 25542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
73	52	rpcnd 13050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74		4cn 12314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76		4ne0 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 0
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
78	73, 75, 77	divcan2d 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
79	72, 78	breqtrd 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80		rphalflt 13035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
81	54, 80	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
82	51, 53, 55, 79, 81	lelttrd 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83		rpre 13013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 𝑠 ∈ ℝ)
84	83	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85		metge0 24459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
86	42, 47, 48, 85	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87		rpge0 13018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
88	87	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
89	50, 84, 86, 88	lt2sqd 14280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
90	82, 89	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
91	34, 90	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
92	31, 91	sylan2b 605	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
93	92	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94		raleq 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
95	94	raleqbi1dv 3333	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
96	95	rspcev 3584	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
97	22, 93, 96	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
98	97	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
99	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39	minveclem3a 25543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100		cmetmet 25402	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101		metxmet 24448	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
102	99, 100, 101	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
103	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21	minveclem3b 25544	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104		fgcfil 25387	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105	102, 103, 104	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
106	98, 105	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  infcinf 9389  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859  ℕcn 12221  2c2 12283  4c4 12285  ℤcz 12579  ℝ⁺crp 13004  ↑cexp 14085  Basecbs 17257   ↾_s cress 17278  distcds 17307  TopOpenctopn 17462  -_gcsg 18990  LSubSpclss 21018  ∞Metcxmet 21464  Metcmet 21465  fBascfbas 21467  filGencfg 21468  MetSpcms 24432  normcnm 24690  NrmGrpcngp 24691  ℂPreHilccph 25282  CauFilccfil 25368  CMetccmet 25370  CMetSpccms 25448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13366  df-fz 13524  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17482  df-topgen 17484  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-cring 20306  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-rhm 20542  df-subrg 20643  df-drng 20803  df-staf 20908  df-srng 20909  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lmhm 21109  df-lvec 21190  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-phl 21733  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-fil 23960  df-xms 24434  df-ms 24435  df-nm 24696  df-ngp 24697  df-nlm 24700  df-clm 25179  df-cph 25284  df-cfil 25371  df-cmet 25373  df-cms 25451

This theorem is referenced by:  minveclem4a  25546