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Theorem minveclem3 24593
Description: Lemma for minvec 24600. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2 2z 12352 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
3 rpexpcl 13801 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
54rphalfcld 12784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6 4nn 12056 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
7 nnrp 12741 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 12755 . . . . . . 7 ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
105, 8, 9sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 rabexg 5255 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16 oveq2 7283 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
1716breq2d 5086 . . . . . . . 8 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
1817rabbidv 3414 . . . . . . 7 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
1915, 18elrnmpt1s 5866 . . . . . 6 (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
2010, 14, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21 minvec.f . . . . 5 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2220, 21eleqtrrdi 2850 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23 oveq2 7283 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
2423oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
2524breq1d 5084 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
2625elrab 3624 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27 oveq2 7283 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
2827oveq1d 7290 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
2928breq1d 5084 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3029elrab 3624 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3126, 30anbi12i 627 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32 simprll 776 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢𝑌)
33 simprrl 778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣𝑌)
3432, 33ovresd 7439 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
36 cphngp 24337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37 ngpms 23756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (Base‘𝑈)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4038, 39msmet 23610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4438, 43lssss 20198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝑋)
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌𝑋)
4746, 32sseldd 3922 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢𝑋)
4846, 33sseldd 3922 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣𝑋)
49 metcl 23485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5042, 47, 48, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5150resqcld 13965 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
525adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
5352rpred 12772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
544adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5554rpred 12772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 = (-g𝑈)
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (norm‘𝑈)
5835ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
5911ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
6362ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴𝑋)
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6710adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
6867rpred 12772 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
6967rpge0d 12776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70 simprlr 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71 simprrr 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 24590 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7352rpcnd 12774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74 4cn 12058 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76 4ne0 12081 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
7873, 75, 77divcan2d 11753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
7972, 78breqtrd 5100 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80 rphalflt 12759 . . . . . . . . . 10 ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 11133 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83 rpre 12738 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
8483ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85 metge0 23498 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
8642, 47, 48, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87 rpge0 12743 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
8887ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
8950, 84, 86, 88lt2sqd 13973 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
9082, 89mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
9134, 90eqbrtrd 5096 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9231, 91sylan2b 594 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9392ralrimivva 3123 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94 raleq 3342 . . . . . 6 (𝑤 = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
9594raleqbi1dv 3340 . . . . 5 (𝑤 = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
9695rspcev 3561 . . . 4 (({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9722, 93, 96syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9897ralrimiva 3103 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 24591 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100 cmetmet 24450 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101 metxmet 23487 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 24592 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104 fgcfil 24435 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105102, 103, 104syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
10698, 105mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432  wss 3887   class class class wbr 5074  cmpt 5157   × cxp 5587  ran crn 5590  cres 5591  cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  4c4 12030  cz 12319  +crp 12730  cexp 13782  Basecbs 16912  s cress 16941  distcds 16971  TopOpenctopn 17132  -gcsg 18579  LSubSpclss 20193  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  fBascfbas 20585  filGencfg 20586  MetSpcms 23471  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733  ℂPreHilccph 24330  CauFilccfil 24416  CMetccmet 24418  CMetSpccms 24496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ico 13085  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-phl 20831  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-fil 22997  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nlm 23742  df-clm 24226  df-cph 24332  df-cfil 24419  df-cmet 24421  df-cms 24499
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