MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem3 25373
Description: Lemma for minvec 25380. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,π‘Ÿ,𝐴   𝐽,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   πœ‘,π‘Ÿ,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝐷,π‘Ÿ,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘Ÿ)   π‘ˆ(π‘Ÿ)   𝐹(π‘Ÿ)   βˆ’ (π‘Ÿ)   𝑁(π‘Ÿ)
Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables 𝑀 𝑠 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ 𝑠 ∈ ℝ+)
2 2z 12622 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
3 rpexpcl 14075 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
54rphalfcld 13058 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6 4nn 12323 . . . . . . . 8 4 ∈ β„•
7 nnrp 13015 . . . . . . . 8 (4 ∈ β„• β†’ 4 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 13029 . . . . . . 7 ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
105, 8, 9sylancl 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11 minvec.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 rabexg 5328 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15 eqid 2725 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}) = (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
16 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
1716breq2d 5155 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
1817rabbidv 3427 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (((𝑠↑2) / 2) / 4) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)} = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
1915, 18elrnmpt1s 5953 . . . . . 6 (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
2010, 14, 19syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)}))
21 minvec.f . . . . 5 𝐹 = ran (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + π‘Ÿ)})
2220, 21eleqtrrdi 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23 oveq2 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑒 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑒))
2423oveq1d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑒)↑2))
2524breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑒 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
2625elrab 3675 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27 oveq2 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
2827oveq1d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
2928breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 β†’ (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3029elrab 3675 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3126, 30anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32 simprll 777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
33 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
3432, 33ovresd 7584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
36 cphngp 25117 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
37 ngpms 24525 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
4038, 39msmet 24379 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4438, 43lssss 20822 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4746, 32sseldd 3973 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
4846, 33sseldd 3973 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑋)
49 metcl 24254 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5042, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5150resqcld 14119 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
525adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
5352rpred 13046 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
544adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5554rpred 13046 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
5835ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
5911ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6710adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
6867rpred 13046 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
6967rpge0d 13050 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 25370 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7352rpcnd 13048 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) ∈ β„‚)
74 4cn 12325 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 ∈ β„‚)
76 4ne0 12348 . . . . . . . . . . . 12 4 β‰  0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 4 β‰  0)
7873, 75, 77divcan2d 12020 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (4 Β· (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
7972, 78breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑠↑2) / 2))
80 rphalflt 13033 . . . . . . . . . 10 ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 11400 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83 rpre 13012 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
85 metge0 24267 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
8642, 47, 48, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ (𝑒𝐷𝑣))
87 rpge0 13017 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑠)
8887ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ 0 ≀ 𝑠)
8950, 84, 86, 88lt2sqd 14248 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ ((𝑒𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑒𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
9082, 89mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒𝐷𝑣) < 𝑠)
9134, 90eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑒)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ π‘Œ ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9231, 91sylan2b 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9392ralrimivva 3191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
94 raleq 3312 . . . . . 6 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9594raleqbi1dv 3323 . . . . 5 (𝑀 = {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠 ↔ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
9695rspcev 3602 . . . 4 (({𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ βˆ€π‘’ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∈ π‘Œ ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9722, 93, 96syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9897ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠)
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 25371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ))
100 cmetmet 25230 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (CMetβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
101 metxmet 24256 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (Metβ€˜π‘Œ) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 25372 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
104 fgcfil 25215 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ)) β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
105102, 103, 104syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑀 βˆ€π‘£ ∈ 𝑀 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < 𝑠))
10698, 105mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘ŒfilGen𝐹) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  infcinf 9462  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  4c4 12297  β„€cz 12586  β„+crp 13004  β†‘cexp 14056  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  distcds 17239  TopOpenctopn 17400  -gcsg 18894  LSubSpclss 20817  βˆžMetcxmet 21266  Metcmet 21267  fBascfbas 21269  filGencfg 21270  MetSpcms 24240  normcnm 24501  NrmGrpcngp 24502  β„‚PreHilccph 25110  CauFilccfil 25196  CMetccmet 25198  CMetSpccms 25276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ico 13360  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-topgen 17422  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-rhm 20413  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-staf 20727  df-srng 20728  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lmhm 20909  df-lvec 20990  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-phl 21560  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-fil 23766  df-xms 24242  df-ms 24243  df-nm 24507  df-ngp 24508  df-nlm 24511  df-clm 25006  df-cph 25112  df-cfil 25199  df-cmet 25201  df-cms 25279
This theorem is referenced by:  minveclem4a  25374
  Copyright terms: Public domain W3C validator