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Theorem minveclem3 25401
Description: Lemma for minvec 25408. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
Assertion
Ref Expression
minveclem3 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2 2z 12627 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
3 rpexpcl 14081 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
41, 2, 3sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
54rphalfcld 13063 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6 4nn 12328 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
7 nnrp 13020 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 13034 . . . . . . 7 ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
105, 8, 9sylancl 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 rabexg 5334 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16 oveq2 7427 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
1716breq2d 5161 . . . . . . . 8 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
1817rabbidv 3426 . . . . . . 7 (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
1915, 18elrnmpt1s 5959 . . . . . 6 (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
2010, 14, 19syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21 minvec.f . . . . 5 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
2220, 21eleqtrrdi 2836 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
2423oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
2524breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
2625elrab 3679 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
2827oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
2928breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3029elrab 3679 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
3126, 30anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32 simprll 777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢𝑌)
33 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣𝑌)
3432, 33ovresd 7588 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
36 cphngp 25145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37 ngpms 24553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = (Base‘𝑈)
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4038, 39msmet 24407 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
4438, 43lssss 20832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝑋)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌𝑋)
4746, 32sseldd 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢𝑋)
4846, 33sseldd 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣𝑋)
49 metcl 24282 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5042, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
5150resqcld 14125 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
525adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
5352rpred 13051 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
544adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5554rpred 13051 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 = (-g𝑈)
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (norm‘𝑈)
5835ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
5911ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴𝑋)
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6710adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
6867rpred 13051 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
6967rpge0d 13055 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71 simprrr 780 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 25398 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
7352rpcnd 13053 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74 4cn 12330 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76 4ne0 12353 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
7873, 75, 77divcan2d 12025 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
7972, 78breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80 rphalflt 13038 . . . . . . . . . 10 ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 11404 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83 rpre 13017 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ)
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85 metge0 24295 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢𝑋𝑣𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
8642, 47, 48, 85syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87 rpge0 13022 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
8887ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
8950, 84, 86, 88lt2sqd 14254 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
9082, 89mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
9134, 90eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9231, 91sylan2b 592 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9392ralrimivva 3190 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94 raleq 3311 . . . . . 6 (𝑤 = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
9594raleqbi1dv 3322 . . . . 5 (𝑤 = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
9695rspcev 3606 . . . 4 (({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9722, 93, 96syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9897ralrimiva 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 25399 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100 cmetmet 25258 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101 metxmet 24284 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 25400 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104 fgcfil 25243 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105102, 103, 104syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝐹𝑢𝑤𝑣𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
10698, 105mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676  ran crn 5679  cres 5680  cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9466  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  4c4 12302  cz 12591  +crp 13009  cexp 14062  Basecbs 17183  s cress 17212  distcds 17245  TopOpenctopn 17406  -gcsg 18900  LSubSpclss 20827  ∞Metcxmet 21281  Metcmet 21282  fBascfbas 21284  filGencfg 21285  MetSpcms 24268  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530  ℂPreHilccph 25138  CauFilccfil 25224  CMetccmet 25226  CMetSpccms 25304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ico 13365  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-topgen 17428  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-staf 20737  df-srng 20738  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lmhm 20919  df-lvec 21000  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-phl 21575  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-fil 23794  df-xms 24270  df-ms 24271  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nlm 24539  df-clm 25034  df-cph 25140  df-cfil 25227  df-cmet 25229  df-cms 25307
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