Theorem nglmle 23624

Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nglmle.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nglmle.2	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
nglmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
nglmle.5	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nglmle.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
nglmle.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
nglmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nglmle	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem nglmle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nglmle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpgrp 22927	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ngpms 22928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
6		msxms 22783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		nglmle.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		nglmle.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	8, 9	xmsxmet 22785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		nglmle.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13	12	mopntopon 22768	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		nglmle.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
16		lmcl 21625	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17	14, 15, 16	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		nglmle.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
19		eqid 2773	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20		eqid 2773	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 22920	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
22	3, 17, 21	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
23	8, 19	grpidcl 17932	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
25		xmetsym 22676	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
26	11, 17, 24, 25	syl3anc 1352	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
27	22, 26	eqtrd 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
28		nnuz 12094	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29		1zzd 11825	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
30		nglmle.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	3	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
32		nglmle.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
33	32	ffvelrnda 6675	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
34	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 22920	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
35	31, 33, 34	syl2anc 576	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
36	11	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	24	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
38		xmetsym 22676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
39	36, 33, 37, 38	syl3anc 1352	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
40	35, 39	eqtrd 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
41		nglmle.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
42	40, 41	eqbrtrrd 4950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
43	28, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42	lmle 23623	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺)𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	27, 43	eqbrtrd 4948	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926   × cxp 5402   ↾ cres 5406  ⟶wf 6182  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  1c1 10335  ℝ^*cxr 10472   ≤ cle 10474  ℕcn 11438  Basecbs 16338  distcds 16429  0_gc0g 16568  Grpcgrp 17904  ∞Metcxmet 20248  MetOpencmopn 20253  TopOnctopon 21238  ⇝_𝑡clm 21554  ∞MetSpcxms 22646  MetSpcms 22647  normcnm 22905  NrmGrpcngp 22906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-0g 16570  df-topgen 16572  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-grp 17907  df-psmet 20255  df-xmet 20256  df-bl 20258  df-mopn 20259  df-top 21222  df-topon 21239  df-topsp 21261  df-bases 21274  df-cld 21347  df-ntr 21348  df-cls 21349  df-lm 21557  df-xms 22649  df-ms 22650  df-nm 22911  df-ngp 22912

This theorem is referenced by: (None)