Theorem nglmle 25536

Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nglmle.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nglmle.2	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
nglmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
nglmle.5	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nglmle.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
nglmle.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
nglmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nglmle	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem nglmle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nglmle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpgrp 24831	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ngpms 24832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5	1, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
6		msxms 24686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		nglmle.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		nglmle.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	8, 9	xmsxmet 24688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	7, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		nglmle.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13	12	mopntopon 24671	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	11, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		nglmle.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
16		lmcl 23528	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		nglmle.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 24824	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
22	3, 17, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
23	8, 19	grpidcl 19095	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
24	3, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
25		xmetsym 24579	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
26	11, 17, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
27	22, 26	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
28		nnuz 12930	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29		1zzd 12653	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
30		nglmle.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
32		nglmle.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
33	32	ffvelcdmda 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
34	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 24824	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
35	31, 33, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
36	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
38		xmetsym 24579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
39	36, 33, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
40	35, 39	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
41		nglmle.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
42	40, 41	eqbrtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
43	28, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42	lmle 25535	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺)𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	27, 43	eqbrtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129  ℝ^*cxr 11270   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  Basecbs 17307  distcds 17357  0_gc0g 17530  Grpcgrp 19063  ∞Metcxmet 21576  MetOpencmopn 21581  TopOnctopon 23141  ⇝_𝑡clm 23457  ∞MetSpcxms 24549  MetSpcms 24550  normcnm 24808  NrmGrpcngp 24809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-0g 17532  df-topgen 17534  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-lm 23460  df-xms 24552  df-ms 24553  df-nm 24814  df-ngp 24815

This theorem is used by: (None)