MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nglmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nglmle 24818
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nglmle.1 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
nglmle.2 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
nglmle.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
nglmle.5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
nglmle.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
nglmle.8 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
nglmle.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nglmle (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐽   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem nglmle
StepHypRef Expression
1 nglmle.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 24107 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 ngpms 24108 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
6 msxms 23959 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MetSp β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 nglmle.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
9 nglmle.2 . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9xmsxmet 23961 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ∞MetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
117, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 nglmle.3 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1312mopntopon 23944 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1411, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 nglmle.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
16 lmcl 22800 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
18 nglmle.5 . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
19 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
20 eqid 2732 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
2118, 8, 19, 20, 9nmval2 24100 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
223, 17, 21syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
238, 19grpidcl 18849 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
243, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
25 xmetsym 23852 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2611, 17, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2722, 26eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
28 nnuz 12864 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
29 1zzd 12592 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
30 nglmle.9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
313adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
32 nglmle.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
3332ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
3418, 8, 19, 20, 9nmval2 24100 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3531, 33, 34syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3611adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3724adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
38 xmetsym 23852 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
3936, 33, 37, 38syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
4035, 39eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
41 nglmle.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4240, 41eqbrtrrd 5172 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4328, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42lmle 24817 . 2 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
4427, 43eqbrtrd 5170 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  Basecbs 17143  distcds 17205  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  TopOnctopon 22411  β‡π‘‘clm 22729  βˆžMetSpcxms 23822  MetSpcms 23823  normcnm 24084  NrmGrpcngp 24085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-lm 22732  df-xms 23825  df-ms 23826  df-nm 24090  df-ngp 24091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator