Theorem nglmle 23319

Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nglmle.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nglmle.2	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
nglmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
nglmle.5	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nglmle.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
nglmle.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
nglmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nglmle	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem nglmle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nglmle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpgrp 22623	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ngpms 22624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
6		msxms 22479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		nglmle.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		nglmle.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	8, 9	xmsxmet 22481	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		nglmle.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13	12	mopntopon 22464	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		nglmle.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
16		lmcl 21322	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17	14, 15, 16	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		nglmle.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
19		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 22616	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
22	3, 17, 21	syl2anc 573	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
23	8, 19	grpidcl 17658	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
25		xmetsym 22372	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
26	11, 17, 24, 25	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
27	22, 26	eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
28		nnuz 11925	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29		1zzd 11610	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
30		nglmle.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	3	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
32		nglmle.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
33	32	ffvelrnda 6502	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
34	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 22616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
35	31, 33, 34	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
36	11	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	24	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
38		xmetsym 22372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
39	36, 33, 37, 38	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
40	35, 39	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
41		nglmle.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
42	40, 41	eqbrtrrd 4810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
43	28, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42	lmle 23318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺)𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	27, 43	eqbrtrd 4808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786   × cxp 5247   ↾ cres 5251  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139  ℝ^*cxr 10275   ≤ cle 10277  ℕcn 11222  Basecbs 16064  distcds 16158  0_gc0g 16308  Grpcgrp 17630  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  TopOnctopon 20935  ⇝_𝑡clm 21251  ∞MetSpcxme 22342  MetSpcmt 22343  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-lm 21254  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608

This theorem is referenced by: (None)