MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nglmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nglmle 24689
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nglmle.1 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
nglmle.2 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
nglmle.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
nglmle.5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
nglmle.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
nglmle.8 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
nglmle.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nglmle (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐽   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem nglmle
StepHypRef Expression
1 nglmle.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 23978 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 ngpms 23979 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
6 msxms 23830 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MetSp β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 nglmle.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
9 nglmle.2 . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9xmsxmet 23832 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ∞MetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
117, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 nglmle.3 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1312mopntopon 23815 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1411, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 nglmle.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
16 lmcl 22671 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1714, 15, 16syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
18 nglmle.5 . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
19 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
20 eqid 2733 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
2118, 8, 19, 20, 9nmval2 23971 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
223, 17, 21syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
238, 19grpidcl 18786 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
243, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
25 xmetsym 23723 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2611, 17, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2722, 26eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
28 nnuz 12814 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
29 1zzd 12542 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
30 nglmle.9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
313adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
32 nglmle.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
3332ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
3418, 8, 19, 20, 9nmval2 23971 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3531, 33, 34syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3611adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3724adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
38 xmetsym 23723 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
3936, 33, 37, 38syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
4035, 39eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
41 nglmle.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4240, 41eqbrtrrd 5133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4328, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42lmle 24688 . 2 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
4427, 43eqbrtrd 5131 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  Basecbs 17091  distcds 17150  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  TopOnctopon 22282  β‡π‘‘clm 22600  βˆžMetSpcxms 23693  MetSpcms 23694  normcnm 23955  NrmGrpcngp 23956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-lm 22603  df-xms 23696  df-ms 23697  df-nm 23961  df-ngp 23962
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator