MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nglmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nglmle 23319
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nglmle.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
nglmle.2 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
nglmle.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
nglmle.5 𝑁 = (norm‘𝐺)
nglmle.6 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
nglmle.8 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
nglmle.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nglmle (𝜑 → (𝑁𝑃) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem nglmle
StepHypRef Expression
1 nglmle.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 22623 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 ngpms 22624 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MetSp)
6 msxms 22479 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 nglmle.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
9 nglmle.2 . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
108, 9xmsxmet 22481 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
117, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 nglmle.3 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1312mopntopon 22464 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 nglmle.8 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
16 lmcl 21322 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝑃𝑋)
1714, 15, 16syl2anc 573 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
18 nglmle.5 . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
19 eqid 2771 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
20 eqid 2771 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
2118, 8, 19, 20, 9nmval2 22616 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁𝑃) = (𝑃𝐷(0g𝐺)))
223, 17, 21syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑃) = (𝑃𝐷(0g𝐺)))
238, 19grpidcl 17658 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
243, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
25 xmetsym 22372 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷𝑃))
2611, 17, 24, 25syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷𝑃))
2722, 26eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑃) = ((0g𝐺)𝐷𝑃))
28 nnuz 11925 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
29 1zzd 11610 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
30 nglmle.9 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
313adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
32 nglmle.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
3332ffvelrnda 6502 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
3418, 8, 19, 20, 9nmval2 22616 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)))
3531, 33, 34syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)))
3611adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3724adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
38 xmetsym 22372 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)))
3936, 33, 37, 38syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)))
4035, 39eqtrd 2805 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) = ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)))
41 nglmle.10 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
4240, 41eqbrtrrd 4810 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
4328, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42lmle 23318 . 2 (𝜑 → ((0g𝐺)𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
4427, 43eqbrtrd 4808 1 (𝜑 → (𝑁𝑃) ≤ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786   × cxp 5247  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139  *cxr 10275  cle 10277  cn 11222  Basecbs 16064  distcds 16158  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  TopOnctopon 20935  𝑡clm 21251  ∞MetSpcxme 22342  MetSpcmt 22343  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-lm 21254  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator