Theorem nglmle 24810

Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nglmle.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nglmle.2	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
nglmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
nglmle.5	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nglmle.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
nglmle.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
nglmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nglmle	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem nglmle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nglmle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpgrp 24099	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ngpms 24100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
6		msxms 23951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		nglmle.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		nglmle.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	8, 9	xmsxmet 23953	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		nglmle.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13	12	mopntopon 23936	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		nglmle.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
16		lmcl 22792	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		nglmle.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
19		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 24092	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
22	3, 17, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
23	8, 19	grpidcl 18846	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
25		xmetsym 23844	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
26	11, 17, 24, 25	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
27	22, 26	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
28		nnuz 12861	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29		1zzd 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
30		nglmle.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
32		nglmle.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
33	32	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
34	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 24092	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
35	31, 33, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
36	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	24	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
38		xmetsym 23844	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
39	36, 33, 37, 38	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
40	35, 39	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
41		nglmle.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
42	40, 41	eqbrtrrd 5171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
43	28, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42	lmle 24809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺)𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	27, 43	eqbrtrd 5169	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   × cxp 5673   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  Basecbs 17140  distcds 17202  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  ∞Metcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  TopOnctopon 22403  ⇝_𝑡clm 22721  ∞MetSpcxms 23814  MetSpcms 23815  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-lm 22724  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083

This theorem is referenced by: (None)