MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nglmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nglmle 25152
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nglmle.1 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
nglmle.2 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
nglmle.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
nglmle.5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
nglmle.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
nglmle.8 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
nglmle.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nglmle (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐽   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem nglmle
StepHypRef Expression
1 nglmle.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 24430 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 ngpms 24431 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
6 msxms 24282 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MetSp β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 nglmle.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
9 nglmle.2 . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9xmsxmet 24284 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ∞MetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
117, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 nglmle.3 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1312mopntopon 24267 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1411, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 nglmle.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
16 lmcl 23123 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1714, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
18 nglmle.5 . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
19 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
20 eqid 2724 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
2118, 8, 19, 20, 9nmval2 24423 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
223, 17, 21syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
238, 19grpidcl 18885 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
243, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
25 xmetsym 24175 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2611, 17, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2722, 26eqtrd 2764 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
28 nnuz 12862 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
29 1zzd 12590 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
30 nglmle.9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
313adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
32 nglmle.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
3332ffvelcdmda 7076 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
3418, 8, 19, 20, 9nmval2 24423 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3531, 33, 34syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3611adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3724adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
38 xmetsym 24175 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
3936, 33, 37, 38syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
4035, 39eqtrd 2764 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
41 nglmle.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4240, 41eqbrtrrd 5162 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4328, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42lmle 25151 . 2 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
4427, 43eqbrtrd 5160 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138   Γ— cxp 5664   β†Ύ cres 5668  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  1c1 11107  β„*cxr 11244   ≀ cle 11246  β„•cn 12209  Basecbs 17143  distcds 17205  0gc0g 17384  Grpcgrp 18853  βˆžMetcxmet 21213  MetOpencmopn 21218  TopOnctopon 22734  β‡π‘‘clm 23052  βˆžMetSpcxms 24145  MetSpcms 24146  normcnm 24407  NrmGrpcngp 24408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-lm 23055  df-xms 24148  df-ms 24149  df-nm 24413  df-ngp 24414
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator