MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nglmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nglmle 25223
Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nglmle.1 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
nglmle.2 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
nglmle.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
nglmle.5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
nglmle.6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
nglmle.8 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
nglmle.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nglmle (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐽   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝑁(π‘˜)

Proof of Theorem nglmle
StepHypRef Expression
1 nglmle.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 24501 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 ngpms 24502 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
6 msxms 24353 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MetSp β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 nglmle.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
9 nglmle.2 . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9xmsxmet 24355 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ∞MetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
117, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 nglmle.3 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
1312mopntopon 24338 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1411, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 nglmle.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
16 lmcl 23194 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1714, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
18 nglmle.5 . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜πΊ)
19 eqid 2727 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
20 eqid 2727 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
2118, 8, 19, 20, 9nmval2 24494 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
223, 17, 21syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)))
238, 19grpidcl 18915 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
243, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
25 xmetsym 24246 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2611, 17, 24, 25syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
2722, 26eqtrd 2767 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃))
28 nnuz 12889 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
29 1zzd 12617 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
30 nglmle.9 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
313adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
32 nglmle.7 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
3332ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
3418, 8, 19, 20, 9nmval2 24494 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3531, 33, 34syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)))
3611adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3724adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋)
38 xmetsym 24246 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
3936, 33, 37, 38syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(0gβ€˜πΊ)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
4035, 39eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
41 nglmle.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4240, 41eqbrtrrd 5166 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
4328, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42lmle 25222 . 2 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜πΊ)𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
4427, 43eqbrtrd 5164 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133  β„*cxr 11271   ≀ cle 11273  β„•cn 12236  Basecbs 17173  distcds 17235  0gc0g 17414  Grpcgrp 18883  βˆžMetcxmet 21257  MetOpencmopn 21262  TopOnctopon 22805  β‡π‘‘clm 23123  βˆžMetSpcxms 24216  MetSpcms 24217  normcnm 24478  NrmGrpcngp 24479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-0g 17416  df-topgen 17418  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-lm 23126  df-xms 24219  df-ms 24220  df-nm 24484  df-ngp 24485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator