Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nglmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nglmle 23947
 Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nglmle.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
nglmle.2 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
nglmle.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
nglmle.5 𝑁 = (norm‘𝐺)
nglmle.6 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
nglmle.8 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
nglmle.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nglmle (𝜑 → (𝑁𝑃) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem nglmle
StepHypRef Expression
1 nglmle.6 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpgrp 23246 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 ngpms 23247 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
51, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MetSp)
6 msxms 23102 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ∞MetSp)
8 nglmle.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
9 nglmle.2 . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
108, 9xmsxmet 23104 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
117, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 nglmle.3 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1312mopntopon 23087 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1411, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 nglmle.8 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
16 lmcl 21943 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝑃𝑋)
1714, 15, 16syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑃𝑋)
18 nglmle.5 . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝐺)
19 eqid 2798 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
20 eqid 2798 . . . . 5 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
2118, 8, 19, 20, 9nmval2 23239 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋) → (𝑁𝑃) = (𝑃𝐷(0g𝐺)))
223, 17, 21syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑃) = (𝑃𝐷(0g𝐺)))
238, 19grpidcl 18144 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
243, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
25 xmetsym 22995 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷𝑃))
2611, 17, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷𝑃))
2722, 26eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑃) = ((0g𝐺)𝐷𝑃))
28 nnuz 12289 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
29 1zzd 12021 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
30 nglmle.9 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
313adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
32 nglmle.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
3332ffvelrnda 6838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
3418, 8, 19, 20, 9nmval2 23239 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)))
3531, 33, 34syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)))
3611adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3724adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
38 xmetsym 22995 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)))
3936, 33, 37, 38syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(0g𝐺)) = ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)))
4035, 39eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) = ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)))
41 nglmle.10 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
4240, 41eqbrtrrd 5058 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((0g𝐺)𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
4328, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42lmle 23946 . 2 (𝜑 → ((0g𝐺)𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
4427, 43eqbrtrd 5056 1 (𝜑 → (𝑁𝑃) ≤ 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5034   × cxp 5521   ↾ cres 5525  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545  ℝ*cxr 10681   ≤ cle 10683  ℕcn 11643  Basecbs 16495  distcds 16586  0gc0g 16725  Grpcgrp 18115  ∞Metcxmet 20097  MetOpencmopn 20102  TopOnctopon 21556  ⇝𝑡clm 21872  ∞MetSpcxms 22965  MetSpcms 22966  normcnm 23224  NrmGrpcngp 23225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-0g 16727  df-topgen 16729  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-lm 21875  df-xms 22968  df-ms 22969  df-nm 23230  df-ngp 23231 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator