Theorem nglmle 24466

Description: If the norm of each member of a converging sequence is less than or equal to a given amount, so is the norm of the convergence value. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (Revised by AV, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nglmle.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nglmle.2	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
nglmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
nglmle.5	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nglmle.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
nglmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
nglmle.8	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
nglmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
nglmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nglmle	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝐷,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem nglmle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nglmle.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2		ngpgrp 23755	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		ngpms 23756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
6		msxms 23607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
8		nglmle.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		nglmle.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	8, 9	xmsxmet 23609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		nglmle.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
13	12	mopntopon 23592	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15		nglmle.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
16		lmcl 22448	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		nglmle.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
21	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 23748	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
22	3, 17, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = (𝑃𝐷(0g‘𝐺)))
23	8, 19	grpidcl 18607	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
24	3, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
25		xmetsym 23500	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
26	11, 17, 24, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
27	22, 26	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) = ((0g‘𝐺)𝐷𝑃))
28		nnuz 12621	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
29		1zzd 12351	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
30		nglmle.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
31	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
32		nglmle.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
33	32	ffvelrnda 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
34	18, 8, 19, 20, 9	nmval2 23748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
35	31, 33, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)))
36	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	24	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
38		xmetsym 23500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
39	36, 33, 37, 38	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(0g‘𝐺)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
40	35, 39	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) = ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)))
41		nglmle.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁‘(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
42	40, 41	eqbrtrrd 5098	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((0g‘𝐺)𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
43	28, 12, 11, 29, 15, 24, 30, 42	lmle 24465	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐺)𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	27, 43	eqbrtrd 5096	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  Basecbs 16912  distcds 16971  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  ∞Metcxmet 20582  MetOpencmopn 20587  TopOnctopon 22059  ⇝_𝑡clm 22377  ∞MetSpcxms 23470  MetSpcms 23471  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-lm 22380  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739

This theorem is referenced by: (None)