Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | minvec.x |
. . 3
β’ π = (Baseβπ) |
2 | | minvec.m |
. . 3
β’ β =
(-gβπ) |
3 | | minvec.n |
. . 3
β’ π = (normβπ) |
4 | | minvec.u |
. . 3
β’ (π β π β βPreHil) |
5 | | minvec.y |
. . 3
β’ (π β π β (LSubSpβπ)) |
6 | | minvec.w |
. . 3
β’ (π β (π βΎs π) β CMetSp) |
7 | | minvec.a |
. . 3
β’ (π β π΄ β π) |
8 | | minvec.j |
. . 3
β’ π½ = (TopOpenβπ) |
9 | | minvec.r |
. . 3
β’ π
= ran (π¦ β π β¦ (πβ(π΄ β π¦))) |
10 | | minvec.s |
. . 3
β’ π = inf(π
, β, < ) |
11 | | minvec.d |
. . 3
β’ π· = ((distβπ) βΎ (π Γ π)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | minveclem5 24813 |
. 2
β’ (π β βπ₯ β π βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦))) |
13 | 4 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β π β βPreHil) |
14 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β π β (LSubSpβπ)) |
15 | 6 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β (π βΎs π) β CMetSp) |
16 | 7 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β π΄ β π) |
17 | | 0re 11164 |
. . . . . . 7
β’ 0 β
β |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β 0 β
β) |
19 | | 0le0 12261 |
. . . . . . 7
β’ 0 β€
0 |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β 0 β€
0) |
21 | | simplrl 776 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β π₯ β π) |
22 | | simplrr 777 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β π€ β π) |
23 | | simprl 770 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β ((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0)) |
24 | | simprr 772 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0)) |
25 | 1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 21, 22, 23, 24 | minveclem2 24806 |
. . . . 5
β’ (((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β§ (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0))) β ((π₯π·π€)β2) β€ (4 Β·
0)) |
26 | 25 | ex 414 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β ((((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0)) β ((π₯π·π€)β2) β€ (4 Β·
0))) |
27 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | minveclem6 24814 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π) β (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)))) |
28 | 27 | adantrr 716 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)))) |
29 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | minveclem6 24814 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π€ β π) β (((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0) β βπ¦ β π (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦)))) |
30 | 29 | adantrl 715 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0) β βπ¦ β π (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦)))) |
31 | 28, 30 | anbi12d 632 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β ((((π΄π·π₯)β2) β€ ((πβ2) + 0) β§ ((π΄π·π€)β2) β€ ((πβ2) + 0)) β (βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β§ βπ¦ β π (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦))))) |
32 | | 4cn 12245 |
. . . . . . 7
β’ 4 β
β |
33 | 32 | mul01i 11352 |
. . . . . 6
β’ (4
Β· 0) = 0 |
34 | 33 | breq2i 5118 |
. . . . 5
β’ (((π₯π·π€)β2) β€ (4 Β· 0) β ((π₯π·π€)β2) β€ 0) |
35 | | cphngp 24553 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β βPreHil β
π β
NrmGrp) |
36 | | ngpms 23972 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β NrmGrp β π β MetSp) |
37 | 4, 35, 36 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β MetSp) |
38 | 37 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β π β MetSp) |
39 | 1, 11 | msmet 23826 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β MetSp β π· β (Metβπ)) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β π· β (Metβπ)) |
41 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(LSubSpβπ) =
(LSubSpβπ) |
42 | 1, 41 | lssss 20413 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (LSubSpβπ) β π β π) |
43 | 5, 42 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β π) |
44 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β π β π) |
45 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β π₯ β π) |
46 | 44, 45 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β π₯ β π) |
47 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β π€ β π) |
48 | 44, 47 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β π€ β π) |
49 | | metcl 23701 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π· β (Metβπ) β§ π₯ β π β§ π€ β π) β (π₯π·π€) β β) |
50 | 40, 46, 48, 49 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (π₯π·π€) β β) |
51 | 50 | sqge0d 14049 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β 0 β€ ((π₯π·π€)β2)) |
52 | 51 | biantrud 533 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π₯π·π€)β2) β€ 0 β (((π₯π·π€)β2) β€ 0 β§ 0 β€ ((π₯π·π€)β2)))) |
53 | 50 | resqcld 14037 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β ((π₯π·π€)β2) β β) |
54 | | letri3 11247 |
. . . . . . 7
β’ ((((π₯π·π€)β2) β β β§ 0 β
β) β (((π₯π·π€)β2) = 0 β (((π₯π·π€)β2) β€ 0 β§ 0 β€ ((π₯π·π€)β2)))) |
55 | 53, 17, 54 | sylancl 587 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π₯π·π€)β2) = 0 β (((π₯π·π€)β2) β€ 0 β§ 0 β€ ((π₯π·π€)β2)))) |
56 | 50 | recnd 11190 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (π₯π·π€) β β) |
57 | | sqeq0 14032 |
. . . . . . . 8
β’ ((π₯π·π€) β β β (((π₯π·π€)β2) = 0 β (π₯π·π€) = 0)) |
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π₯π·π€)β2) = 0 β (π₯π·π€) = 0)) |
59 | | meteq0 23708 |
. . . . . . . 8
β’ ((π· β (Metβπ) β§ π₯ β π β§ π€ β π) β ((π₯π·π€) = 0 β π₯ = π€)) |
60 | 40, 46, 48, 59 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β ((π₯π·π€) = 0 β π₯ = π€)) |
61 | 58, 60 | bitrd 279 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π₯π·π€)β2) = 0 β π₯ = π€)) |
62 | 52, 55, 61 | 3bitr2d 307 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π₯π·π€)β2) β€ 0 β π₯ = π€)) |
63 | 34, 62 | bitrid 283 |
. . . 4
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β (((π₯π·π€)β2) β€ (4 Β· 0) β π₯ = π€)) |
64 | 26, 31, 63 | 3imtr3d 293 |
. . 3
β’ ((π β§ (π₯ β π β§ π€ β π)) β ((βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β§ βπ¦ β π (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦))) β π₯ = π€)) |
65 | 64 | ralrimivva 3198 |
. 2
β’ (π β βπ₯ β π βπ€ β π ((βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β§ βπ¦ β π (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦))) β π₯ = π€)) |
66 | | oveq2 7370 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = π€ β (π΄ β π₯) = (π΄ β π€)) |
67 | 66 | fveq2d 6851 |
. . . . 5
β’ (π₯ = π€ β (πβ(π΄ β π₯)) = (πβ(π΄ β π€))) |
68 | 67 | breq1d 5120 |
. . . 4
β’ (π₯ = π€ β ((πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦)))) |
69 | 68 | ralbidv 3175 |
. . 3
β’ (π₯ = π€ β (βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β βπ¦ β π (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦)))) |
70 | 69 | reu4 3694 |
. 2
β’
(β!π₯ β
π βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β (βπ₯ β π βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β§ βπ₯ β π βπ€ β π ((βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦)) β§ βπ¦ β π (πβ(π΄ β π€)) β€ (πβ(π΄ β π¦))) β π₯ = π€))) |
71 | 12, 65, 70 | sylanbrc 584 |
1
β’ (π β β!π₯ β π βπ¦ β π (πβ(π΄ β π₯)) β€ (πβ(π΄ β π¦))) |