MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem7 24815
Description: Lemma for minvec 24816. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem7 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem7
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . . 3 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 minvec.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
3 minvec.n . . 3 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
4 minvec.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
5 minvec.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6 minvec.w . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 minvec.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
9 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
10 minvec.s . . 3 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . . 3 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem5 24813 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
134ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
145ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
156ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
167ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
17 0re 11164 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 0 ∈ ℝ)
19 0le0 12261 . . . . . . 7 0 ≀ 0
2019a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 0 ≀ 0)
21 simplrl 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
22 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
23 simprl 770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ ((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))
24 simprr 772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))
251, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 21, 22, 23, 24minveclem2 24806 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) ∧ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0))) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0))
2625ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0)))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 24814 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
2827adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 24814 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
3029adantrl 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
3128, 30anbi12d 632 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑀)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))))
32 4cn 12245 . . . . . . 7 4 ∈ β„‚
3332mul01i 11352 . . . . . 6 (4 Β· 0) = 0
3433breq2i 5118 . . . . 5 (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0) ↔ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0)
35 cphngp 24553 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
36 ngpms 23972 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
374, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
3837adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
391, 11msmet 23826 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
421, 41lssss 20413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
435, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
4443adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
45 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘Œ)
4644, 45sseldd 3950 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
47 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ π‘Œ)
4844, 47sseldd 3950 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
49 metcl 23701 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑀) ∈ ℝ)
5040, 46, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑀) ∈ ℝ)
5150sqge0d 14049 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))
5251biantrud 533 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ↔ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))))
5350resqcld 14037 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ∈ ℝ)
54 letri3 11247 . . . . . . 7 ((((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))))
5553, 17, 54sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((π‘₯𝐷𝑀)↑2))))
5650recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (π‘₯𝐷𝑀) ∈ β„‚)
57 sqeq0 14032 . . . . . . . 8 ((π‘₯𝐷𝑀) ∈ β„‚ β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑀) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ (π‘₯𝐷𝑀) = 0))
59 meteq0 23708 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6040, 46, 48, 59syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((π‘₯𝐷𝑀) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6158, 60bitrd 279 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6252, 55, 613bitr2d 307 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ 0 ↔ π‘₯ = 𝑀))
6334, 62bitrid 283 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((π‘₯𝐷𝑀)↑2) ≀ (4 Β· 0) ↔ π‘₯ = 𝑀))
6426, 31, 633imtr3d 293 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
6564ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ ((βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) β†’ π‘₯ = 𝑀))
66 oveq2 7370 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐴 βˆ’ 𝑀))
6766fveq2d 6851 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)))
6867breq1d 5120 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ↔ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
6968ralbidv 3175 . . 3 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
7069reu4 3694 . 2 (βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ ((βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) β†’ π‘₯ = 𝑀)))
7112, 65, 70sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆƒ!wreu 3354   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197  2c2 12215  4c4 12217  β†‘cexp 13974  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  distcds 17149  TopOpenctopn 17310  -gcsg 18757  LSubSpclss 20408  Metcmet 20798  MetSpcms 23687  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949  β„‚PreHilccph 24546  CMetSpccms 24712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-staf 20320  df-srng 20321  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lmhm 20499  df-lvec 20580  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-phl 21046  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-haus 22682  df-fil 23213  df-flim 23306  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nlm 23958  df-clm 24442  df-cph 24548  df-cfil 24635  df-cmet 24637  df-cms 24715
This theorem is referenced by:  minvec  24816
  Copyright terms: Public domain W3C validator