Theorem minveclem7 25736

Description: Lemma for minvec 25737. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
minveclem7	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem7

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
2		minvec.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
3		minvec.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
4		minvec.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
5		minvec.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		minvec.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
7		minvec.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		minvec.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9		minvec.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
10		minvec.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11		minvec.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem5 25734	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
13	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
14	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
16	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
17		0re 11291	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
19		0le0 12425	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
21		simplrl 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥 ∈ 𝑌)
22		simplrr 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤 ∈ 𝑌)
23		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
24		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
25	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 21, 22, 23, 24	minveclem2 25727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
26	25	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem6 25735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
28	27	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem6 25735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
30	29	adantrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
31	28, 30	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))))
32		4cn 12409	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33	32	mul01i 11481	. . . . . 6 ⊢ (4 · 0) = 0
34	33	breq2i 5111	. . . . 5 ⊢ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
35		cphngp 25474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
36		ngpms 24899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
37	4, 35, 36	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑈 ∈ MetSp)
39	1, 11	msmet 24756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
41		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
42	1, 41	lssss 21191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
43	5, 42	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
46	44, 45	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
47		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑌)
48	44, 47	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
49		metcl 24631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
50	40, 46, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
51	50	sqge0d 14260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
52	51	biantrud 541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
53	50	resqcld 14248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54		letri3 11376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
55	53, 17, 54	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
56	50	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57		sqeq0 14243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
58	56, 57	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59		meteq0 24638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
60	40, 46, 48, 59	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
61	58, 60	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
62	52, 55, 61	3bitr2d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
63	34, 62	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
64	26, 31, 63	3imtr3d 296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑌)) → ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
65	64	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − 𝑤))
67	66	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)))
68	67	breq1d 5113	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
69	68	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
70	69	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑤 ∈ 𝑌 ((∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
71	12, 65, 70	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑌 ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  infcinf 9417  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12378  4c4 12380  ↑cexp 14184  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  distcds 17417  TopOpenctopn 17572  -_gcsg 19126  LSubSpclss 21186  Metcmet 21644  MetSpcms 24617  normcnm 24875  NrmGrpcngp 24876  ℂPreHilccph 25467  CMetSpccms 25633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-rest 17573  df-0g 17592  df-topgen 17594  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-rhm 20682  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-staf 21076  df-srng 21077  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lmhm 21277  df-lvec 21358  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-phl 21912  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-haus 23613  df-fil 24145  df-flim 24238  df-xms 24619  df-ms 24620  df-nm 24881  df-ngp 24882  df-nlm 24885  df-clm 25364  df-cph 25469  df-cfil 25556  df-cmet 25558  df-cms 25636

This theorem is used by:  minvec  25737