MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem7 23965
Description: Lemma for minvec 23966. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem7 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem7
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑈)
2 minvec.m . . 3 = (-g𝑈)
3 minvec.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑈)
4 minvec.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
5 minvec.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.w . . 3 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
7 minvec.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
8 minvec.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
9 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
10 minvec.s . . 3 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
11 minvec.d . . 3 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem5 23963 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
134ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
145ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
156ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
167ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝐴𝑋)
17 0re 10631 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ∈ ℝ)
19 0le0 11726 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2019a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 0 ≤ 0)
21 simplrl 773 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑥𝑌)
22 simplrr 774 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → 𝑤𝑌)
23 simprl 767 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
24 simprr 769 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))
251, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 21, 22, 23, 24minveclem2 23956 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) ∧ (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0))) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0))
2625ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0)))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 23964 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
2827adantrr 713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem6 23964 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑌) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
3029adantrl 712 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
3128, 30anbi12d 630 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ∧ ((𝐴𝐷𝑤)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0)) ↔ (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))))
32 4cn 11710 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3332mul01i 10818 . . . . . 6 (4 · 0) = 0
3433breq2i 5065 . . . . 5 (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0)
35 cphngp 23704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
36 ngpms 23136 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
374, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ MetSp)
3837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑈 ∈ MetSp)
391, 11msmet 22994 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
41 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
421, 41lssss 19637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
435, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
4443adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑌𝑋)
45 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑌)
4644, 45sseldd 3965 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑥𝑋)
47 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑌)
4844, 47sseldd 3965 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 𝑤𝑋)
49 metcl 22869 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5040, 46, 48, 49syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℝ)
5150sqge0d 13600 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))
5251biantrud 532 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5350resqcld 13599 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ)
54 letri3 10714 . . . . . . 7 ((((𝑥𝐷𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5553, 17, 54sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑥𝐷𝑤)↑2))))
5650recnd 10657 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ)
57 sqeq0 13474 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑤) ∈ ℂ → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑤) = 0))
59 meteq0 22876 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑤𝑋) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6040, 46, 48, 59syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((𝑥𝐷𝑤) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6158, 60bitrd 280 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6252, 55, 613bitr2d 308 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑤))
6334, 62syl5bb 284 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → (((𝑥𝐷𝑤)↑2) ≤ (4 · 0) ↔ 𝑥 = 𝑤))
6426, 31, 633imtr3d 294 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑌𝑤𝑌)) → ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
6564ralrimivva 3188 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) → 𝑥 = 𝑤))
66 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑤))
6766fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 𝑤)))
6867breq1d 5067 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
6968ralbidv 3194 . . 3 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7069reu4 3719 . 2 (∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∧ ∀𝑥𝑌𝑤𝑌 ((∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑤)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) → 𝑥 = 𝑤)))
7112, 65, 70sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  ∃!wreu 3137  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  ran crn 5549  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  2c2 11680  4c4 11682  cexp 13417  Basecbs 16471  s cress 16472  distcds 16562  TopOpenctopn 16683  -gcsg 18043  LSubSpclss 19632  Metcmet 20459  MetSpcms 22855  normcnm 23113  NrmGrpcngp 23114  ℂPreHilccph 23697  CMetSpccms 23862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-0g 16703  df-topgen 16705  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-phl 20698  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-haus 21851  df-fil 22382  df-flim 22475  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nlm 23123  df-clm 23594  df-cph 23699  df-cfil 23785  df-cmet 23787  df-cms 23865
This theorem is referenced by:  minvec  23966
  Copyright terms: Public domain W3C validator