Theorem ngpmet 24545

Description: The (induced) metric of a normed group is a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngpmet.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpmet.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ngpmet	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem ngpmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpms 24542	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
2		ngpmet.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ngpmet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
4	2, 3	msmet 24399	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5620   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  distcds 17184  Metcmet 21293  MetSpcms 24260  NrmGrpcngp 24519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-topgen 17361  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-xms 24262  df-ms 24263  df-ngp 24525

This theorem is referenced by:  nmf  24557  nrmtngnrm  24600  ngpocelbl  24646  cssbn  25329