Theorem nmmtri 24934

Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmmtri	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		nmf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		nmmtri.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	ngpds 24916	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))
6		ngpms 24912	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
8		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10		ngpgrp 24911	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	2, 11	grpidcl 19169	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
14	13	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
15	2, 4	mstri3 24783	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
16	7, 8, 9, 14, 15	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
17	1, 2, 11, 4	nmval 24901	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18	17	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	1, 2, 11, 4	nmval 24901	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
20	19	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	18, 20	oveq12d 7436	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
22	16, 21	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))
23	5, 22	eqbrtrrd 5129	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   + caddc 11196   ≤ cle 11337  Basecbs 17380  distcds 17430  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137  -_gcsg 19139  MetSpcms 24630  normcnm 24888  NrmGrpcngp 24889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-0g 17605  df-topgen 17607  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-xms 24632  df-ms 24633  df-nm 24894  df-ngp 24895

This theorem is used by:  nmtri  24938  ngpi  24940  tngngp  24966