MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmmtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmmtri 24650
Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmmtri ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nmmtri
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 nmf.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 nmmtri.m . . 3 = (-g𝐺)
4 eqid 2734 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
51, 2, 3, 4ngpds 24632 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
6 ngpms 24628 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
763ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
8 simp2 1136 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
9 simp3 1137 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
10 ngpgrp 24627 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
122, 11grpidcl 18995 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
14133ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
152, 4mstri3 24496 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋)) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
167, 8, 9, 14, 15syl13anc 1371 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
171, 2, 11, 4nmval 24617 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
18173ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
191, 2, 11, 4nmval 24617 . . . . 5 (𝐵𝑋 → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
20193ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
2118, 20oveq12d 7448 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
2216, 21breqtrrd 5175 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
235, 22eqbrtrrd 5171 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430   + caddc 11155  cle 11293  Basecbs 17244  distcds 17306  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  MetSpcms 24343  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-0g 17487  df-topgen 17489  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611
This theorem is referenced by:  nmtri  24654  ngpi  24656  tngngp  24690
  Copyright terms: Public domain W3C validator