Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmmtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmmtri 22797
 Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmmtri ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nmmtri
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 nmf.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 nmmtri.m . . 3 = (-g𝐺)
4 eqid 2826 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
51, 2, 3, 4ngpds 22779 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
6 ngpms 22775 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
763ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
8 simp2 1173 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
9 simp3 1174 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
10 ngpgrp 22774 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11 eqid 2826 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
122, 11grpidcl 17805 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
14133ad2ant1 1169 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
152, 4mstri3 22647 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋)) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
167, 8, 9, 14, 15syl13anc 1497 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
171, 2, 11, 4nmval 22765 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
18173ad2ant2 1170 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
191, 2, 11, 4nmval 22765 . . . . 5 (𝐵𝑋 → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
20193ad2ant3 1171 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
2118, 20oveq12d 6924 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
2216, 21breqtrrd 4902 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
235, 22eqbrtrrd 4898 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   + caddc 10256   ≤ cle 10393  Basecbs 16223  distcds 16315  0gc0g 16454  Grpcgrp 17777  -gcsg 17779  MetSpcms 22494  normcnm 22752  NrmGrpcngp 22753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-0g 16456  df-topgen 16458  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-xms 22496  df-ms 22497  df-nm 22758  df-ngp 22759 This theorem is referenced by:  nmtri  22801  ngpi  22803  tngngp  22829
 Copyright terms: Public domain W3C validator