MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmmtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmmtri 24635
Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmmtri ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nmmtri
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝐺)
2 nmf.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 nmmtri.m . . 3 = (-g𝐺)
4 eqid 2737 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
51, 2, 3, 4ngpds 24617 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 𝐵)))
6 ngpms 24613 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
763ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
8 simp2 1138 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
9 simp3 1139 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
10 ngpgrp 24612 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
122, 11grpidcl 18983 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
1310, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
14133ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
152, 4mstri3 24481 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑋)) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
167, 8, 9, 14, 15syl13anc 1374 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
171, 2, 11, 4nmval 24602 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
18173ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
191, 2, 11, 4nmval 24602 . . . . 5 (𝐵𝑋 → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
20193ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺)))
2118, 20oveq12d 7449 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g𝐺))))
2216, 21breqtrrd 5171 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
235, 22eqbrtrrd 5167 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   + caddc 11158  cle 11296  Basecbs 17247  distcds 17306  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596
This theorem is referenced by:  nmtri  24639  ngpi  24641  tngngp  24675
  Copyright terms: Public domain W3C validator