Theorem nmmtri 24635

Description: The triangle inequality for the norm of a subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmmtri.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmmtri	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nmmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		nmf.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		nmmtri.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	ngpds 24617	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)))
6		ngpms 24613	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
7	6	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ MetSp)
8		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10		ngpgrp 24612	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
11		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
12	2, 11	grpidcl 18983	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
14	13	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
15	2, 4	mstri3 24481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
16	7, 8, 9, 14, 15	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
17	1, 2, 11, 4	nmval 24602	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
18	17	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
19	1, 2, 11, 4	nmval 24602	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
20	19	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐵) = (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	18, 20	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)) = ((𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) + (𝐵(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
22	16, 21	breqtrrd 5171	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)𝐵) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))
23	5, 22	eqbrtrrd 5167	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   + caddc 11158   ≤ cle 11296  Basecbs 17247  distcds 17306  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596

This theorem is referenced by:  nmtri  24639  ngpi  24641  tngngp  24675