Theorem ocv0 21634

Description: The orthocomplement of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocv0	⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉

Proof of Theorem ocv0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4341	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
2		ocvz.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		ocvz.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	ocvval 21624	. . 3 ⊢ (∅ ⊆ 𝑉 → ( ⊥ ‘∅) = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
9		ral0 4439	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	9	rgenw 3056	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
11		rabid2 3423	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	10, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
13	8, 12	eqtr4i 2763	1 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉

Syntax hints:   = wceq 1542  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137  Scalarcsca 17181  ·_𝑖cip 17183  0_gc0g 17360  ocvcocv 21617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7361  df-ocv 21620

This theorem is referenced by:  ocvz  21635  css1  21647