Theorem ocv0 21592

Description: The orthocomplement of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocv0	⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉

Proof of Theorem ocv0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4365	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
2		ocvz.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		ocvz.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	ocvval 21582	. . 3 ⊢ (∅ ⊆ 𝑉 → ( ⊥ ‘∅) = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
9		ral0 4478	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
10	9	rgenw 3049	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
11		rabid2 3442	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
12	10, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ∀𝑦 ∈ ∅ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
13	8, 12	eqtr4i 2756	1 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉

Syntax hints:   = wceq 1540  ∀wral 3045  {crab 3408   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229  ·_𝑖cip 17231  0_gc0g 17408  ocvcocv 21575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-ov 7392  df-ocv 21578

This theorem is referenced by:  ocvz  21593  css1  21605