Theorem ocvz 21668

Description: The orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvz	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem ocvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21620	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lsp0 20995	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
6	5	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘{ 0 }))
7		0ss 4341	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
8		ocvz.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ocvz.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
10	8, 9, 3	ocvlsp 21666	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∅ ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
11	7, 10	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
12	8, 9	ocv0 21667	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉
13	11, 12	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = 𝑉)
14	6, 13	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20846  LSpanclspn 20957  PreHilcphl 21614  ocvcocv 21650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-ghm 19179  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-rhm 20443  df-staf 20807  df-srng 20808  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lmhm 21009  df-lvec 21090  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-phl 21616  df-ocv 21653

This theorem is referenced by:  obs2ocv  21717