MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvz 21603
Description: The orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvz.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ocvz.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
ocvz.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ocvz (π‘Š ∈ PreHil β†’ ( βŠ₯ β€˜{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem ocvz
StepHypRef Expression
1 phllmod 21555 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 ocvz.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . . . 5 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
42, 3lsp0 20886 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
51, 4syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…) = { 0 })
65fveq2d 6895 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…)) = ( βŠ₯ β€˜{ 0 }))
7 0ss 4392 . . . 4 βˆ… βŠ† 𝑉
8 ocvz.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 ocvz.o . . . . 5 βŠ₯ = (ocvβ€˜π‘Š)
108, 9, 3ocvlsp 21601 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ βˆ… βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…)) = ( βŠ₯ β€˜βˆ…))
117, 10mpan2 690 . . 3 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…)) = ( βŠ₯ β€˜βˆ…))
128, 9ocv0 21602 . . 3 ( βŠ₯ β€˜βˆ…) = 𝑉
1311, 12eqtrdi 2784 . 2 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ( βŠ₯ β€˜((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜βˆ…)) = 𝑉)
146, 13eqtr3d 2770 1 (π‘Š ∈ PreHil β†’ ( βŠ₯ β€˜{ 0 }) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4318  {csn 4624  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  0gc0g 17414  LModclmod 20736  LSpanclspn 20848  PreHilcphl 21549  ocvcocv 21585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-rhm 20404  df-staf 20718  df-srng 20719  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-phl 21551  df-ocv 21588
This theorem is referenced by:  obs2ocv  21654
  Copyright terms: Public domain W3C validator