Theorem ocvz 21658

Description: The orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvz	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem ocvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21610	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lsp0 21004	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
6	5	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘{ 0 }))
7		0ss 4340	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
8		ocvz.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ocvz.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
10	8, 9, 3	ocvlsp 21656	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∅ ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
11	7, 10	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
12	8, 9	ocv0 21657	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉
13	11, 12	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = 𝑉)
14	6, 13	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LSpanclspn 20966  PreHilcphl 21604  ocvcocv 21640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-rhm 20452  df-staf 20816  df-srng 20817  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lmhm 21017  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-phl 21606  df-ocv 21643

This theorem is referenced by:  obs2ocv  21707