Theorem ocvz 21215

Description: The orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvz	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem ocvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21167	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lsp0 20608	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
6	5	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘{ 0 }))
7		0ss 4395	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
8		ocvz.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ocvz.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
10	8, 9, 3	ocvlsp 21213	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∅ ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
11	7, 10	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
12	8, 9	ocv0 21214	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉
13	11, 12	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = 𝑉)
14	6, 13	eqtr3d 2775	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LModclmod 20459  LSpanclspn 20570  PreHilcphl 21161  ocvcocv 21197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-ghm 19084  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-rnghom 20240  df-staf 20441  df-srng 20442  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lmhm 20621  df-lvec 20702  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-phl 21163  df-ocv 21200

This theorem is referenced by:  obs2ocv  21266