Theorem ocvz 21541

Description: The orthocomplement of the zero subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvz.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvz.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvz	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Proof of Theorem ocvz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21493	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvz.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lsp0 20848	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ((LSpan‘𝑊)‘∅) = { 0 })
6	5	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘{ 0 }))
7		0ss 4389	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
8		ocvz.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ocvz.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
10	8, 9, 3	ocvlsp 21539	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ∅ ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
11	7, 10	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = ( ⊥ ‘∅))
12	8, 9	ocv0 21540	. . 3 ⊢ ( ⊥ ‘∅) = 𝑉
13	11, 12	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑊)‘∅)) = 𝑉)
14	6, 13	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{ 0 }) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  {csn 4621  ‘cfv 6534  Basecbs 17145  0_gc0g 17386  LModclmod 20698  LSpanclspn 20810  PreHilcphl 21487  ocvcocv 21523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-ghm 19131  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-rhm 20366  df-staf 20680  df-srng 20681  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lmhm 20862  df-lvec 20943  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-phl 21489  df-ocv 21526

This theorem is referenced by:  obs2ocv  21592