Theorem ocvlsp 21669

Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvlsp	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem ocvlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21623	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvlsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ocvlsp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 20974	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
5	1, 4	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
6		ocvlsp.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7	6	ocv2ss 21666	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
9	2, 6	ocvss 21663	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
11	2, 6	ocvocv 21664	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
12	10, 11	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
13	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	2, 6, 14	ocvlss 21665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	10, 15	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	2, 6	ocvocv 21664	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
18	14, 3	lspssp 20977	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
20	6	ocv2ss 21666	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
22	12, 21	sstrd 3933	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
23	8, 22	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  LModclmod 20849  LSubSpclss 20920  LSpanclspn 20960  PreHilcphl 21617  ocvcocv 21653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-rhm 20446  df-staf 20810  df-srng 20811  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lmhm 21012  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-phl 21619  df-ocv 21656

This theorem is referenced by:  ocvz  21671  obselocv  21721  obslbs  21723