Theorem ocvlsp 21613

Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvlsp	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem ocvlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21567	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvlsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ocvlsp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 20918	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
5	1, 4	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
6		ocvlsp.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7	6	ocv2ss 21610	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
9	2, 6	ocvss 21607	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
11	2, 6	ocvocv 21608	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
12	10, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
13	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	2, 6, 14	ocvlss 21609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	10, 15	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	2, 6	ocvocv 21608	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
18	14, 3	lspssp 20921	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
20	6	ocv2ss 21610	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
22	12, 21	sstrd 3940	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
23	8, 22	eqssd 3947	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  LSpanclspn 20904  PreHilcphl 21561  ocvcocv 21597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-ghm 19125  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-rhm 20390  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lmhm 20956  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-phl 21563  df-ocv 21600

This theorem is referenced by:  ocvz  21615  obselocv  21665  obslbs  21667