Theorem ocvlsp 21220

Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvlsp	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem ocvlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21174	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvlsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ocvlsp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 20588	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
5	1, 4	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
6		ocvlsp.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7	6	ocv2ss 21217	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
9	2, 6	ocvss 21214	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
11	2, 6	ocvocv 21215	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
12	10, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
13	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	2, 6, 14	ocvlss 21216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	10, 15	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	2, 6	ocvocv 21215	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
18	14, 3	lspssp 20591	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
20	6	ocv2ss 21217	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
22	12, 21	sstrd 3991	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
23	8, 22	eqssd 3998	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  PreHilcphl 21168  ocvcocv 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-rnghom 20243  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-phl 21170  df-ocv 21207

This theorem is referenced by:  ocvz  21222  obselocv  21274  obslbs  21276