Theorem ocvlsp 21994

Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvlsp	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem ocvlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 21948	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvlsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ocvlsp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 21272	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
5	1, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
6		ocvlsp.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7	6	ocv2ss 21991	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
9	2, 6	ocvss 21988	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
11	2, 6	ocvocv 21989	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
12	10, 11	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
13	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	2, 6, 14	ocvlss 21990	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	10, 15	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	2, 6	ocvocv 21989	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
18	14, 3	lspssp 21275	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
20	6	ocv2ss 21991	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
22	12, 21	sstrd 3922	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
23	8, 22	eqssd 3929	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  LModclmod 21147  LSubSpclss 21218  LSpanclspn 21258  PreHilcphl 21942  ocvcocv 21978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-ghm 19440  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-rhm 20714  df-staf 21108  df-srng 21109  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-lmhm 21309  df-lvec 21390  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-phl 21944  df-ocv 21981

This theorem is used by:  ocvz  21996  obselocv  22046  obslbs  22048