Theorem ocvlsp 20365

Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
ocvlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvlsp	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Proof of Theorem ocvlsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmod 20319	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		ocvlsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ocvlsp.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	2, 3	lspssid 19750	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
5	1, 4	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆))
6		ocvlsp.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7	6	ocv2ss 20362	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑁‘𝑆) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
9	2, 6	ocvss 20359	. . . . 5 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉)
11	2, 6	ocvocv 20360	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
12	10, 11	syldan 594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))))
13	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	2, 6, 14	ocvlss 20361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	10, 15	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	2, 6	ocvocv 20360	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
18	14, 3	lspssp 19753	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
19	13, 16, 17, 18	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
20	6	ocv2ss 20362	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆))) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
22	12, 21	sstrd 3925	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)))
23	8, 22	eqssd 3932	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝑁‘𝑆)) = ( ⊥ ‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  LModclmod 19627  LSubSpclss 19696  LSpanclspn 19736  PreHilcphl 20313  ocvcocv 20349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-ghm 18348  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-rnghom 19463  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-phl 20315  df-ocv 20352

This theorem is referenced by:  ocvz  20367  obselocv  20417  obslbs  20419