Theorem ondif1 8426

Description: Two ways to say that 𝐴 is a nonzero ordinal number. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ondif1	⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ondif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif1o 8425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2		on0eln0 6367	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4	1, 3	bitr4i 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880  ∅c0 4261  Oncon0 6310  1_oc1o 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316  df-1o 8395

This theorem is referenced by:  cantnflem2  9602  oef1o  9610  cnfcom3  9616  infxpenc  9931  onexoegt  43689  ondif1i  43707  omnord1  43750  oenord1  43761  cantnftermord  43765  succlg  43773  dflim5  43774  onmcl  43776  omabs2  43777  naddwordnexlem4  43846