Theorem ondif1 8482

Description: Two ways to say that 𝐴 is a nonzero ordinal number. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ondif1	⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ondif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif1o 8481	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2		on0eln0 6418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	pm5.32i 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4	1, 3	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  Oncon0 6360  1_oc1o 8442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-1o 8449

This theorem is referenced by:  cantnflem2  9655  oef1o  9663  cnfcom3  9669  infxpenc  9998  onexoegt  43971  ondif1i  43989  omnord1  44032  oenord1  44043  cantnftermord  44047  succlg  44055  dflim5  44056  onmcl  44058  omabs2  44059  naddwordnexlem4  44128