Theorem ondif1 8430

Description: Two ways to say that 𝐴 is a nonzero ordinal number. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ondif1	⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ondif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif1o 8429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2		on0eln0 6375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4	1, 3	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  Oncon0 6318  1_oc1o 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-1o 8399

This theorem is referenced by:  cantnflem2  9605  oef1o  9613  cnfcom3  9619  infxpenc  9934  onexoegt  43693  ondif1i  43711  omnord1  43754  oenord1  43765  cantnftermord  43769  succlg  43777  dflim5  43778  onmcl  43780  omabs2  43781  naddwordnexlem4  43850