Theorem ondif1 8500

Description: Two ways to say that 𝐴 is a nonzero ordinal number. Lemma 1.10 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ondif1	⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ondif1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif1o 8499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2		on0eln0 6420	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	2	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4	1, 3	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ (On ∖ 1o) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  Oncon0 6364  1_oc1o 8458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-1o 8465

This theorem is referenced by:  cantnflem2  9684  oef1o  9692  cnfcom3  9698  infxpenc  10012  onexoegt  41983  ondif1i  42002  omnord1  42045  oenord1  42056  cantnftermord  42060  succlg  42068  dflim5  42069  onmcl  42071  omabs2  42072  naddwordnexlem4  42142