Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmcl 42631
Description: If an ordinal is less than a power of omega, the product with a natural number is also less than that power of omega. (Contributed by RP, 19-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
onmcl ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))

Proof of Theorem onmcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7409 . . . . 5 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) = (โˆ… ยทo ๐‘))
2 simp3 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
3 nnon 7855 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ โˆˆ On)
4 om0r 8535 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ On โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘) = โˆ…)
52, 3, 43syl 18 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (โˆ… ยทo ๐‘) = โˆ…)
61, 5sylan9eqr 2786 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) = โˆ…)
7 simpl2 1189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
8 omelon 9638 . . . . . 6 ฯ‰ โˆˆ On
97, 8jctil 519 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
10 peano1 7873 . . . . 5 โˆ… โˆˆ ฯ‰
11 oen0 8582 . . . . 5 (((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ฯ‰) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
129, 10, 11sylancl 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
136, 12eqeltrd 2825 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
1413a1d 25 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
152adantr 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ ฯ‰)
16 simp1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
1716anim1i 614 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด))
18 ondif1 8497 . . . 4 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด))
1917, 18sylibr 233 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o))
20 simpl2 1189 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
21 oveq2 7410 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo โˆ…))
2221eleq1d 2810 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†” (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
2322imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†” (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))))
24 oveq2 7410 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘ฆ))
2524eleq1d 2810 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†” (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
2625imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†” (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))))
27 oveq2 7410 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ))
2827eleq1d 2810 . . . . . 6 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†” (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
2928imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†” (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))))
30 oveq2 7410 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (๐ด ยทo ๐‘))
3130eleq1d 2810 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†” (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
3231imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†” (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))))
33 eldifi 4119 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
34 om0 8513 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
378jctl 523 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On))
3837, 10, 11sylancl 585 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ On โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
3938adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ โˆ… โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
4036, 39eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
4140adantr 480 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
4233adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
4342ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
44 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
45 onmsuc 8525 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
4643, 44, 45syl2an2r 682 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด))
47 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
48 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
49 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)
5049jctl 523 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โˆง ๐ต โˆˆ On))
5150olcd 871 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ On โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = โˆ… โˆจ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โˆง ๐ต โˆˆ On)))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = โˆ… โˆจ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โˆง ๐ต โˆˆ On)))
5352ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = โˆ… โˆจ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โˆง ๐ต โˆˆ On)))
5453adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = โˆ… โˆจ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โˆง ๐ต โˆˆ On)))
55 oacl2g 42630 . . . . . . . . 9 ((((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โˆง ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = โˆ… โˆจ ((ฯ‰ โ†‘o ๐ต) = (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โˆง ๐ต โˆˆ On))) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
5647, 48, 54, 55syl21anc 835 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) +o ๐ด) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
5746, 56eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))) โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))
5857exp31 419 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))))
5958a2d 29 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฆ) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต))))
6023, 26, 29, 32, 41, 59finds 7883 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (((๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
6160expdimp 452 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ด โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ต โˆˆ On)) โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
6215, 19, 20, 61syl12anc 834 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
63 on0eqel 6479 . . 3 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด))
6416, 63syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ โˆ… โˆˆ ๐ด))
6514, 62, 64mpjaodan 955 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘) โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ– cdif 3938  โˆ…c0 4315  Oncon0 6355  suc csuc 6357  (class class class)co 7402  ฯ‰com 7849  1oc1o 8455   +o coa 8459   ยทo comu 8460   โ†‘o coe 8461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-oexp 8468
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator